(झूठी?) किसी फ़ंक्शन की संगणना के लिए प्रमाण?

Question

पर विचार करें , एक फ़ंक्शन जो 1 iff शून्य लौटाता है वह लगातार में दिखाई देता है । अब किसी ने मुझे एक प्रमाण दिया कि गणना योग्य है:$f(n)$$n$$\pi$$f(n)$

या तो सभी n के लिए, में दिखाई देता है , या am होता है। में और देता है। पहली संभावना के लिए ; दूसरे एक iff , 0 अन्यथा।$0^n$$\pi$$0^m$$\pi$$0^{m+1}$$f(n) := 1$$f(n) := 1$$n \leq m$

लेखक का दावा है कि यह की संगणना साबित करता है , क्योंकि इसकी गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म मौजूद है।$f(n)$

क्या यह प्रमाण सही है?

Comments

आप उन्हें अधिक पठनीय बनाने के लिए अपने प्रश्नों में लेटेक्स का उपयोग कर सकते हैं।

— डेव क्लार्क

तर्क सही है, लेकिन रचनात्मक नहीं है। वह व्यक्ति आपको एक टीएम नहीं दे रहा है, वह आपको दो टीएम दे रहा है और आपको बताता है कि उनमें से एक आपको वांछित फ़ंक्शन की गणना कर रहा है, लेकिन कौन सा नहीं जानता है।

— केवह

आपका संस्करण कम्प्यूटेशनल है। हालांकि, मैंने गलत और आकस्मिक रूप से एक संस्करण पाया, जो मुझे विश्वास है कि यह अविश्वसनीय है। एकमात्र परिवर्तन: बिल्कुल n शून्य के बजाय, पूछें कि क्या er में अधिकांश n शून्य हैं। यदि यह वास्तव में होता है, तो मेरा मानना ​​है कि आप इसकी पुष्टि नहीं कर सकते, क्योंकि inf अंकों की एक अनंत संख्या है और कोई भी पैटर्न फिर से दिखने वाला नहीं है।

— चेज़िसोप

मैंने विकिपीडिया पृष्ठ को एक बार ठीक किया था, जिससे संबंधित गलती हुई थी, जिसमें कहा गया था कि चैतीन के अस्तित्व का अस्तित्व "असम्पीडित पूर्णांक" के अस्तित्व को साबित करता है।

— जेफ्री इरविंग

इस प्रकार के प्रश्न "तुच्छ भाषाओं" पर होते हैं। लेकिन ध्यान दें कि आमतौर पर एक मामूली सुधार कैसे होता है, जहां भाषा जहां m 0 k स्ट्रिंग का -1 (या 1) स्थान होता है या -1 यदि ऐसा कोई स्ट्रिंग नहीं है तो यह अनिर्दिष्ट हो सकता है। यह भी देखें कि यह कैसे निर्धारणीय कि हो सकता है π अंकों की कुछ अनुक्रम है? / कंप्यूटर विज्ञान$f(n, k) = m$$m$$0^k$$\pi$

— vzn

Answer 1

कई संभव मामलों में यह सबूत "शाखाओं" है, जिनमें से एक (अपवर्जित बीच के कानून का उपयोग कर कि हर प्रस्ताव के लिए सच हो गया है: इस तरह से, माइक यह के बारे में सोचो , या तो पी सच है या ¬ पी सच है)। लेकिन इन शाखाओं में से प्रत्येक के अंत में, आप हमेशा यह साबित करने के लिए प्रबंधन करते हैं कि फ़ंक्शन च गणना योग्य है। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि वास्तव में वास्तविक जीवन में कौन से मामले हैं, एफ को कम्प्यूटेशनल होना चाहिए। (हालांकि, सटीक कारण क्यों एफ कम्प्यूटेशनल है, शाखा के आधार पर अलग-अलग होगा।)$p$$p$$\neg p$$f$$f$ $f$

Answer 2

यह सही है। यह निम्न के रूप में ही है: को परिभाषित करें ताकि ईश्वर मौजूद न हो, और x exist 1 यदि ईश्वर मौजूद नहीं है, तो स्थिर फ़ंक्शन x God 0 हो । परिणामी फ़ंक्शन एक स्थिर फ़ंक्शन है, इस प्रकार गणना योग्य है। आप जो कार्य करने में सक्षम नहीं हो सकते हैं, वह उस कार्य को देना है, लेकिन कार्य स्वयं ही कम्प्यूटेशनल है।$f(x)$$x \mapsto 0$$x \mapsto 1$

यहां, दो संभावनाओं में से एक सत्य है: या तो इस तरह के एक मौजूद है , या यह नहीं है। फ़ंक्शन या तो स्थिर फ़ंक्शन x or 1 या एक साधारण थ्रेशोल्ड फ़ंक्शन है, जिसे m के साथ परिभाषित किया गया है ।$m$$x \mapsto 1$$m$

Comments

मैं "यदि ईश्वर मौजूद है" को । :)$P \neq NP$

— केवह

ठीक है, गलतफहमी के लिए खेद है, मुझे सबूत की गैर-रचनात्मकता से परेशानी नहीं है। मेरे पास जो समस्या है, वह यह है कि हम (या कम से कम) मैं नहीं जानता कि कम्प्यूटेबल है या नहीं। यह साबित करना क्यों आवश्यक नहीं है? $m$

— माइक बी।

यह वास्तव में इस बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है कि एक पूर्णांक कम्प्यूटेशनल है या नहीं। जो भी मूल्य m लेता है, एक ट्यूरिंग मशीन है जो इसे आउटपुट करती है। इसे ढूंढना बेशक मुश्किल हो सकता है, लेकिन यह सामान्य स्थिति से बहुत अलग नहीं है: एल्गोरिदम को ढूंढना कठिन है, जो कि यह तथ्य है जो हम में से कई लोगों को काम पर रखता है।

— एरॉन रोथ

मैं अभी भी नहीं मिला। क्या ट्यूरिंग मशीन संभवतः इस मीटर का उत्पादन कर सकती है? न सिर्फ यह पता चलता है कि करने के लिए होगा में प्रकट होता है π , उससे कहीं अधिक यह है कि सत्यापित करने के लिए करना होगा 0 मीटर + 1 नहीं है - और कि IMO समस्या है। $0^m$$\pi$$0^{m+1}$

— माइक बी।

यह रचनात्मक तरीका है जिसके बारे में आप बात कर रहे हैं। अगर मैं तुम्हें कि आउटपुट इस तरह के एक एक मशीन देने के , यह की जरूरत नहीं है करने के लिए आप को समझाने कि यह सही है मीटर , के रूप में यह है इस तरह के एक outputing के लिए मशीन मीटर (अच्छी तरह से, एक कम से कम मशीन)। यह भगवान के उदाहरण के समान है (जो कि BTW Sipser से आता है): यदि मशीन 0 से आउटपुट करती है, तो आपको यह समझाने की आवश्यकता नहीं है कि भगवान मौजूद नहीं है। बस मामला है। $m$$m$$m$$0$

— मिशैल कैडिलैक

Answer 3

मुझे लगता है - और आशा है - कि हर कंप्यूटर विज्ञान के छात्र को इस समस्या का सामना करना पड़ता है जो एक विरोधाभास की तरह महसूस करता है। टीसीएस अर्थ में कम्प्यूटेशनल और व्यावहारिक अर्थ में कम्प्यूटेशनल के अंतर के लिए यह एक बहुत अच्छा उदाहरण है।

मेरे विचार फिर से थे: "हाँ, अगर मुझे जवाब पता था , तो यह स्पष्ट रूप से कम्प्यूटेशनल होगा। लेकिन यह कैसे पता करें?" चाल खुद को इस भ्रम से छुटकारा दिलाना है कि आपको पता लगाना है कि पास यह संपत्ति है या नहीं। इस वजह से, स्पष्ट रूप से (पढ़ें: imho), एक ट्यूरिंग मशीन द्वारा नहीं किया जा सकता है (जब तक की तुलना में हम के बारे में है कि हम और अधिक जानकारी नहीं है के रूप में π )।$\pi$$\pi$

कम्प्यूटेबिलिटी के लिए अपनी परिभाषा पर विचार करें: हम कहते हैं है (Turing-) गणनीय यदि और केवल यदि ∃ एम ∈ टी एम : च एम = च । वह यह है कि आपको केवल एक ट्यूरिंग मशीन का अस्तित्व दिखाना है , एक को नहीं देना है । आप - हम - क्या करने की कोशिश करते हैं ट्यूरिंग मशीन की गणना करना है जो आवश्यक फ़ंक्शन की गणना करता है। यह एक तरह से कठिन समस्या है!$f$$\exists M \in TM : f_M = f$

प्रमाण का मूल विचार यह है: मैं आपको कार्यों का एक अनंत वर्ग देता हूं, उनमें से सभी कम्प्यूटेशनल हैं (यहाँ देखें। तुच्छ स्तर)। मैं तब साबित करता हूं कि आप जिस फ़ंक्शन की तलाश कर रहे हैं, वह उस वर्ग में है (दिखाने के लिए; यहां मामला भेद)। QED

Answer 4

हां, यह सही है, इसकी गणना योग्य है। मुद्दा यह है कि आपका फ़ंक्शन वास्तव में समस्याओं के एक अनंत परिवार के लिए समाधान का उत्पादन नहीं कर रहा है, जिस तरह (कहते हैं) एक समारोह हल करने की समस्या का समाधान है - इसलिए गणना के बारे में कोई समस्या नहीं है। इसके बजाय, आप फ़ंक्शन-फॉर्म का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं परिमित प्रतिनिधित्व के साथ कुछ एकल गणितीय तथ्य - या तो एक पूर्णांक, या तथ्य यह है कि एफ लगातार 1 फ़ंक्शन है

यह व्यक्ति में हॉल्टिंग समस्या सांकेतिक शब्दों में बदलना संभव है वास्तविक संख्या, Chaitan के निरंतर तरह , लेकिन पूर्णांकों हमेशा परिमित निरूपण है और इतने ट्यूरिंग मशीन के रूप में एन्कोड जा सकता है।$\Omega$

पाठ्यक्रम का सही एल्गोरिथ्म ढूँढना एक कठिन समस्या हो सकती है। लेकिन सही एल्गोरिदम खोजना आमतौर पर कठिन होता है!

Answer 5

थोड़ा पुराना पोस्ट, लेकिन एक और जवाब पोस्ट करना चाहता था।

यह कम्प्यूटेबिलिटी का एक गैर-रचनात्मक प्रमाण (या तर्क) है। यह बस कहता है कि फ़ंक्शन को कुछ अर्थों में मौजूद होना चाहिए क्योंकि मैं इसे (या अधिक सही ढंग से अनुक्रमित कर सकता हूं), गणना योग्य कार्यों के सेट (या ब्रह्मांड) में। हालाँकि यह न तो स्वयं मशीन का निर्माण करता है ( न ही एल्गोरिथम), और न ही अनुक्रमणिका (गणना करने योग्य मशीनों का एक प्रभावी गणना)। अंग्रेजी वाक्यांश " कुछ नहीं के लिए धन्यवाद ", इन मामलों में निम्न की तरह सबसे उपयुक्त लगता है:

-- Look, I proved there is water somewhere! 

Now you can be happy, while dying from thirst!

गणित के इतिहास में लोगों ने इस तरह के तर्कों की वास्तविक वैधता (या वैधता की सीमा) और अर्थ पर काफी तर्क दिया है। अंतिम परिणाम यह है कि एक ही प्रकार के तर्क गोएडेल की अपूर्णता प्रमेयों में फिर से प्रकट होते हैं और इस "बंद ब्रह्मांड धारणा" के खिलाफ हो जाते हैं ।

यदि आप इन तर्कों को पसंद नहीं करते हैं तो मैं आपको दोष नहीं दूंगा।