असीम दृश्यों के बाउंड-इनपुट बायजेक्शंस

यहाँ एक पहेली है जिसे मैं हल करने में कामयाब नहीं हुआ हूँ। मैं जानना चाहूंगा कि क्या यह समस्या पहले से ही ज्ञात है, या इसका एक आसान समाधान है।

बायकार्टेशियन बंद श्रेणियों के गुणों का उपयोग करके एक बायजेस्ट को परिभाषित करना संभव है । रॉन बॉयर ने अपने ब्लॉग पर इसका अर्थ " रचनात्मक मणि: बाजीगरी घातांक " के रूप में प्रस्तुत किया। $3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

इस आक्षेप में एक दिलचस्प संपत्ति है: यह "बाउंडेड-इनपुट" है जिसका अर्थ है कि आउटपुट के प्रत्येक घटक इनपुट के केवल कई घटकों पर निर्भर करता है। हालाँकि, ऐसा लगता है कि यह निर्माण केवल यह दिखा सकता है कि और isomorphic हैं यदि और दोनों विषम या दोनों हैं। यह प्रश्न खुला है: $k,l\geq 2$ $k^\mathbb{N}$ $l^\mathbb{N}$ $k$ $l$

क्या $2^\mathbb{N}$ से एक बाध्य इनपुट-इनपुट है $3^\mathbb{N}$ ?

इस समस्या को और अधिक विस्तार से वर्णन करते हुए एक संक्षिप्त नोट दिया गया है: अनंत अनुक्रमों के बंधे हुए इनपुट अनुमानों के संबंध में एक अनुमान ।

परिभाषाएं:

एक समारोह है घिरा इनपुट यदि वहां मौजूद एक पूर्णांक ऐसी है कि के उत्पादन के प्रत्येक घटक ज्यादा से ज्यादा केवल पर निर्भर करता है घटकों इनपुट का। अधिक औपचारिक रूप से, -इनपुट है यदि प्रत्येक सूचकांक लिए सूचकांक में और एक फ़ंक्शन ऐसी है कि के लिए सभी घटक के बराबर होती है । $f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$ $k$ $f$ $k$ $f$ $j \in J$ $i_1,\dotsb,i_k \in I$ $f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$ $x \in X$ $f(x)_j$ $f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$

यदि एक बाउंड-इनपुट फ़ंक्शन है, तो एक बायजेक्शन $f$ एक बाउंड-इनपुट बायजेक्शन है।

एक आक्षेप $f$ एक बाउंड-इनपुट आइसोमोर्फिज्म है यदि यह और इसके व्युत्क्रम बाउंड-इनपुट फ़ंक्शन हैं। यह भी दिलचस्प है।

puzzles ct.category-theory topology

— कॉलिन मैकक्लिअन
स्रोत

आपके नोट से "बंधी-इनपुट बायजेक्शन" की परिभाषा को कॉपी करना बेहतर है। मैंने परिभाषा को गलत समझा जब तक मैंने इसे नहीं पढ़ा।

— त्सुयोशी इटो

किया हुआ। मैं यह बताना चाहता हूं कि जब प्रश्न की प्रेरणा श्रेणी के सिद्धांत शब्दार्थ से आती है, तो यह पहेली ही जुझारू है।

— कॉलिन मैकक्विलन

इस समस्या के बारे में सबसे कष्टप्रद बात यह है कि यह आसान लग रहा है! सभी सेट एक-दूसरे से जुड़े हुए इनपुट-आइसोमॉर्फिक हैं, और इसलिए सभी सेट । मैं कोई कारण नहीं देख सकता कि इन दोनों को मौजूदा प्रमाणों में प्रयुक्त आइसोमॉर्फिज्म की भिन्नता का उपयोग करके बाउंड-इनपुट आइसोमोर्फिक नहीं बनाया जा सकता है, लेकिन ऐसे प्रयास विफल लगते हैं। Aghh। (मुझे इस क्षेत्र में कोई अनुभव नहीं है, इसलिए मैं इस निशान से दूर हो सकता हूं।)

(2 k)^{N}

$(2k)^{\mathbb{N}}$

(2 k + 1)^{N}

$(2k+1)^{\mathbb{N}}$

— त्सुयोशी इतो

मैं वास्तव में इस अनुमान को पसंद करता हूं, और यह अब एक महीने से लटका हुआ है। मैं किसी को भी एक इनाम दूंगा जो इसे हल करता है या दोनों दिशाओं में पर्याप्त प्रगति करता है।

— हारून स्टर्लिंग

अच्छा सवाल :-) वैसे, और बीच "सरलतम" समरूपता क्या है जिसे आप जानते हैं?

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

3^{N}

$3^\mathbb{N}$

— बाउर

जवाबों:

मैं सीएस सिद्धांत का आदमी नहीं हूं। लेकिन एर्गोडिक सिद्धांत में इस प्रकार की मैपिंग को फिनोमिनल आइसोमॉर्फिम्स के रूप में जाना जाता है । उदाहरण के लिए लोगों को माना जाता है कि एक ही एंट्रोपी के दो बर्नौली क्रमों को बारीक रूप से आइसोमॉर्फिक है या नहीं। उदाहरण के लिए (यह एक तरफा बदलाव है क्योंकि ऐसा लगता है आप के साथ संबंध है के बजाय ): $P^{\mathbb{N}}$ $P^{\mathbb{Z}}$

ए। डेल जुंको, "एक तरफा बर्नौली पारियों के बीच एकात्मक कोड," एर्गोडिक थ्योरी डायनामिकल सिस्टम, वॉल्यूम। 1, पीपी 285301, 1981।

पीएस मैं इसे एक टिप्पणी के रूप में छोड़ने का इरादा रखता हूं, लेकिन मैं प्रतिष्ठा की कमी के कारण नहीं कर सकता। मुझे बताएं कि अगर यह पूरी तरह से विषय है तो मैं इसे हटा दूंगा।

— माँझी
स्रोत

मैं इस बिंदु पर किसी भी निराधार विचार मंथन का स्वागत करता हूं।

— एरोन स्टर्लिंग

ध्यान दें कि क्या सूचकांक ices या ℕ से लिया गया है, इस प्रश्न में अप्रासंगिक है।

— त्सुयोशी इतो

मैंने इस उत्तर के लिए पूर्ण इनाम दिया है, क्योंकि, अगर मैंने कुछ नहीं किया, तो उत्तर को आधा इनाम प्राप्त होगा, क्योंकि सबसे ऊपर (और कम से कम दो वोट प्राप्त हुए)। यदि कोई बाद की तारीख में एक पूर्ण या आंशिक प्रमाण पोस्ट करता है, और मैं इसे देखता हूं, तो मैं शायद एक और इनाम शुरू करूंगा, ताकि सॉल्वर को फिर से पुरस्कार दे सकूं।

— एरोन स्टर्लिंग

मुझे लगता है कि और बीच एक आइसोमोर्फिज्म को आकार के अनन्य और संपूर्ण बाइनरी उपसर्गों के किसी भी संग्रह द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए , उदाहरण के लिए हम "0", " 10 ", और" 11 "। अधिक सामान्य तौर पर, हम "0", "10", "110", ..., "11 ... 10", "11 ... 11" का उपयोग कर सकते हैं, जहां दूसरे से अंतिम में वाले और हैं। अंतिम में । $k^\mathbb{N}$ $2^\mathbb{N}$ $k$ $k = 3$ $k - 2$ $k - 1$

अनन्य और संपूर्ण प्रकृति हमें स्पष्ट फैशन में व्युत्क्रम ( ) को परिभाषित करने की अनुमति देती है । $2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

आगे दिशा में boundedness आसान के बाद से प्रत्येक इनपुट अंक कम से कम एक उत्पादन अंकों प्रदान करता है वें बाइनरी अंक आसानी से अधिक नहीं पहले से निर्धारित होता है -ary अंक। $i$ $i$ $k$

पीछे की दिशा में सीमा थोड़ा बदसूरत है। उपसर्ग संग्रह मैं प्रत्येक ऊपर दिया साथ -ary अंकों "लिखा है" ज्यादा से ज्यादा से द्विआधारी अंकों और इतने वें -ary अंकों पहले से अधिक नहीं द्वारा निर्धारित किया जाता बाइनरी अंकों। $k$ $k$ $i$ $k$ $k i$

यह किसी भी दिशा में बाउंड-इनपुट नहीं है। एक बाउंड-इनपुट फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आपको इनपुट वेरिएबल्स की संख्या पर एक समान बाउंड की आवश्यकता होती है, जो प्रत्येक आउटपुट वेरिएबल पर निर्भर करता है। आपके मानचित्रण की आगे की दिशा में, i-th आउटपुट चर पहले i इनपुट चर पर निर्भर करता है, इसलिए कोई समान बाध्य नहीं है। पीछे की दिशा में, i-th आउटपुट चर पहले ki इनपुट चर पर निर्भर करता है।

— त्सुयोशी इतो

डी 'ओह। मैं 1.5 वीं बार प्रश्न पढ़ने जा रहा हूं। :(