किस श्रेणी में रैंडमाइज्ड एल्गोरिदम हैं जो 25% संभावना के साथ गलत हैं?

Question

मान लीजिए मैं बीपीपी के निम्नलिखित प्रकार पर विचार करता हूं, जिसे हम ई (एक्सएक्ट) बीपीपी कहते हैं: ईबीपीपी में एक भाषा होती है यदि कोई बहुपद समय यादृच्छिक रूप से टीजी है जो भाषा के प्रत्येक शब्द को बिल्कुल 3/4 प्रायिकता के साथ स्वीकार करता है और हर शब्द में नहीं है। ठीक 1/4 प्रायिकता वाली भाषा। जाहिर है ईबीपीपी बीपीपी में निहित है लेकिन क्या वे समान हैं? क्या इसका अध्ययन किया गया है? इसी तरह के निश्चित ईआरपी के बारे में क्या?

प्रेरणा। मेरी मुख्य प्रेरणा यह है कि मैं यह जानना चाहता था कि `` अपेक्षित मूल्य में `` सही की जटिलता सिद्धांत '' अलेन्ज़ा एट अल के यादृच्छिक एल्गोरिथ्म क्या है। (देखें http://arxiv.org/abs/1105.4127 ) होगा। पहले मैं यह समझना चाहता था कि इस तरह के एल्गोरिदम से कौन सी निर्णय समस्याएं हल हो सकती हैं (सबसे खराब स्थिति बहुपद चल रहे समय के साथ)। आइए इस वर्ग को E (xpected) V (alue) PP से निरूपित करें। यह देखने के लिए कि USAT आसान है $\in$ EVPP। इसके अलावा आसान है कि EBPP देखने के लिए $\subset$ EVPP। तो यह मेरी प्रेरणा थी। EVPP के बारे में कोई प्रतिक्रिया भी स्वागत योग्य है।

वास्तव में, उनका एल्गोरिदम हमेशा एक नॉनगेटिव नंबर को आउटपुट करता है। हम निर्णय समस्याओं EVP (ositive) पीपी द्वारा इस तरह के एक एल्गोरिथ्म के कारण पहचानी निरूपित करते हैं, तो हम अभी भी USAT है $\in$ EVPPP। EBPP EVPPP का सबसेट नहीं हो सकती है, हम ईआरपी है $\subset$ EVPPP। हो सकता है कि इनका उपयोग करके हम निर्णय की समस्याओं के लिए एक (नॉनजेक्टिव) रैंक को परिभाषित कर सकें।

Comments

मुझे लगता है कि आप पहले से ही यह एहसास, लेकिन अगर आप संभावना के साथ भाषा में स्वीकार करने के लिए शब्द बाधा आराम $3/4 \pm \varepsilon$ के लिए $\varepsilon \geq 1/\text{poly}(n)$ तो कक्षाएं बराबर होना चाहिए।

— हक बेनेट

@domotorp इस सवाल के पीछे क्या प्रेरणा है? आप इस शब्दार्थ जटिलता वर्ग के साथ क्या करने का इरादा रखते हैं? क्या आप प्रमेय साबित करने के लिए कहीं ईबीपीपी का उपयोग करने का एक तरीका देखते हैं? क्या आप विस्तार से समझा सकते हैं?

— तैफून पे

उवे शोनिंग, 1989 द्वारा पेपर "प्रोबेबिलिस्टिक कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस एंड लॉज़ेस" की जाँच करें।

— पे

@Tayfun: मैंने इसकी जाँच की लेकिन कुछ भी प्रासंगिक नहीं मिला। क्या आप अधिक विस्तार से बताएंगे?

— डोमोटर 10

@HuckBennett: या यहां तक कि के लिए ε ≥ exp ( - पी ओ एल y ( एन ) ) । $3/4\pm\epsilon$$\epsilon\geq \exp(-\mathrm{poly}(n))$

— कॉलिन मैकक्लिअन

Answer 1

साइड नोट पर, यह स्पष्ट नहीं है कि EBPP एक मजबूत वर्ग है। उदाहरण के लिए, यदि एल्गोरिथ्म एक निष्पक्ष सिक्के को फ्लिप करने की अनुमति देने के बजाय, अगर इसे एक निष्पक्ष 3-पक्षीय सिक्का, या 6-पक्षीय मर दिया गया है, तो यह स्पष्ट नहीं है कि आपको एक ही वर्ग मिलता है। यदि आप इन विवरणों को बदलते हैं तो BPP समान रहता है।

वैसे भी, आपका प्राथमिक प्रश्न यह है कि EBPP BPP के बराबर है या नहीं। यह मुझे लगता है कि ईबीपीपी बीपीपी की तुलना में पी के करीब है। इन वर्गों के क्वेरी जटिलता या ओरेकल संस्करण पर विचार करें, जहां उनकी पहुंच एक बड़े इनपुट स्ट्रिंग तक है और इस स्ट्रिंग के बिट्स को सीखने के लिए प्रश्न करना है। आप एक पी एल्गोरिथ्म कि गणना करता है एक समारोह है, तो के साथ क्यू प्रश्नों, तो एक सटीक डिग्री के बहुपद का प्रतिनिधित्व करने से मौजूद है क्यू के लिए च से अधिक आर । (यह सामान्य बहुपद विधि तर्क है।) दूसरी ओर, यदि आपके पास बीपीपी एल्गोरिथ्म है, तो आपको आर के ऊपर एक डिग्री Q बहुपद मिलता है जो सन्निकट होता है $f$$Q$$Q$$f$$\mathbb{R}$$Q$$\mathbb{R}$$f$इस अर्थ में कि इसका मूल्य हर इनपुट पर के मूल्य के करीब है ।$f$

एक फ़ंक्शन लिए EBPP एल्गोरिदम को देखते हुए , हम एक बहुपद का निर्माण कर सकते हैं जो 1/4 आउटपुट करता है जब उत्तर NO और 3/4 होता है जब उत्तर YES होता है। 1/2 घटाकर और 2 से गुणा करके, आप एक सटीक प्रतिनिधित्व बहुपद प्राप्त कर सकते हैं, जैसे P के मामले में। यह मुझे सुझाव देता है कि EBPP P के करीब है।$f$

इस अवलोकन का उपयोग EBPP और BPP के बीच एक ऑरेकल पृथक्करण दिखाने के लिए भी किया जा सकता है। वादा-मेजरिटी समस्या पर विचार करें जहां आपने वादा किया है कि इनपुट 2N / 3 1s से अधिक है या N / 3 1s से कम है और आपको यह तय करना होगा कि कौन सा मामला है। यह बीपीपी में स्पष्ट रूप से है। बहुपद तर्क यह ऊपर वर्णित का उपयोग करते हुए दिखाया जा सकता है इस समारोह की आवश्यकता है कि एक EBPP मशीन के लिए किए जाते हैं। लेकिन ध्यान दें कि आप पी और ईबीपीपी के बीच एक दूसरे तरीके से जुदाई साबित कर सकते हैं। तो शायद इस समस्या के लिए oracle परिणाम बहुत कुछ नहीं कहते हैं? या शायद वे जो कहते हैं, वह यह है कि किसी भी दिशा में समानता दिखाना कठिन होगा।$\Omega(N)$

Comments

हाँ, ओरेकल जुदाई दोनों मामलों में बहुत सीधी लगती है।

— डोमोटरप डे

Answer 2

ऑरेकल पृथक्करण के संबंध में, EBPP = BPP = EXP ^{NP के} साथ एक ऑरेकल है, और P = henceP (और इसलिए EBPP = P) और BPP = EXP ^{NP के} साथ एक ऑरेकल है ।

BPP = EXP ^एनपी ओरेकल ( बीपीपी विकिपीडिया लेख में एक सहित ) का एक निर्माण एक relativized EXP ^{NP NP} समस्या का चयन करना है, और इनपुट आकार (उस समस्या के लिए) पर पुनरावृत्ति करना, उस आकार की समस्या के उदाहरणों के लिए परिणाम ठीक करना, और फिर उस समस्या के उत्तर प्रदान करें यदि इनपुट और एक भराव (उचित लंबाई का) से तय किया गया है जिसे ठीक नहीं किया गया है। EBPP = EXP ^{NP के लिए} , लगभग हमेशा सही जवाब देने के बजाय, हम काउंट्स को बिल्कुल सही बनाने के लिए सिर्फ पर्याप्त गलत जवाब दे सकते हैं। एक ऐसा भी आख्यान है जिसमें EBPP का शून्य त्रुटि एनालॉग (रिपोर्टिंग विफलता की ठीक 1/2 संभावना) EXP (और P = ⊕P लेकिन ZPP = EXP के साथ एक संकलित) के बराबर है।

P = ⊕P और BPP = EXP ^NP ओरेकल यहाँ नोट किया गया है ।

बीपीपी और सी ₌ पी में होने के अलावा , ईबीपीपी sinceपी में है क्योंकि हम गवाहों की संख्या की संभावना को कम कर सकते हैं और फिर उस संख्या को मोड़ सकते हैं।

असंबंधित दुनिया में, बीपीपी संभवतः पी के बराबर है, लेकिन ईबीपीपी के लिए सबूत और भी मजबूत है। EBPP एक तरह से पथों की सटीक संख्या पर निर्भर करता है, जब तक कि एक अनपेक्षित रद्द न हो, अनिवार्य रूप से दोहन करने के लिए असंभव प्रतीत होता है।

Answer 3

यह आंशिक उत्तर है; शायद यह किसी और को बेहतर प्रदान करने के लिए प्रेरित करेगा। $\newcommand{\EBPP}{\mathsf{EBPP}}$ $\newcommand{\CP}{\mathsf{C}_=\mathsf{P}}$

आपकी कक्षा C = P का एक विशेष मामला है । मुझे लगता है कि C = P को परिभाषित करने का एक तरीका इस प्रकार है ( इस पेपर की धारा 2 देखें )। एक भाषा एल में है सी = पी अगर वहाँ सत्यापनकर्ता एक बहुपद समय है वी ऐसा है कि$\EBPP$$\CP$$\CP$$L$$\CP$$V$

• यदि में है एल , तो पीआर w [ वी ( एक्स , डब्ल्यू )  स्वीकार करता है ] = $x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$ , और
• यदि L में नहीं है , तो Pr w [ V ( x , w )  स्वीकार करता है ] not $x$$L$ ।$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] \neq \frac{3}{4}$

(पूर्णता संभावना अनिवार्य रूप से कोई निश्चित अंश हो सकती है; मैंने 3 को चुना$\frac{3}{4}$ ताकि यह आपके प्रश्न में दी गई संभावना से मेल खाता हो।)

को परिभाषित करने का एक तरीका इस प्रकार है। एक भाषा एल में है ई बी पी पी अगर वहाँ सत्यापनकर्ता एक बहुपद समय है वी ऐसा है कि$\EBPP$$L$$\EBPP$$V$

• यदि में है एल , तो पीआर w [ वी ( एक्स , डब्ल्यू )  स्वीकार करता है ] = $x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$ , और
• यदि L में नहीं है , तो Pr w [ V ( x , w )  स्वीकार करता है ] = $x$$L$ ।$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{1}{4}$

Comments

यह बीपीपी का भी एक विशेष मामला है।

— पीटर शोर

@argentpepper जिसे आप का विशेष मामला मानते हैं, वह सही नहीं लगता है। सभी C = P मशीनों को सभी इनपुट के लिए स्वीकार या अस्वीकार करने की आवश्यकता है। आप जो वर्णन कर रहे हैं वह एक श्रेणीबद्ध मशीन है - सिमेंटिक जटिलता वर्ग। यदि संभावना 1/2 है तो यह स्वीकार नहीं करता और न ही अस्वीकार करता है? वह C = P मशीन नहीं हो सकती । ${\bf C_=P}$${\bf C_=P}$${\bf C_=P}$

— तैफुन पे

@PeterShor बिल्कुल

— पे

@TayfunPay मुझे नहीं लगता कि आपकी टिप्पणी समझ में आती है। भाषाओं का एक समूह है, मशीनों का नहीं, इसलिए C = P मशीन जैसी कोई चीज नहीं है । argentpepper सही है कि EBPP वास्तव में C = P का सबसेट है । यह सिर्फ इतना ही स्पष्ट नहीं है कि यह समावेश मददगार है, खासकर जब से C = P एक शक्तिशाली वर्ग है$C_{=}P$$C_{=}P$$C_{=}P$$C_{=}P$

— Sasho Nikolov

बस समस्या को देखने का एक और तरीका प्रदान करना ...

— argentpepper