ग्राफ आइसोमोर्फिज्म समस्या के लिए एक अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म का परिणाम

Question

ग्राफ़ समाकृतिकता समस्या (जीआई) यकीनन एक के लिए सबसे अच्छा ज्ञात उम्मीदवार है एनपी मध्यवर्ती समस्या। सर्वश्रेष्ठ ज्ञात एल्गोरिथ्म रन-टाइम साथ उप-घातांक एल्गोरिथ्म है । यह ज्ञात है कि जीआई नहीं है-जब तक बहुपद पदानुक्रम ढह नहीं जाता।एन$2^{O(\sqrt{n \log n})}$$\mathsf{NP}$

ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या के लिए अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म के जटिलता सिद्धांत परिणाम क्या होंगे?
जीआई के लिए एक अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म जटिलता सिद्धांत में किसी भी प्रसिद्ध अनुमान का खंडन करेगा?

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अन्य समान समस्याओं जैसे टूर्नामेंट में न्यूनतम डोमिनेटिंग सेट, समूह Isomorphism समस्या और टूर्नामेंट Isomorphism समस्या में अर्ध-बहुपद समय ( QP ) एल्गोरिदम हैं। बाद की दो समस्याएं जीआई के लिए बहुपद-टाइम रिड्यूसबल हैं।

क्या हम कुशलता से न्यूनतम समस्या वाले सेट टू टूर्नामेंट की समस्या को जीआई में कम कर सकते हैं?
क्या कोई अनुमान है कि जीआई क्यूपी के लिए कठिन है?

अद्यतन (2015-12-14) : बाबई ने जीआई के लिए अपने क्वासिपोलिनोमियल-टाइम एल्गोरिथ्म के लिए अर्क्सिव पर एक प्रारंभिक मसौदा पत्र पोस्ट किया है ।

अद्यतन (2017-01-04) : बाबई ने दावा किया कि एल्गोरिथ्म quasipolynomial समय में वापस आ गया है, नए विश्लेषण के अनुसार एल्गोरिथ्म सब-एक्सपोनेंशियल समय जो ।2 n o ( 1 $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$$2^{n^{o(1)}}$

अद्यतन (2017-01-09) : बाबई ने अधिक कुशल एक के साथ आक्रामक प्रक्रिया को प्रतिस्थापित करते हुए क्सिपोलिनोमियल समय दावे को बहाल किया।

Comments

मुझे लगता है कि कई लोग सोचते हैं कि इसका एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है, और AFAIK इस तरह के एक एल्गोरिथ्म का कोई जटिलता सिद्धांत नहीं होगा।

— हक बेनेट

यह वह नहीं है जो आप पूछ रहे हैं, लेकिन यह सबसे अच्छा मुझे पता है: ग्रुप आइसोमोर्फिज्म में एक प्राकृतिक और आसान अर्ध-बहुपद-काल एल्गोरिथ्म है, लेकिन इसमें कोई भी से GI की कमी GroupIso: eccc.hpi-web.de/report/2010/117 । औपचारिक रूप से आसान सवाल जो आप पूछते हैं, लेकिन अभी भी व्यापक रूप से खुला है, यह साबित करना है कि जीआई से ग्रुपआईएसओ में कोई पाली-टाइम कमी नहीं है। $\mathsf{AC}^0$

— जोशुआ ग्रोको

दो साल बाद मुझे विश्वास है कि हमारे पास एक उत्तर है। लेज़्लो बाबाई ने साबित कर दिया है कि जीआई में एक अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म है। स्रोत: lucatrevisan.wordpress.com/2015/11/03/…

— user3415207

@ user3415207 बाबाई ने क्वासिपोलिनोमियल रनटाइम के दावे को वापस ले लिया । स्पष्ट रूप से विश्लेषण में एक त्रुटि थी।

— राफेल

@ राफेल ... और बाबई ने अपने दावे (आपकी जैसी ही कड़ी) को बहाल किया।

— डैनी

Answer 1

जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, यदि आप केवल तथ्य (एक ब्लैक बॉक्स के रूप में) के परिणामों के बारे में पूछते हैं कि जीआई क्यूपी में है, तो मुझे लगता है कि इसका जवाब बहुत कम है। एक बात जो मैं सोच सकता हूं, जो कि एक प्रमेय नहीं है, बल्कि अनुसंधान दिशाओं के लिए एक परिणाम है, समूह समरूपता के लिए है। चूंकि GroupIso GI को कम कर देता है और हम यह भी नहीं जानते हैं कि GroupIso P में है या नहीं, GroupIso को P में डालने से GI को P में डालने के लिए एक महत्वपूर्ण बाधा के रूप में देखा जा सकता है (यदि आपको लगता है कि बाद की स्थिति हो सकती है)।

हालाँकि, चूंकि GroupIso के लिए तुच्छ एल्गोरिथ्म , जब GI की जटिलता , तो हमारे पास एक लंबा समय था जीआई की जटिलता को सुधारने में जाने से पहले ग्रुपआईएसओ पीआई में जीआई डालने के लिए एक तत्काल प्रासंगिक बाधा बन गया। लेकिन अगर जीआई क्यूपी में है, तो ग्रुपआईएसओ जीआई में और सुधार के लिए एक अधिक प्रासंगिक बाधा बन जाता है। (बेशक, अर्ध-बहुपद में घातांक का घातांक अभी भी एक संभावित प्रासंगिक अंतराल है, लेकिन जीआई QP में होने पर अंतर बहुत छोटा हो जाता है ।) 2 ~ हे ( $n^{\log n + O(1)}$$2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

Comments

ऐसा प्रतीत होता है कि हम प्रक्षेप्य विमानों के समरूपता ( ) के परीक्षण के बहुत कमजोर ऊपरी सीमा पर सुधार करने में सक्षम नहीं हैं । देखें cstheory.stackexchange.com/questions/34773/...$n^{O(\log \log n)}$

— मोहम्मद अल-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: हां, लेकिन फिर मेरा वही तर्क लागू होता है: अगर जीआई क्वैसिपोली में "रास्ता" है, तो ProjPlaneIso जीआई को पी में डालने में बाधा बनने से बहुत दूर है। एक बार जीआई समय में है। कुछ , फिर ProjPlaneIso एक प्रासंगिक बाधा बन जाएगा। तो, फिलहाल, ऐसा लगता है कि GroupIso अधिक तत्काल बाधा है - शायद किसी दिन ProjPlaneIso होगा ...$n^{O(\log \log n)^c}$$c$

— जोशुआ ग्रोचो

@JoshuaGrochow क्या आप मुझसे सहमत होंगे कि फ्रांकोइस ले गैल और डेविड जे। रोसेनबॉम द्वारा ऑन द ग्रुप और कलर आइसोमोर्फिज्म प्रॉब्लम में लिया गया दृष्टिकोण समझ में आता है? या कम से कम वे कुछ सवालों का इलाज करते हैं जो कि लास्ज़लो बाबई के परिणाम की बुनियादी समझ हासिल करने के बाद सामने आ सकते हैं?

— थॉमस क्लिम्पेल

@ThomasKlimpel: मैं मानता हूं कि उनका पेपर समझ में आता है, हालांकि मैं अभी तक यह नहीं देखता कि उनकी अंतर्दृष्टि का लाभ कैसे उठाएं (बाबई के अधिकांश प्रमाण समझने के बावजूद)।

— जोशुआ ग्रोचो

क्या आपको विश्वास नहीं है कि QP में GI अंततः अंततः GI को सीमित nondeterminism वर्ग जैसे में रखने की ओर ले जाएगा ? $\beta_k P$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

Answer 2

अंतिम प्रश्न के बारे में: समय पदानुक्रम प्रमेय का तात्पर्य है कि QP को बहुपद-समय कई-एक या ट्यूरिंग कटौती के तहत कोई पूर्ण समस्या नहीं है। (दूसरी ओर, सेव हर समस्या और तहत QP-कठिन है अर्ध बहुपद कटौती।) इस प्रकार, यह सोचते हैं बाबई के परिणाम सही है, सैनिक है नहीं QP-कठिन।Σ $\varnothing$$\Sigma^*$

Answer 3

ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या के लिए अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म के जटिलता सिद्धांत परिणाम क्या होंगे?

प्रायोगिक परीक्षण के लिए नियतात्मक बहुपद समय एल्गोरिथ्म के परिणामों के समान या कम, रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए नियतात्मक बहुपद समय एल्गोरिथ्म, और दूसरा मामला जहां व्यावहारिक रूप से कुशल (यादृच्छिक) एल्गोरिदम (दुर्लभ पथिक उदाहरणों के साथ जहां एल्गोरिथ्म अक्षम हो गए थे) और लंबे समय तक उपयोग में है। यह अनुमान की पुष्टि करता है कि व्यावहारिक दक्षता दुर्लभ पैथोलॉजिकल उदाहरणों के मुद्दों पर काबू पाने वाले नियतात्मक सैद्धांतिक एल्गोरिदम के अस्तित्व के लिए एक अच्छा संकेतक है।

जीआई के लिए एक अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म जटिलता सिद्धांत में किसी भी प्रसिद्ध अनुमान का खंडन करेगा?

नहीं, अनुमान इसके विपरीत साइट पर जाते हैं, जिसका अर्थ है कि जीआई पी में है। चूंकि एनआई एनपी में है, इसलिए इस प्रकार के अनुमान का जल्द ही खंडन करने के लिए कब्जे नहीं होंगे।

क्या हम कुशलता से टूर्नामेंट समस्या में न्यूनतम डोमिनेटिंग सेट को जीआई तक कम कर सकते हैं?

मिनिमम डोमिनेटिंग सेट कोई समसामयिक समस्या नहीं है, इसलिए ऐसा कोई कारण नहीं है कि इसे जीआई के प्रति अतिरेक की अपेक्षा की जाए।

क्या कोई अनुमान है कि जीआई क्यूपी के लिए कठोर है?

हम यह भी नहीं जानते कि जीआई को स्ट्रिंग आइसोमॉर्फिज्म समस्या को कैसे कम किया जाए, और यह कम से कम एक आइसोमोर्फिज्म समस्या है। बाबई के प्रमाण से पता चलता है कि स्ट्रिंग समरूपता QP में थी, इसलिए ... और QP के लिए क्या कठिन होना चाहिए, इसका क्या मतलब है? बहुपद समय में कटौती के तहत मुश्किल है?

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फ्रांकोइस ले गैल और डेविड जे। रोसेनबौम द्वारा ऑन द ग्रुप एंड कलर आइसोमॉर्फिज्म प्रॉब्लम्स की शुरुआत से

समरूपता परीक्षण समस्याओं की जटिलता दोनों अध्ययन के योग्य है क्योंकि वे मौलिक कम्प्यूटेशनल प्रश्न हैं और इसलिए भी कि उनमें से कई पी में होने के लिए ज्ञात नहीं हैं, लेकिन फिर भी एनपी-पूर्ण समस्याओं की तुलना में आसान प्रतीत होता है। इनमें से सबसे भारी अध्ययन ग्राफ इस्मोर्फिज़्म की समस्या है।

मुझे विश्वास था कि मैं जानता था कि परिमित संरचनाओं की सभी समरूपता परीक्षण समस्याओं को ग्राफ समतावाद समस्या को कम किया जा सकता है। इसलिए मेरा मानना ​​था कि ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म उन सभी पर शासन करने के लिए "सही सामान्य" आइसोमोर्फिज्म समस्या थी। बाबई के पेपर में प्रयुक्त स्ट्रिंग आइसोमोर्फिज्म समस्या से पता चला कि मेरा विश्वास पूरी तरह से उचित नहीं था, क्योंकि यह अभी भी अज्ञात है कि क्या स्ट्रिंग आइसोमॉर्फिज्म समस्या को ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या में कम किया जा सकता है। इसलिए सामान्यीकृत ग्राफ़ समस्या और सामान्यीकृत समूह समस्याजी r मैं$\mathsf{GI}^*$$\mathsf{GrI}^*$परिभाषित किए गए हैं (उपरोक्त पेपर में, लेकिन लेखक सही तरीके से आश्चर्य करते हैं कि किसी ने पहले क्यों नहीं किया), जो स्ट्रिंग समरूपता समस्या से लापता टुकड़ों को जोड़ते हैं। (और कलर आइसोमॉर्फिज्म समस्या स्ट्रिंग आइसोमॉर्फिज्म समस्या का एक अलग नाम है। नाम रंग ऑटोमोर्फिज्म समस्या बाबई और लुक्स के शुरुआती कागजात पर वापस चली जाती है, नाम स्ट्रिंग आइसोमॉर्फिज्म बाद में कैनोनिकल लेबलिंग पर उनके पेपर में होता है।)

चूँकि बाबई का एल्गोरिथ्म स्ट्रिंग समस्या के लिए एक अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म था (यानी ), परिणाम यह था कि अधिकांश प्रकार के लिए आइसोमोर्फिज्म परीक्षण काफी उल्लेखनीय होने की उम्मीद की जानी चाहिए। इस तरह के आइसोमॉर्फिज्म परीक्षण का एक अनुप्रयोग एक निश्चित सीमा के भीतर सभी विभिन्न प्रकार के गैर-आइसोमॉर्फिक संरचनाओं को कुछ गुणों के साथ सूचीबद्ध करना है। खैर, वास्तव में यह अनुप्रयोग कैनोनेज़ेशन के लिए एल्गोरिदम के साथ बहुत बेहतर काम करता है (जैसा कि दो दिए गए संरचनाओं के मात्र आइसोमोर्फिज़्म परीक्षण के विपरीत), लेकिन अतिरिक्त मंदी उन समस्याओं के लिए प्रमुख बहुपद या अर्ध-बहुपद समय को नहीं बदलेगी ।$\mathsf{GI}^*$

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संपादित करें: यह जवाब बाबई के परिणाम के पीछे हटने के संदर्भ में दिया गया था, इससे पहले कि उसने एक घोषणा की। यह बताता है कि स्ट्रिंग आइसोमोर्फिज्म समस्या द्वारा सुझाए गए ग्राफ आइसोमोर्फिज्म समस्या का मामूली सामान्यीकरण वास्तव में महत्वपूर्ण समस्या है। यहाँ निहित अपेक्षा यह है कि ग्राफ समरूपता समस्या के लिए कोई भी उचित एल्गोरिथ्म सामान्यीकृत ग्राफ समरूपता समस्या के लिए एक समान एल्गोरिथ्म को जन्म देगा। सामान्यीकृत समस्या बहुपद समय सेट-स्टेबलाइज़र समस्या , समूह प्रतिच्छेदन समस्या , कोसेट चौराहा समस्या, सेट ट्रांसपोर्टर समस्या के बराबर है , ... इस अपेक्षा के पीछे विचार यह है कि सामान्यीकृत समस्या पुनरावर्ती भाग में आएगीकिसी भी उचित एल्गोरिथ्म की, इसलिए इसे वैसे भी संबोधित किया जाना चाहिए। (और यह काफी संभव है सामान्यीकृत समस्या बहुपद समय ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के बराबर है।)

अब यहोशू ग्रोचो की टिप्पणियाँ इंगित करती हैं कि मैं स्ट्रिंग समसामयिक समस्या से लापता टुकड़ों के वैचारिक महत्व को समझाने में सफल नहीं रहा। अनंत संरचनाओं के लिए, यह सराहना करना आसान हो सकता है कि एक वैध समरूपता केवल दिए गए ढांचे को संरक्षित नहीं करना चाहिए, बल्कि कार्यों की एक उपयुक्त श्रेणी से संबंधित है (उदाहरण के लिए निरंतर कार्यों की श्रेणी)। परिमित संरचनाओं के लिए, अनुरूप घटना ज्यादातर भागफल संरचनाओं के लिए होती है, जहां कार्यों की उपयुक्त श्रेणी दिए गए उद्धरणों के साथ संगत होनी चाहिए। जॉनसन सामान ऐसे उद्धरणों का एक विशिष्ट उदाहरण है, उदाहरण के लिए विभाजन तर्क कुछ आधार सेट के दो तत्व सबसेट पर काम कर रहा है। यह भी ध्यान दें कि आइसोमॉर्फिज्म के लिए अनुमत श्रेणी को सीमित करना अक्सर आइसोमॉर्फिज्म परीक्षण समस्या को आसान बनाता है,

ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या के सामान्यीकरण के साथ समस्या यह है कि कहां रुकें। क्रमांकन समूह समरूपता समस्या को शामिल करने के लिए अब तक सामान्यीकरण क्यों नहीं किया गया? यह प्रश्न वास्तव में कठिन है, क्योंकि ग्राफ आइसोर्फिज्म के लिए कई गैर-तुच्छ परिणाम संभवतः क्रमबद्धता समूह समरूपता को भी ले जाएंगे। लेकिन यहां यह कम्प्यूटेशनल क्रमचय समूह सिद्धांत को अपने आप में एक विषय के रूप में व्यवहार करने के लिए अधिक उचित लगता है, भले ही इसका वास्तव में ग्राफ आइसोमोर्फिज्म समस्या के साथ निकट संबंध हो।

Comments

सबसे पहले, जहां तक ​​मैं इसे समझता हूं, स्ट्रिंग iso = color iso; क्या "कृत्रिम प्रतिबंध" का मतलब है? दूसरा, जीआई को कम करने वाले सभी परिमित संरचनाओं के समरूपता के बारे में प्रसिद्ध परिणाम प्रथम-क्रम तर्क में निश्चित परिमित संरचनाओं के बारे में एक कथन है। स्ट्रिंग isomorphism / रंग isomorphism उस वर्ग में नहीं आता है, क्योंकि यह न केवल यह पूछता है कि क्या दो तार प्रथम-क्रम संरचनाओं के रूप में isomorphic हैं, लेकिन क्या दो आदेशों के बीच प्रथम-क्रम isomorphism है जहाँ isomorphism एक दिए गए उपसमूह में$S_n$ निहित है ।

— जोशुआ ग्रोचो

@ JoshuaGrochow रंग iso के लिए, रंग केवल मनमानी संख्याएं हैं ([n] तक सीमित व्लॉग)। स्ट्रिंग आइसो के लिए, तार एक निश्चित परिमित वर्णमाला के ऊपर दिए गए हैं। मुझे लगा कि यह एक द्विआधारी वर्णमाला है, लेकिन मैंने इसे गलत बताया। मुझे बस याद है कि मैं शुरू में उलझन में था कि क्या रंग आइसो स्ट्रिंग स्ट्रिंग के लिए सिर्फ एक अलग नाम था। इसलिए जब मैंने लेस्ज़लो द्वारा अपने दावे को वापस लेने के बाद उस पेपर को पढ़ने का फैसला किया, तो मुझे ऐसा लगा। शायद यह वास्तव में एक अंतर है, क्योंकि "एक परिमित वर्णमाला पर" अपने पसंदीदा परिमित वर्णमाला को ठीक करता है, "यह कोई अंतर नहीं करेगा"। कौन सा सही है।

— थॉमस क्लिंपेल

$\log n$$[n]$

@JoshuaGrochow इसका ठीक यही अर्थ है कि मुझे इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ेगा। "यह सच है। मैंने अब आपके" स्ट्रिंग isomorphism / color isomorphism को संबोधित करने की कोशिश की है, वह उस वर्ग में नहीं आता है "टिप्पणी। मुझे कुछ सबक सीखने में मज़ा आया। रास्ते में एंड्रियास ब्लास और यूरी गुरेविच, जो भी वैचारिक बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करने की कोशिश करते हैं। मुझे खुशी है कि बाबाई ने अपना एल्गोरिथ्म अब तय किया है, ताकि मुझे यह जांचने के लिए कोई दायित्व (या दबाव) महसूस न हो कि क्या ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म और स्ट्रिंग आइसोमोर्फिज्म बहुपद समय समान हैं। (वह प्रसंग क्यों मैंने उस उत्तर को लिखा था।)

— थॉमस क्लिम्पेल ३०'१

मैं उलझन में हूँ कि आप जीआई पर प्रगति की तुलना डायरैग्रिमाइज़ेशन परिणामों से क्यों करते हैं।

— साशो निकोलेव