सबसे छोटी ट्यूरिंग मशीन क्या है जहां यह अज्ञात है अगर यह रुकता है या नहीं?

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मुझे पता है कि रुकने की समस्या सामान्य रूप से अनिर्वाय है, लेकिन कुछ ट्यूरिंग मशीनें हैं जो स्पष्ट रूप से रुकती हैं और कुछ जो स्पष्ट रूप से नहीं होती हैं। सभी संभव ट्यूरिंग मशीनों में से कौन सी सबसे छोटी है जहां किसी के पास कोई सबूत नहीं है कि वह रुकती है या नहीं?

halting-problem

— हारून
स्रोत

10

उत्तर मशीन मॉडल (प्रतीकों की संख्या, आदि) की बारीकियों पर निर्भर करता है। व्यस्त बीवर पर विकिपीडिया लेख के अनुसार 2-प्रतीक 5-sate मशीन है जो ज्ञात नहीं है कि यह रुकता है या नहीं।

— केवह

1

ध्यान दें कि हारून का प्रश्न किसी दिए गए भाषा की निर्णायकता के बारे में नहीं है, लेकिन वास्तव में एक प्रमाण का अस्तित्व है जो एक विशिष्ट ट्यूरिंग रुका हुआ है । किसी भी ट्यूरिंग मशीन के लिए, "इसकी" हॉल्टिंग की समस्या (चाहे यह बहुत मशीन खाली इनपुट पर पड़ती है) "डिकिडेबल" है: यह या तो हां या नहीं है, और दोनों भाषाओं {Yes} और {No} डिकीडेबल हैं। यह इस बात से बहुत अलग है कि क्या किसी के पास यह सबूत है कि मशीन बंद हो गई है या नहीं। हारून, यदि आप इसका मतलब यह है कि "सबसे छोटा ऐसा है कि भाषा पर रुकता है तो क्या आप अपने प्रश्न को संपादित कर सकते हैं?"

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— माइकल कैडिलैक

1

@ MichaëlCadilhac हॉल्टिंग समस्या की आमतौर पर व्याख्या की जाती है, "मशीन और इनपुट को देखते हुए , इनपुट लिए रुकता है ?" नहीं "मशीन को देखते हुए , क्या सभी इनपुट के लिए रुकता है?"

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— डेविड रिचेर्बी

@DavidRicherby: मेरे लिए, हॉल्टिंग समस्या मशीन (कोड) की भाषा है जो खाली इनपुट पर रुकती है। यदि यह यहाँ का अभिप्राय नहीं है, तो मुझे लगता है कि इसे संभव (ठीक, मेरा) भ्रम के लिए निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

— माइकल कैडिलैक

समस्या का अध्ययन करने के कई तरीके मान्य और पारस्परिक हैं और वास्तव में उन्हें अलग करने में एक सूक्ष्मता है जो प्रश्नकर्ता ने नहीं की थी।

— vzn

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सबसे बड़ी ट्यूरिंग मशीनें जिनके लिए हॉल्टिंग की समस्या कम होती है:

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ (जहां राज्यों और प्रतीकों के साथ ट्यूरिंग मशीनों का सेट है )। $TM(k,l)$ $k$ $l$

और की निर्णायक सीमा पर है और इसे निपटाना मुश्किल है क्योंकि यह Collatz अनुमान पर निर्भर करता है जो एक खुली समस्या है। $TM(2,4)$ $TM(3,3)$

पी। मिशेल (2004) (जिसमें यह अनुमान लगाया गया है कि भी निर्णायक है) द्वारा Collatz जैसी ट्यूरिंग मशीनों और " स्मॉल ट्यूरिंग मशीन और सामान्यीकृत व्यस्त बीवर प्रतियोगिता " के बारे में cstheory पर मेरा उत्तर देखें । $TM(4,2)$

Kaveh की टिप्पणी और मोहम्मद का उत्तर सही है, इसलिए इस प्रकार के परिणामों में उपयोग की जाने वाली मानक / गैर-मानक ट्यूरिंग मशीनों की एक औपचारिक परिभाषा के लिए Turlough Neary और Damien Woods छोटी सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों पर काम करती हैं, जैसे कि छोटी सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों की जटिलता: एक सर्वेक्षण (नियम 110 टीएम कमजोर रूप से सार्वभौमिक हैं)।

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

2

क्या ट्यूरिंग मशीनों के किसी भी परिमित सेट के लिए रुकने की समस्या हमेशा निर्णायक नहीं होती है? चूंकि में केवल बहुत सारी मशीनें हैं , इसलिए लुकअप टेबल का निर्माण करना संभव है, जो सही ढंग से कहती है कि कौन सी मशीनें रुक रही हैं और कौन सी नहीं हैं, और इसलिए एक ट्यूरिंग मशीन होनी चाहिए जो इस लुकअप टेबल का उपयोग करती है सवाल का सही जवाब देने के लिए।

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

— टान्नर स्विट

2

@TannerSwett: यहाँ हम हॉल्टिंग सेट या दूसरे शब्दों में , जिसके लिए ट्यूरिंग मशीनें स्टॉप डिसिडेबल है (मिशेल का पेपर देखें)।

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

— मार्जियो डी बियासी

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मैं जोड़ना चाहूंगा कि कुछ ट्यूरिंग मशीनें हैं जिनके लिए हैल्टिंग की समस्या जेडएफसी से स्वतंत्र है।

उदाहरण के लिए एक ट्यूरिंग मशीन लें जो ZFC में विरोधाभास के प्रमाण के लिए दिखती है। फिर अगर ZFC सुसंगत है, तो यह रुक नहीं जाएगा, लेकिन आप इसे ZFC (Gödel के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के कारण) में साबित नहीं कर सकते।

इसलिए यह न केवल अभी तक प्रमाण नहीं होने का मामला है, कभी-कभी प्रमाण भी मौजूद नहीं होते हैं।

— डेनिस
स्रोत

ZFC? ZFC का क्या अर्थ है? मैं इसे संदर्भ से समझ नहीं सकता।

— अकापुल्को

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Sasho निकोलोव

जबरदस्त हंसी! ठीक है। मुझे lmgtfy'ed मिला। टच। नहीं सोचा था कि यह प्रारंभिक होगा जो इस विषय से तुरंत और विशिष्ट रूप से संबंधित होगा। किसी भी मामले में मुझे नहीं लगता कि यह शिष्टाचार "ZFC (Zermelo – Fraenkel सेट सिद्धांत)) को जोड़ने के लिए दर्द होता है" पहली बार इसके स्पष्टीकरण को स्पष्ट किया गया है, मामले में अस्पष्टता से बचने के लिए भी? :)

— अकापुल्को

16

@Acapulco, कृपया भ्रमण और सहायता केंद्र देखें । किसी भी सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक को पता होगा कि ZFC का क्या मतलब है, इसलिए वास्तव में स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं है।

— केवह

1

विशेष रूप से, हाल ही में खोजी गई

स्कोम्बल मशीनों के साथ ZFC- स्वतंत्र हॉल्टिंग समस्या पर ध्यान दें , यहाँ (7918 राज्यों), यहाँ और यहाँ (1919 राज्यों) पर चर्चा की गई है । राज्यों की संख्या में कमी होना लगभग तय है।

2

$2$

— रेस

5

यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन रुकती है या नहीं, इसका प्रमाण किसी के पास नहीं है। वास्तव में, हॉल्टिंग समस्या की अनिर्वायता के परिणामस्वरूप ऐसा प्रमाण असंभव है। सबसे छोटा 2-राज्य 3-प्रतीक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन है जो एलेक्स स्मिथ द्वारा पाया गया था जिसके लिए उन्होंने $ 25,000 का पुरस्कार जीता था।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

4

हालाँकि, नोट, विकिपीडिया पृष्ठ के अनुसार उद्धृत है, सार्वभौमिकता का प्रमाण विवादित है। इसके अलावा, यह ट्यूरिंग मशीनों का मानक मॉडल नहीं है: कथित रूप से सार्वभौमिक मशीन में कोई हॉल्ट राज्य नहीं है, इसलिए किसी भी मशीन को अनुकरण नहीं कर सकता है जो कम से कम मानक अर्थ में एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन करता है।

— डेविड रिचीर्बी

2

@ डेविडविरीबी: मुझे लगता है कि नियम 110 की कमजोर - विविधता विविधता को स्वीकार किया जाता है: इसके लिए इनपुट के बाईं और दाईं ओर दोहराए गए दो अलग-अलग शब्दों की आवश्यकता होती है, और रुकने की स्थिति एक विशेष ग्लाइडर की पीढ़ी है (यदि और केवल तभी उत्पन्न होती है) नकली मशीन हाल्ट)। मैथ्यू कुक की "प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटा में सार्वभौमिकता" देखें।

— मार्जियो डी बियासी

-4

एक बहुत ही सटीक लेकिन उचित सामान्य प्रश्न जो कई विशेष तकनीकी तरीकों से अध्ययन किया जा सकता है। राज्यों / प्रतीकों द्वारा मापी जाने वाली कई "छोटी" मशीनें हैं जहां रुकना अज्ञात है लेकिन कोई "सबसे छोटी" मशीन तब तक संभव नहीं है जब तक कि एक टीएम की जटिलता के कुछ औचित्यपूर्ण / मात्रात्मक मीट्रिक के साथ नहीं आता है जो राज्यों और प्रतीकों (दोनों को ध्यान में रखता है) अभी तक किसी ने एक प्रस्ताव नहीं दिया है)।

वास्तव में व्यस्त बीवर्स से संबंधित इस समस्या पर शोध से पता चलता है कि बहुत सी ऐसी "छोटी" मशीनें हैं जो हाइपरबोलिक वक्र पर पड़ी हैं जहाँ , स्टेट्स और सिम्बल, छोटे हैं। वास्तव में यह एक सामान्य चरण संक्रमण / असाध्य समस्याओं के बीच सीमा / प्रतीत होता है। $x \times y$ $x$ $y$

$x,y$

— vzn
स्रोत

2

खाते के प्रतीकों और राज्यों को ध्यान में रखते हुए एक मीट्रिक स्थापित करना आवश्यक नहीं है। एक बार टेप पर दो चिन्ह होने के बाद, यह स्पष्ट है कि रुकने की समस्या लगभग सभी राज्यों के लिए अपरिहार्य है - जैसा कि मुझे याद है, केवल पाँच राज्यों के साथ एक सार्वभौमिक टीएम लिखना संभव है। यदि हम निर्णायक क्षमता की सटीक सीमा जानते हैं, तो मुझे यकीन है कि (# राज्यों, # प्रतीकों) जोड़े के संदर्भ में उस सीमा का वर्णन करना आसान होगा।

— डेविड रिचेर्बी

व्यस्त बीवर रिसर्च में वास्तव में इस बात के लिए प्रमाण ढूंढना शामिल है कि क्या टीएम राज्यों के छोटे # राज्यों के साथ प्रारंभिक सेटअप के लिए रुकते हैं, प्रतीक; resolvable मामले हैं। अगर कोई "सबसे छोटा" चाहता है, तो उसे एक सटीक मीट्रिक बनाना होगा जो "छोटा" मापता हो। इसके बाद के संस्करण कि एक मीट्रिक है जिसमें केवल राज्यों या प्रतीकों को शामिल किया जाता है, को भ्रामक माना जा सकता है, जहां तक ज्ञात सीमा का प्रतिनिधित्व करना शामिल है जिसमें दोनों शामिल हैं (और मशीनों को सार्वभौमिक नहीं कहा जाता है)। इस शोध में अनिर्वायता सीमा "किसी भी चीज़ के संदर्भ में निर्दिष्ट करना" आसान नहीं है, जो कि इसकी मौलिक प्रकृति है ....

— vzn

1

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— डेविड रिचेर्बी

किसी ने अभी तक किसी भी मीट्रिक का प्रस्ताव नहीं किया। इस क्षेत्र में कोई महत्वपूर्ण सीमा "वर्णन करने के लिए तुच्छ" नहीं है और कोई यह उम्मीद करेगा कि परिदृश्य Rices thm के माध्यम से असंभव होगा। ऐसा लगता है कि अनुसंधान और उद्धृत रेफरी के साथ परिचितता की कमी दिखती है, जो उन मशीनों के लिए इनपुट की resolvability में रुचि रखता है जो सार्वभौमिक होने के लिए ज्ञात से छोटी हैं (और सार्वभौमिक नहीं होने के लिए अनुमान लगाया गया है )। आपकी टिप्पणियां सार्वभौमिक बनाम गैर-विविधतापूर्ण मशीन सीमाओं पर ध्यान केंद्रित करती हैं, जो व्यस्त बीवर डिसेडबिलिटी सीमाओं के समान नहीं है, उदाहरण के लिए उद्धृत रिफ्स (ऊपर और मार्ज़ियो दोनों) में उदाहरण के लिए।

— vzn 16

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$