रेखांकन पर दिलचस्प कार्य जिन्हें कुशलता से अधिकतम किया जा सकता है।

Question

यह कहें कि मेरे पास एक भारित ग्राफ जैसे कि वेटिंग फ़ंक्शन है - ध्यान दें कि नकारात्मक वज़न की अनुमति है।$G = (V,E,w)$$w:E\rightarrow [-1,1]$

यह कहें कि वर्टिकल के किसी भी उपसमुच्चय की संपत्ति को परिभाषित करता है ।$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$$S \subset V$

प्रश्न: कुछ दिलचस्प उदाहरण हैं जिनके लिए अधिकतम समस्या: बहुपद समय में किया जा सकता है?$f$$\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

उदाहरण के लिए, ग्राफ कट फंक्शन

$$f(S) = \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not\in S}w((u,v))$$ का सबसे दिलचस्प गुण है। वर्टिकल का, लेकिन कुशलता से अधिकतम नहीं किया जा सकता है। किनारे घनत्व फ़ंक्शन एक दिलचस्प संपत्ति का एक और उदाहरण है जो अफसोस, कुशलता से अधिकतम नहीं हो सकता है। मैं ऐसे कार्यों की तलाश में हूं जो समान रूप से दिलचस्प हैं, लेकिन कुशलता से अधिकतम हो सकते हैं।

मैं "दिलचस्प" की परिभाषा को कुछ अस्पष्ट होने दूँगा, लेकिन मैं चाहता हूं कि अधिकतम समस्या गैर-तुच्छ हो। उदाहरण के लिए ऐसा नहीं होना चाहिए कि आप ग्राफ़ के किनारों की जांच किए बिना उत्तर निर्धारित कर सकें (इसलिए स्थिर कार्य, और कार्डिनैलिटी फ़ंक्शन दिलचस्प नहीं हैं)। यह भी ऐसा नहीं होना चाहिए कि $f$ वास्तव में सिर्फ किसी अन्य फ़ंक्शन को एक बहुपद के आकार के डोमेन के साथ डोमेन 2 ^ V में पैडिंग करके एन्कोडिंग है $2^V$(यानी मैं नहीं चाहता कि कुछ छोटे डोमेन $X$ , और कुछ फ़ंक्शन $m:2^S\rightarrow X$ को ग्राफ को देखने से पहले जाना जाता है, जैसे कि ब्याज का कार्य वास्तव में $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ , और $f(S) = g(m(S))$ यदि यह मामला है, तो "अधिकतमकरण" समस्या वास्तव में सभी इनपुटों पर फ़ंक्शन के मूल्यांकन का एक सवाल है।)

संपादित करें: यह सच है कि कभी-कभी कम से कम समस्याएँ आसान होती हैं यदि आप एज वेट को अनदेखा करते हैं (हालांकि कट फंक्शन को कम नहीं करते हैं, क्योंकि मैं नकारात्मक एज वेट की अनुमति देता हूं)। लेकिन मैं स्पष्ट रूप से अधिकतम समस्याओं में रुचि रखता हूं। हालांकि यह सेटिंग में प्राकृतिक भारित समस्याओं में एक मुद्दा नहीं बनता है।

Comments

क्या आपके पास इस तरह के समारोह का एक उदाहरण है?

— यारोस्लाव बुलटोव

नहीं, इसलिए सवाल। :-)

— हारून रोथ

आह अच्छा। मेरी धारणा यह है कि सभी रेखांकन के लिए एक फ़ंक्शन जिसे कुशलता से अधिकतम किया जा सकता है, वह निर्बाध होना चाहिए। लेकिन ऐसे दिलचस्प कार्य हो सकते हैं जिन्हें ग्राफ़ के प्रतिबंधित सेट के लिए कुशलता से अधिकतम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्लानर ग्राफ़ के लिए, कुछ दिलचस्प कार्यों को कुशलता से अधिकतम किया जा सकता है, जबकि अन्य दिलचस्प कार्यों में अभी तक एक कुशल एल्गोरिथ्म नहीं है

— यारोस्लाव बुलटोव

यदि हम किसी भी दिलचस्प कार्य के बारे में नहीं सोच सकते हैं जो सभी रेखांकन पर अधिकतम किया जा सकता है, तो मैं ग्राफ़ के प्रतिबंधित कक्षाओं के लिए परिणामों के बारे में उत्तर देखकर खुश होऊंगा।

— एरोन रोथ

क्या यह सीडब्ल्यू नहीं होना चाहिए? हम मनमाने ढंग से कई उदाहरण उत्पन्न कर सकते हैं, और क्या वे "दिलचस्प" व्यक्तिपरक हैं।

— जुका सुओमेला

Answer 1

जब भी किनारों की संख्या की गणना करता है , तो और _ के संदर्भ में परिभाषित कुछ बूलियन विधेय को संतुष्ट करता है , तो आपने जो लिखा है वह सिर्फ एक बूलियन 2-CSP है। उद्देश्य फ़ंक्शन सभी असाइनमेंट पर संतुष्ट क्लॉज़ की संख्या को वेरिएबल्स पर अधिकतम करने के लिए कहता है। इसे एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है और सटीक कठोरता सीमा को यूजीसी (राघवेंद्र'08 देखें) के रूप में भी जाना जाता है।$f(S)$$(u,v)$$u\in S$$v\in S$

कई प्राकृतिक सकारात्मक उदाहरण हैं जब आप किनारों के सबसेट को अधिकतम करना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, अधिकतम मिलान इस मामले में एक बहुपद समय समस्या का एक उदाहरण है।

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यह एक अच्छा अवलोकन है जो इस प्रकार की कई प्राकृतिक समस्याओं को नियंत्रित करता है।

— आरोन रोथ

Answer 2

द्विशताब्दी विभाजन / कमजोर 2-रंग।

(इस मामले में यदि प्रत्येक में एक पड़ोसी है विपरीत और उपाध्यक्ष। अन्यथा । के साथ एक समाधान हमेशा मौजूद है देखते हैं अगर अलग-थलग नोड्स, और यह बहुपद समय में आसानी से पाया जा सकता है।)$f(S) = 1$$v \in S$$V \setminus S$$f(S) = 0$$f(S) = 1$

Answer 3

न्यूनतम कटौती (विशेष रूप से, वर्टेक्स कट)।

(इस मामले में कुछ इस तरह होगा: 0 यदि सेट में नोड्स को हटाने से , कम से कम दो घटकों में का विभाजन नहीं करता है , और अन्यथा। तो को अधिकतम करने के लिए एक न्यूनतम कट खोजने के बराबर है। , जो बहुपद समय में किया जा सकता है।)$f$$S$$G$$|V| - |S|$$f$

आप एक समान फ़ंक्शन को भी परिभाषित कर सकते हैं जो न्यूनतम बढ़त में कटौती से मेल खाती है।

(उदाहरण के लिए, 0 है यदि या ; अन्यथा यह है , जहां किनारों का समूह है जिसमें में एक एंडपॉइंट है और में दूसरा समापन बिंदु है। ।)$f(S)$$S = \emptyset$$S = V$$|E| - |X|$$X$$S$$V \setminus S$

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ठीक है, लेकिन यह भेस में एक कम से कम समस्या है, जो कि किनारे के वजन को अनदेखा करने पर आसान हो जाता है। (ध्यान दें कि अगर आप एज वेट को ध्यान में रखते हैं, क्योंकि मैं निर्दिष्ट करता हूं कि हमारे पास ऋणात्मक भार हो सकता है, तो मिन-कट भी एक कठिन समस्या है)। मैं इस बिंदु पर जोर देने के लिए प्रश्न को संपादित करने का प्रयास करूंगा।

— आरोन रोथ

Answer 4

अधिकतम स्वतंत्र सेट।

(यहाँ = में नोड्स की संख्या कि में किसी भी अन्य नोड के निकट नहीं हैं में एक नोड के + संख्या कि में एक नोड के निकट हैं । Iff एक अधिक से अधिक स्वतंत्र सेट हमारे पास है )$f(S)$$S$$S$$V \setminus S$$S$$S$$f(S) = |V|$

Comments

आप बहुपद समय में अधिकतम स्वतंत्र सेट कैसे पाते हैं?

— यारोस्लाव बुलटोव

@ यारोस्लाव: लालच से।

— जुक्का सुकोला

@ यारोस्लाव: संकेत - अधिकतम और अधिकतम के बीच अंतर बड़े पैमाने पर है। ;-)

— रॉस स्नाइडर