गैर-नकारात्मक पूर्णांक में रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण

Question

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में रैखिक डायोफैंटीन समीकरण को हल करने की एनपी-पूर्ण समस्या पर केवल बहुत कम जानकारी मुझे मिल सकती है। यह कहना है, क्या गैर-नकारात्मक में एक समाधान है । । । , X n समीकरण को एक 1 एक्स 1 + एक 2 x 2 + । । । + a n x n = b , जहां सभी स्थिरांक सकारात्मक हैं? इस समस्या का एकमात्र उल्लेखनीय उल्लेख है जो मुझे पता है कि वह Schrijver's में है$x_1,x_2, ... , x_n$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$रैखिक और पूर्णांक प्रोग्रामिंग का सिद्धांत । और फिर भी, यह एक बल्कि चर्चा है।

इसलिए मैं इस समस्या पर आपके द्वारा दी गई किसी भी जानकारी या संदर्भ की बहुत सराहना करूंगा।

ऐसे दो सवाल हैं जिनका मैं ज्यादातर ध्यान रखता हूं:

1. क्या यह दृढ़ता से एनपी-पूर्ण है?
2. क्या # पी-हार्ड, या यहां तक ​​कि # पी-पूर्ण की संख्या की गिनती की संबंधित समस्या है?

Comments

यह वास्तव में एक शोध स्तर का प्रश्न नहीं है और मुझे यह विश्वास करना कठिन लगता है कि आपको अधिक जानकारी नहीं मिली। यहां शुरू करें: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

— domotorp

2) के लिए, एनएपी-एनपी-पूर्ण समस्या का कोई ज्ञात उदाहरण नहीं है जिसका प्राकृतिक गिनती संस्करण # पी-पूर्ण नहीं है। आपकी विशेष समस्या के लिए एक पारिश्रमिक कमी का पता लगाना एक संदर्भ खोजने की तुलना में आसान हो सकता है। यह पेपर इसे निकट से संबंधित #SubsetSum: crt.umontreal.ca/~gerardo/tsppd-p-complete.pdf

— Sasho Nikolov

क्या मुझे कृपया @domotorp और 4evergr8ful दोनों को थोड़ा और अधिक जीवंतता के लिए पूछना चाहिए? पहला व्यक्ति यह समझा सकता है कि इस तरह के डियोफ़ैंटाइन समीकरणों के लिए नैकपैक की समस्या कैसे कम हो जाती है, जो उसे लगता है कि मामला है, जबकि 4evergr8ful शायद ठंडा हो सकता है, खासकर जब से वह दोनों मदद मांग रहा है और जाहिर है कि इस मंच के कामकाज में अक्षमता है । लेकिन मैंने नैकपैक समस्या के बारे में भी सोचा, और यह मेरे लिए बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि यह डायोफैंटस समीकरणों के सकारात्मक समाधानों को कम करता है।

— प्रेमिका बाउर

ओपी, जैसा कि @ ऑस्टिन ने उल्लेख किया है, नैकपैक के लिए एक ही गतिशील कार्यक्रम का विचार बहुपद समय में आपकी समस्या को हल करने के लिए काम करता है जब मैं बहुपद होता है। तो, नहीं, समस्या दृढ़ता से एनपी-पूर्ण नहीं है। और डोमटाप के पास एक अच्छा कारण था कि आप नैकपैक विकी पेज पर जाएं। $a_i$

— साशो निकोलेव

@ 4evergr8ful ज़रूर, मैंने मान लिया कि आपने उद्धरण को गलत बताया। वह ठीक है। हालाँकि, आपने "छह" को "हर" में बदलकर उन्हें गलत बताया है। जैसा कि जी एंड जे पार्सिमोनियस को परिभाषित करता है (यानी समाधानों की संख्या बिल्कुल समान है), यह सच नहीं है कि एनपी में समस्याओं के बीच हर कमी को पार्सिमीनस यूएलएसएस पी = पैरीटी-पी बनाया जा सकता है। इसका कारण यह है कि एसएटी से एनएई-सैट तक मानक कमी एक कारक का परिचय देती है जो कि 2 की शक्ति है। यह अपेक्षित है, क्योंकि सैट पैरिटी-पी के लिए पूरा हो गया है, लेकिन एनएई-सैट आसान है (एक स्पष्ट युग्मन है) काम तो जवाब हमेशा भी है = 0)।

— टायसन विलियम्स

Answer 1

(1) के संबंध में, समस्या एनपी-हार्ड नहीं है, सीएफ कोरोलरी 1 यहाँ है :

पापादिमित्रिउ, सीएच (1981)। पूर्णांक प्रोग्रामिंग की जटिलता पर। एसीएम की पत्रिका , 28 (4), 765-768।

(2) के संबंध में, समस्या स्पष्ट रूप से # पी में है यदि सभी स्थिरांक सकारात्मक हैं। SubsetSum का एक # P- पूर्ण संस्करण भी है, जो लगभग आपकी समस्या के उदाहरण में फिट बैठता है, लेकिन फिर भी, आवश्यकता या तो 0 या 1 है, यहाँ देखें :$x_i$

फैलीज़ेव्स्की, पी। और हेमास्पेंड्रा, एल (2009)। शक्ति-सूचकांक तुलना की जटिलता। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 410 (1), 101-107।

$x_i\in \{0,1\}$

Answer 2

मैं इस पर एक विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मैं एक रचनात्मक चर्चा शुरू करना चाहूंगा। यहाँ एक प्रयास किया गया है, जो math.stackexchange.com पर आधारित है। प्रश्न एक रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण के लिए सकारात्मक समाधानों की संख्या की गणना करें । सामान इरहर्ट पॉलीओनियम्स से संबंधित है, जिसके बारे में मुझे कुछ नहीं पता है, और मुझे लगता है कि ऊपर @ SashoNikolov की टिप्पणी भी है।

$N(a_1, a_2, \ldots, a_n; b)$

$$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x_1 = b,$$ $a_i$$b$ $$N(a_1; b) = \begin{cases} 1 & \text{if $a_1 \mid b$} \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ $$N(a_1, \ldots, a_{n+1}; b) = \sum_{0 \leq \ k \ \leq b/a_{n+1}} N(a_1, \ldots, a_n; b - a_{n+1} k)$$ $k$$b$

Comments

प्रिय एनपी, मजबूत एनपी-कठोरता के मामले में, हम इनपुट के मूल्य के संदर्भ में मापते हैं और इसकी लंबाई में नहीं। इन्हें भी देखें: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming

— domotorp

@domotorp, मुझे लगता है कि लेडी # पी-पूर्णता के बारे में दूसरा प्रश्न संबोधित कर रही है, न कि पहले मजबूत एनपी-पूर्णता के बारे में, जो कि जहां तक ​​मैं देख सकता हूं, इसका जवाब देना बहुत आसान है (नहीं, समस्या जोरदार नहीं है NP -पूर्ण)। प्रेमिका, मैं उलझन में हूँ कि आप यहाँ क्या दिखाने की उम्मीद कर रहे हैं? चूंकि निर्णय की समस्या एनपी-पूर्ण है, आप समाधानों की संख्या की गणना करने की उम्मीद नहीं कर सकते। क्या आप समाधानों की संख्या का अनुमान लगाने की उम्मीद कर रहे हैं? या एक तेजी से अधिक घातीय समय एल्गोरिथ्म है?

— साशो निकोलेव

BTW, मुझे लगता है कि यह संभावना है कि इस पत्र में एल्गोरिथ्म (डायनेमिक प्रोग्रामिंग के माध्यम से नैकपैक

— निकोलोव

मैंने इस समस्या के बारे में एक और तथ्य सीखा। तीन प्रकार के लोग होते हैं: जो लोग इसे # वेलियर डियोफैटिन की समस्या कहते हैं, वे लोग जो इसे #unbound knapsack समस्या कहते हैं, और अंत में वे लोग जो इसे डिम्यूमरेंट समस्या कहते हैं। और वे एक दूसरे से बात नहीं करते।

— 4evergr8ful