अनबाउंड फ्रैक्शनल हाइपरट्री चौड़ाई वाले सीएसपी

सोडा 2006 में, मार्टिन ग्रोह और डी n n मार्क्स के पेपर "फ्रैक्शनल एज कवर के माध्यम से कसना हल करना" ( ACM प्रशस्ति पत्र ) से पता चला कि हाइपरग्राफ के वर्ग के लिए बंधी फ्रैक्चर हाइपरट्री चौड़ाई, CSP ( ) _ । $\acute{\rm a}$ $H$ $H$ $\in PTIME$

परिभाषाएँ, आदि।

मानक पेड़ के डीकंपोजिशन और ट्रेविदथ के एक महान सर्वेक्षण के लिए, यहां देखें (समय से आगे धन्यवाद, जेफई!)।

$H$ को हाइपरग्राफ होने दें ।

फिर एक हाइपरग्राफ $H$ और एक मैपिंग $\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$ ,

$B(\gamma) =$ { $v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$ }।

इसके अतिरिक्त, वजन ( $\gamma$ ) = $\sum_{e \in E}\gamma(e)$ ।

तब का एक भिन्नात्मक हाइपरट्री विघटन एक ट्रिपल , जहाँ: $H$ $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

और, $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ का वृक्ष अपघटन है $H$
से सेंट $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ का एक परिवार है हर लिए है। । $E(H)$ $[0, \infty)$ $t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$

फिर हम की चौड़ाई को की चौड़ाई कहते हैं, जो {वजन }। $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$ $\max$ $(\gamma_t), t \in V(T)$

अंत में, के आंशिक hypertree चौड़ाई , fhw ( ), के सभी संभव आंशिक hypertree decompositions से अधिक चौड़ाई की न्यूनतम है । $H$ $H$ $H$

सवाल

जैसा कि ऊपर कहा गया है, यदि सीएसपी के अंतर्निहित ग्राफ की आंशिक हाइपरट्री चौड़ाई एक स्थिर से बंधी है, तो सीएसपी को हल करने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है। हालांकि, इसे लिंक किए गए पेपर के अंत में एक खुली समस्या के रूप में छोड़ दिया गया था, चाहे सीएसपी के कई बहुपत्नी-समय के हल करने योग्य परिवार थे, जिनके पास अनियंत्रित हाइपरट्री चौड़ाई है। (मुझे यह भी इंगित करना चाहिए, यह प्रश्न पूरी तरह से बंधे हुए बनाम अप्रकाशित ट्रिव्यूथ ( एसीएम प्रशस्ति पत्र ) के मामले में इस धारणा के तहत हल किया गया है कि ।) क्योंकि पहले-लिंक्ड पेपर के बाद से कुछ समय हो गया है। प्लस मैं इस उप-क्षेत्र की सामान्य स्थिति से अपेक्षाकृत अनभिज्ञ हूं, मेरा सवाल यह है: $FPT \ne W[1]$

क्या अनबाउंड फ्रैक्शनल हाइपरट्री चौड़ाई वाले ग्राफ़ पर CSPs की ट्रैक्टबिलिटी के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है ?

— डैनियल एपोन
स्रोत

आप दो कागजों से जुड़े हैं, दोनों अनुमानों के साथ। मुझे लगता है कि तुम Grohe 2007 अनुमान का मतलब है।

इस सवाल का जवाब 2008 में दिया गया था:

प्रमेय 5. सीएसपी (सी , _) एनपी में है, लेकिन न तो पी में है और न ही एनपी-पूर्ण (जब तक कि पी = एनपी) नहीं है। इसके अलावा, सेट C का निर्धारण नियतात्मक बहुपद समय में किया जा सकता है। $_0$ $_0$

मैनुअल बोडिरस्की और मार्टिन ग्रोह, कांस्टेंट सैंटिसेशन कॉम्प्लेक्सिटी , आईसीएएलपी 2008 में नॉन- डाइकोटोमिज़ी। डोई: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( पीडीएफ )

यह विचार CLIQUE के उदाहरण आकारों में छेद को उड़ाने के लिए है, उसी विलंबित विकर्ण तकनीक द्वारा लाडनेर द्वारा अपने प्रमेय के लिए पेश किया गया था। ध्यान दें कि सेट C में मनमाने ढंग से बड़े क्लस्टर होते हैं, और -clique की आंशिक हाइपरट्री चौड़ाई । इसलिए यह संभव है कि फॉर्म के CSP CSP (A, _) के हैं जो मध्यवर्ती जटिलता के हैं, जहां A में अनौपचारिक आंशिक हाइपरट्री चौड़ाई है। यह ग्रोह नकारात्मक में अनुमान का जवाब देता है। $_0$ $n$ $n/2$

उसी सम्मेलन में चेन, थर्ले और वीयर के पास एक समान परिणाम वाला एक पेपर था, लेकिन इसके लिए तकनीकी रूप से मजबूत एम्बेडिंग की आवश्यकता थी ताकि अनुमान के लिए तकनीकी रूप से सही रूप न हो।

यिजिया चेन, मार्क थर्ले, और मार्क वीयर, प्रेरित उपसमूह समसामयिकता, आईसीएएलपी 2008 की जटिलता को समझते हैं। doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

अंत में, सीएसपी उदाहरणों के किसी भी वर्ग को सबसे खराब स्थिति वाले आंशिक हाइपरट्री चौड़ाई के साथ एक प्रतिनिधित्व में बदला जा सकता है। कई मामलों में यह परिवर्तन बहुपद के आकार में बंधा होता है और बहुपद में किया जा सकता है। इसका मतलब है कि सीएसपी को अनबाउंड फ्रैक्शनल हाइपरट्री चौड़ाई, यहां तक कि मोडुलो होमोमोर्फिक तुल्यता के साथ उत्पन्न करना आसान है। ये CSP CSP (A, _) के रूप में नहीं जा रहे हैं क्योंकि लक्ष्य संरचनाएं विशेष हैं, लेकिन वे एक साफ कारण प्रदान करते हैं कि केवल स्रोत संरचनाओं को सीमित करके परिभाषित CSPs यह सब दिलचस्प नहीं हैं: यह अक्सर बस होता है प्रतिनिधित्व को बदलकर सीएसपी उदाहरण के पेड़ जैसी संरचना को छिपाना आसान है ताकि स्रोत संरचना में बड़ी चौड़ाई हो। (यह मेरी थीसिस के अध्याय 7 में चर्चा की गई है ।)

— आंद्रस सलामन
स्रोत

महान प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद। एक त्वरित अनुवर्ती प्रश्न: "दूसरी ओर से होमोमोर्फिज्म और कॉम्प्रिहेंशन सैटिस्फैक्शन प्रॉब्लम्स की जटिलता" का मेरा पढ़ना यह है कि फॉर्म के सीएसपी (सी, _) के सीएसपी के लिए पी बनाम एनपी-सी डाइकोटॉमी मौजूद है। बंधी हुई अशुद्धता के गैर-हाइपरग्राफ, क्या मैं ऐसा विश्वास करने में सही हूं? या इस बिंदु पर अधिक - इस पेपर के कोरोलरी 6.1 में कोई छिपी हुई धारणा / अनुमान नहीं है जिससे मैं अनजान हूं, क्या वहाँ है? या आगे, क्या डाइकोटॉमी है बस पी बनाम नहीं-पी? (क्षमा करें यदि यह स्पष्ट है।)

— डैनियल अपॉन

@ डैनियल: यह पेपर डाइकोटोमिज़ के बारे में इतना अधिक नहीं था, लेकिन बंधी हुई चौड़ाई के रूप में ट्रैक्टेबल संरचना-प्रतिबंधित मामलों को सटीक रूप से चिह्नित करने के बारे में था। बंधी हुई चौड़ाई को नापसंद करने के लिए जाना जाता था, लेकिन ग्रोह के कागज का मुख्य हिस्सा दूसरी दिशा में है। असंबद्ध चौड़ाई का तात्पर्य मनमाने ढंग से बड़े आकार के एम्बेडिंग ग्रिड माइनर्स से है, जो कि तब CLIQUE जैसी NP-कठिन समस्या को एनकोड करने के लिए उपयोग कर सकते हैं। CSP के लिए Feder / Vardi dichotomy अनुमान CSP (_, B) प्रकार के प्रतिबंधों के लिए है, जिनके बारे में माना जाता है कि वे P या NP-complete में हैं।

— आंद्र सलामॉन

@ डैनियल: वैसे, यह सामान निश्चित रूप से मेरे लिए पहली बार नहीं था जब मैंने इसे पढ़ा। मेरी पिछली टिप्पणी में ग्रोह के पत्र का व्यंग्यात्मक सारांश डेव कोहेन के लिए बहुत कुछ है।

— आंद्र सलामन