अधिकतम असहमति सेट: लालची एल्गोरिथ्म का वास्तविक सन्निकटन कारक क्या है?

Question

उम्मीदवारों के दिए गए संग्रह से अधिकतम असंबद्ध सेट - गैर-अतिव्यापी ज्यामितीय आकृतियों का अधिकतम सेट खोजने की समस्या पर विचार करें । यह एक एनपी-पूर्ण समस्या है, लेकिन कई मामलों में, निम्न लालची एल्गोरिथ्म एक निरंतर-कारक सन्निकटन पैदा करता है:

• प्रत्येक अभ्यर्थी आकार x के लिए , इसके असंबद्ध चौराहे की संख्या = असंबद्ध आकृतियों की सबसे बड़ी संख्या की गणना करता है जो प्रतिच्छेद x है ।$DIN(x)$
• $\arg \min_{x} DIN(x)$
• तब तक जारी रखें जब तक कि अधिक उम्मीदवार न रहें।

उदाहरण के लिए, विकिपीडिया पृष्ठ से निम्न आकृति पर विचार करें:

हरे रंग की डिस्क 5 अन्य डिस्क को काटती है, लेकिन इसका DIN 3 है (3 लाल डिस्क असंतुष्ट हैं)। सबसे ऊपर और बॉटलमोस्ट लाल डिस्क 2 अन्य डिस्क को काटती है, लेकिन वे खुद को काटते हैं, इसलिए उनका डीआईएन 1 ​​है। पीले डिस्क में 2 का DIN होता है। लालची एल्गोरिथ्म इस प्रकार सबसे ऊपरी या बॉटलमोस्ट लाल डिस्क का चयन करता है।

यदि न्यूनतम डीआईएन एक निरंतर द्वारा बाध्य किया जा सकता है, तो लालची एल्गोरिथ्म एक बहुपद निरंतर-कारक सन्निकटन है।

उदाहरण के लिए, यदि सभी उम्मीदवार आकृतियाँ इकाई डिस्क हैं, तो मराठे एट अल (1995) दिखाती है कि डीआईएन के साथ एक डिस्क जिसमें अधिकतम 3 मौजूद हैं: सबसे बाईं डिस्क (सबसे छोटी x निर्देशांक वाली डिस्क) अधिकांश 3 अन्य स्थानों पर डिस्क से जुड़ती है । इसलिए लालची एल्गोरिथ्म एक 3-सन्निकटन पैदा करता है क्योंकि यह इष्टतम समाधान में प्रत्येक (अधिकतम) 3 डिस्क के लिए 1 डिस्क प्राप्त करता है।

इसी तरह, यदि सभी उम्मीदवार आकार मनमाने आकार के डिस्क हैं, तो लालची एल्गोरिथ्म एक 5-सन्निकटन पैदा करता है, क्योंकि सबसे छोटी डिस्क 5 से अधिक अन्य असंतुष्ट डिस्क पर अंतर करती है, यानी न्यूनतम डीआईएन अधिकतम 5 पर है।

अब तक तो अच्छा है, लेकिन क्या ये कारक 3 और 5 तंग हैं? मुझे यकीन नहीं है।

ऊपर की आकृति पर विचार करें। बाईं ओर की डिस्क (ग्रीन) का चयन करने पर आकार 1 का एक डिसऑर्डर सेट मिलेगा, जो वास्तव में आकार 3 (लाल) के अधिकतम डिसऑइंट सेट के लिए 3-सन्निकटन है, लेकिन, लालची एल्गोरिथ्म ग्रीन डिस्क का चयन नहीं करेगा - यह चयन करेगा ऊपर / नीचे लाल डिस्क, जिसका DIN 1. है। इस मामले में लालची एल्गोरिथ्म इष्टतम समाधान प्राप्त करेगा।

मैं सामान्य लिए एक काउंटर-उदाहरण नहीं ढूँढ सका , जिसमें लालची एल्गोरिथ्म में यूनिट डिस्क के साथ एक असंबद्ध सेट पाया गया जबकि अधिकतम डिस्ऑइंट सेट में । वास्तव में, मैं एक सामान्य काउंटर-उदाहरण का निर्माण भी नहीं कर सकता था जिसमें न्यूनतम डीआईएन वास्तव में 3 है। मैं जिस सर्वश्रेष्ठ के साथ आ सकता हूं वह निम्नलिखित है, जिसमें प्रत्येक यूनिट डिस्क अधिकांश 2 अन्य असंतुष्ट डिस्क (यानी न्यूनतम डीआईएन) पर प्रतिच्छेद करती है। 2) है। लेकिन यहाँ भी, लालची एल्गोरिथ्म 2-सन्निकटन के बजाय इष्टतम समाधान ढूंढता है:$n$$n$$3n$

मेरे प्रश्न हैं:

• यूनिट-डिस्क के संग्रह में वास्तविक अधिकतम मिनट डीआईएन क्या है ? मनमाना आकार के डिस्क?
• यूनिट-डिस्क के संग्रह के लिए लालची एल्गोरिथ्म का वास्तविक सन्निकटन कारक क्या है ? मनमाने आकार के डिस्क के लिए? (यह कारक अधिकतम न्यूनतम डीआईएन जितना बड़ा है, लेकिन छोटा हो सकता है)।

अद्यतन: आकृतियों के प्रत्येक k-tuple के लिए, , को परिभाषित करें = उनके संघ द्वारा प्रतिच्छेदित आकृतियों की सबसे बड़ी संख्या । को न्यूनतम के दीन के रूप में परिभाषित करें कि आकार के सभी k-tuples पर है।$x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

उदाहरण के लिए, यूरी के जवाब में नीचे, , क्योंकि हर सर्कल 3 अन्य सर्कल को इंटरसेक्ट करता है। , क्योंकि सर्कल का चयन करना संभव है, एक बाहरी सर्कल से और एक आंतरिक सर्कल से, यह एक साथ केवल 4 अन्य सर्कल को इंटरसेक्ट करता है। प्रत्येक , ।$minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

मुझे लगता है कि लालची एल्गोरिथ्म के सन्निकटन अनुपात को द्वारा बाध्य किया जा सकता है , क्योंकि, इष्टतम समाधान में प्रत्येक आकृतियों के लिए, एल्गोरिथम आउटपुट में हमारे पास कम से कम आकार हैं। क्या ये सही है?$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

संपादित करें: मैं अब असतत ज्यामिति में उत्कृष्ट पुस्तक अनुसंधान समस्याओं को पढ़ रहा हूं । जब तक मुझे यह सटीक समस्या नहीं मिली, मुझे एक समस्या मिली जो संबंधित दिखती है। "कई पड़ोसियों के साथ 2.5 पतले पैकिंग" खंड में, सर्कल पैकिंग के उदाहरण हैं जिसमें प्रत्येक सर्कल 5 अन्य सर्कल को छूता है। मुझे आश्चर्य है कि अगर ऐसी पैकिंग DIN = 5 के साथ हलकों के कॉन्फ़िगरेशन को प्राप्त कर सकती है।

Comments

यह ध्यान रखना दिलचस्प हो सकता है कि DIN की गणना करना उतना ही कठिन हो सकता है जितना कि एक अधिकतम स्वतंत्र सेट की गणना करना। उदाहरण के लिए, डिस्क ग्राफ के मामले में (यूनिट डिस्क ग्राफ के बजाय) एक व्यवस्था में अन्य सभी वस्तुओं को जोड़ने के लिए एक बड़ी डिस्क जोड़ सकता है; इसकी DIN की गणना मूल व्यवस्था में अधिकतम स्वतंत्र सेट की गणना करने से मेल खाती है।

— बार्ट जानसन

@BartJansen सच है, लेकिन लालची एल्गोरिथ्म को वास्तव में हर आकृति के लिए DIN की गणना करने की आवश्यकता नहीं है - इसे केवल न्यूनतम DIN के साथ आकृति की आवश्यकता है। चूँकि न्यूनतम DIN अधिकतम 5 पर है (मनमाने आकार के डिस्क के मामले में), इसे केवल सबसे अधिक 6 डिस्क्स के साथ सभी सबसेट की जाँच करनी है, और देखें कि उनमें से एक स्वतंत्र है या नहीं। यह प्रत्येक आकार के लिए समय में किया जा सकता है । $O(n^6)$

— इरेल सहगल-हलेवी

आपके अंतिम प्रश्न के लिए - हाँ, यह सही है।

— डोमपोटर

Answer 1

यूनिट-डिस्क के संग्रह में वास्तविक अधिकतम न्यूनतम डीआईएन क्या है?

यह 3 है।

Comments

यहां 32 यूनिट डिस्क हैं, जिन्हें 16 के 2 स्तरों में व्यवस्थित किया गया है। प्रत्येक डिस्क 3 असमान डिस्क को हटाती है - 2 अपने स्तर पर और 1 अन्य स्तर पर। लेकिन, लालची एल्गोरिथ्म में अभी भी 16 डिस्क के साथ एक इष्टतम समाधान मिलेगा।

— एरेल सहगल-हलेवी

हां, यह सवाल का केवल 1/4 जवाब है :-)

— यूरी