बूलियन फ़ंक्शंस जहां सेंसिटिविटी ब्लॉक सेंसिटिविटी के बराबर होती है

Question

संवेदनशीलता बनाम ब्लॉक संवेदनशीलता पर काम के कुछ बड़े एक के बीच संभव के रूप में खाई के रूप में के साथ कार्यों की जांच करने के उद्देश्य से किया गया है $s(f)$ और अनुमान को हल करने के क्रम में है कि ही polynomially से बड़ा है । विपरीत दिशा के बारे में क्या? ऐसे कार्यों के बारे में क्या जाना जाता है जहां ?$bs(f)$$bs(f)$$s(f)$$s(f) = bs(f)$

तुच्छ रूप से, स्थिर कार्यों में । तुच्छ रूप से, किसी भी फ़ंक्शन के साथ भी । यह गैर-तुच्छ है, लेकिन यह दिखाने के लिए भी मुश्किल नहीं है कि कोई भी मोनोटोन फ़ंक्शन भी इस समानता को संतुष्ट करता है। क्या फ़ंक्शंस के कोई अन्य अच्छे वर्ग हैं जिनके पास ? एक पूर्ण लक्षण वर्णन आदर्श होगा। क्या होगा यदि हम आगे की आवश्यकताओं को मजबूत करते हैं और ?$0=s(f)=bs(f)$$s(f) = n$$s(f) = bs(f)$$s(f) = bs(f)$$s^0(f) = bs^0(f)$$s^1(f) = bs^1(f)$

संवेदनशीलता को अवरुद्ध करने के लिए संवेदनशीलता कैसे संबंधित है, इस सवाल के लिए प्रेरणा बस कुछ अंतर्ज्ञान प्राप्त करना है।

परिभाषाएं

चलो एक बूलियन पर समारोह होना -बिट शब्द। के लिए और , चलो x ^ एक निरूपित n -बिट शब्द से प्राप्त एक्स बिट्स द्वारा निर्दिष्ट flipping द्वारा एक । इस मामले में कि A = \ {i \} , हम इसे केवल x ^ i के रूप में निरूपित करेंगे ।$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$$n$$x \in \{0,1\}^n$$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$$x^A$$n$$x$$A$$A = \{i\}$$x^i$

हम x पर f की संवेदनशीलता$f$$x$ को $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$ रूप में परिभाषित करते हैं f (x ^ i) \ neq f (x) \} । दूसरे शब्दों में, यह $x$ की बिट्स की संख्या है जिसे हम $f$ के आउटपुट को फ्लिप करने के लिए फ्लिप कर सकते हैं । हम f की संवेदनशीलता को परिभाषित करते हैं जैसे कि s (f) = \ text {max} _x s (f, x) । $f$$s(f) = \text{max}_x s(f,x)$

हम परिभाषित ब्लॉक की संवेदनशीलता $f$ पर $x$ (निरूपित किया $bs(f,x)$ ) अधिकतम के रूप में $k$ संबंध तोड़ना सबसेट देखते हैं ऐसी है कि $B_1, B_2, \ldots, B_k$ की $\{1,2,\ldots, n\}$ इस तरह के वह $f(x^{B_i}) \neq f(x)$ । हम परिभाषित ब्लॉक संवेदनशीलता के $f$ के रूप में $bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$ ।

अंत में, हम को परिभाषित 0 संवेदनशीलता के के रूप में । हम इसी तरह परिभाषित 1 संवेदनशीलता , 0-ब्लॉक संवेदनशीलता , और 1-ब्लॉक संवेदनशीलता निरूपित किया, , , और , क्रमशः।$f$$s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$$s^1(f)$$bs^0(f)$$bs^1(f)$

Answer 1

हाल ही में, मैंने साबित किया कि एस (f) = bs (f) एक्यूट फ़ंक्शंस के लिए और एक बार बूलियन ऑपरेटर्स और OR, EXOR पर रीड फ़ंक्शंस और रिजल्ट सहित मेरा पेपर TCS 2014 में स्वीकार कर लिया गया था। ( http: // dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9 )

आप इस समस्या पर हमला कर सकते हैं। यदि हां, तो मुझे खेद है, लेकिन मैंने सवाल पोस्ट किए जाने से पहले समस्या पर स्वतंत्र रूप से हमला करना शुरू कर दिया। मेरे कागज का एक प्रारंभिक संस्करण दिसंबर / 2013 में एक जापानी घरेलू बैठक में प्रस्तुत किया गया था और प्रस्तुत करने की समय सीमा अक्टूबर / 2013 थी। ( http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/ )

Comments

अच्छा नतीजा। मैं इसे पढ़ने के लिए तत्पर हूं।

— mhum