रैखिक प्रणालियों के लिए व्यवहार्यता जाँच और अनुकूलन की समानता

Question

यह दिखाने का एक तरीका है कि असमानताओं की एक रैखिक प्रणाली की व्यवहार्यता की जांच करना उतना ही कठिन है जितना कि रैखिक प्रोग्रामिंग दीर्घवृत्तीय विधि द्वारा दी गई कमी के माध्यम से है। एक और भी आसान तरीका इष्टतम समाधान का अनुमान लगाना है और इसे द्विआधारी खोज के माध्यम से बाधा के रूप में पेश करना है।

ये दोनों कटौती बहुपद हैं, लेकिन दृढ़ता से बहुपद नहीं हैं (अर्थात वे असमानताओं के गुणांक में बिट की संख्या पर निर्भर करते हैं)।

क्या एलपी अनुकूलन से एलपी व्यवहार्यता तक एक बहुपद में कमी है?

Comments

दरअसल नहीं। आप जैसा कहते हैं वैसा ही होता है। मुझे पता है कि एलपी अनुकूलन एलपी व्यवहार्यता को हल करता है। मैं विपरीत कमी के लिए पूछ रहा हूँ।

— सुरेश वेंकट

खैर, अनुकूलन के लिए आउटपुट में कई बिट्स हो सकते हैं जैसे कि "गुणांक में बिट्स की संख्या", जबकि व्यवहार्यता हां या नहीं है। इस प्रकार, यदि आप घटाकर "ब्लैक-बॉक्स" का अर्थ करते हैं, तो उत्तर नकारात्मक होना चाहिए।

— नोम

लेकिन, यदि व्यवहार्यता जांच नॉम द्वारा की गई चर्चा के अनुसार केवल हां / ना में कोई उत्तर नहीं देती है, बल्कि व्यवहार्यता के मामले में व्यवहार्य समाधान प्रदान करती है, तो उत्तर हां है, एलपी द्वैत द्वारा।

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन

@ सुरेश वेंकट: मान लीजिए कि प्राइमल वैरिएबल में एक मैक्सिमाइजेशन प्रोग्राम है , जिसमें डुअल के बाद वेरिएबल्स y में मिनिमाइजेशन प्रोग्राम है । फिर चर x , y में असमानताओं की प्रणाली का निर्माण करें , दोनों को प्रधान और दोहरी से अड़चनें ले रही हैं, साथ में एक असमानता को बताते हुए कि primal solution का मान कम से कम दोहरे समाधान का मान है। एलपी के मामले अनमने और अनबाउंड होने के मामलों से भी निपटा जा सकता है। $x$$y$$x,y$

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हेन्सन

निहित बाधाओं से परिभाषित पॉलीटॉप्स / पॉलीहेड्रा के बारे में क्या?

— चंद्रा चकुरी

Answer 1

इसका उत्तर हां में है, और वास्तव में एक भी रैखिक असमानताओं की निर्णय समस्या को कम कर सकता है व्यवहार्यता!

$\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

इसके अलावा, हमारे पास एक दैवज्ञ की पहुंच है जो असमानताओं की एक प्रणाली देता है रिटर्न हाँ / नहीं, चाहे प्रणाली संभव हो।$S=\{Bz \leq d\}$

कमी अब इस प्रकार है:

1. यदि का संभव है। यदि नहीं, तो हम रिपोर्ट कर सकते हैं कि P INFEASIBLE है।$S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
2. दोहरा कार्यक्रम D: ।$\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
3. परीक्षण करें यदि संभव है। यदि नहीं, तो हम रिपोर्ट कर सकते हैं कि P UNBOUNDED है।$S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
4. की असमानताओं पर और उन्हें सिस्टम में समानता (यानी रिवर्स असमानता जोड़ें) के रूप में एक-एक करके जोड़ने का । यदि सिस्टम संभव है तो हम बाधा को में , और अन्यथा इसे फिर से हटा दें। बता दें कि इस तरह से जोड़े जाने वाली बाधाओं (रैखिक समानता) की प्रणाली है। सिस्टम अब पूरी तरह से पी के लिए एक बुनियादी बुनियादी समाधान का निर्धारण करेगा।$S_1$$S_2$$S_2$$S_3$$S_3$
5. सिस्टम पर गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करके एक इष्टतम समाधान से P तक की गणना करता है।$S_3$$x$

Comments

चरण 4 और 5 की जरूरत नहीं है। यदि संभव है, तो हमने का इष्टतम समाधान प्राप्त किया है । $S_2$$P$

— hengxin

@hengxin। यह मेरे उत्तर की पहली पंक्ति में लिखता है कि निर्णय की समस्या को कम करने पर विचार करने पर भी उत्तर हाँ है। नीचे मैं स्पष्ट रूप से यह धारणा बनाता हूं, और इसलिए चरण 4 और 5 आवश्यक हैं।

— क्रिस्टोफ़र अर्नसेफेल्ट हैनसेन