Hyperdoctrines और Monadic दूसरा ऑर्डर लॉजिक

Question

यह सवाल मूल रूप से मैथोवरफ्लो पर पूछे गए सवाल है।

मोनैडिक सेकंड ऑर्डर (MSO) तर्क दूसरा ऑर्डर लॉजिक है, जो यूनिरी प्रेडिकेट्स पर परिमाणीकरण के साथ है। यही है, सेटों पर मात्रा का ठहराव। कई एमएसओ लॉजिक्स हैं जो कंप्यूटर विज्ञान में पढ़ाई जाने वाली संरचनाओं के लिए मौलिक हैं।

प्रश्न 1. क्या मोनाडिक सेकेंड ऑर्डर लॉजिक्स के लिए एक श्रेणीबद्ध शब्दार्थ है?

प्रश्न 2. श्रेणीबद्ध तर्क के उपचार अक्सर "उच्च क्रम अंतर्ज्ञानवादी तर्क" के बारे में बात करते हैं। क्या मुझे यह मानने का अधिकार है कि वे दूसरे आदेश की तुलना में उच्चतर आदेशों का उल्लेख कर रहे हैं, दूसरे आदेशों की तुलना में?

प्रश्न 3. (जोड़ा गया, 08 नवंबर 2013, नील के उत्तर के बाद) प्रथम-क्रम परिमाणीकरण (नीचे उल्लेखित पिट्स की प्रस्तुति के संदर्भ में) की मेरी समझ यह है कि इसे पुलबैक के संबंध में परिभाषित किया गया है$\pi^*$ एक प्रक्षेपण आकारवाद का $\pi$। विशेष रूप से, सार्वभौमिक परिमाणीकरण की व्याख्या सही समीपता के रूप में की जाती है$\pi^*$ और अस्तित्वगत परिमाणीकरण की व्याख्या बाईं बगल के रूप में की जाती है $\pi^*$। इन परिचर्चाओं में कुछ शर्तों को पूरा करना होता है, जिसे मैंने कभी-कभी बेक-शेवेल्ली और फ्रोबेनियस-रिक्रिप्रोसिटी शर्तों के रूप में संदर्भित किया है।

अब अगर हम विधेय पर विचार करना चाहते हैं तो मुझे लगता है कि मैं कार्टेशियन बंद श्रेणी में हूं, चित्र लगभग एक ही है, सिवाय इसके $X$ नीचे पहले से एक अलग संरचना है।

$$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$$

क्या वह सही है?

मेरा मानना ​​है कि मेरा मानसिक अवरोध इसलिए था क्योंकि मैं पहले फर्स्ट-ऑर्डर हाइपरडोक्ट्रीन से निपट रहा था और उसे कार्टेशियन को बंद करने के लिए श्रेणी की आवश्यकता नहीं थी और बाद में इस पर विचार नहीं किया।

पृष्ठभूमि और संदर्भ। मैं एंडी पिट्स द्वारा उनकी हैंडबुक ऑफ लॉजिक इन कंप्यूटर साइंस लेख में श्रेणीबद्ध तर्क की प्रस्तुति के साथ काम कर रहा हूं, लेकिन मैं उनके डॉक्टरेट शोध प्रबंध में ट्रिपोस सिद्धांत के उपचार के साथ-साथ अवोडी और बाउर के नोट्स से भी परिचित हूं। मैंने लैम्बबेक और स्कॉट द्वारा क्रोल के श्रेणियों के प्रकार और पुस्तक का अध्ययन शुरू किया, लेकिन जब से मैंने पिछले दो ग्रंथों से परामर्श किया है, तब तक यह समय हो गया है।

प्रेरणा के लिए, मैं नीचे दिए गए प्रमेयों में दिखने वाले MSO लॉजिक्स में दिलचस्पी रखता हूं। मैं एक ऐसे तर्क से निपटना नहीं चाहता जो स्पष्ट रूप से इनमें से एक के बराबर है। मतलब, मैं उच्च आदेश कार्यों के संदर्भ में मोनोडिक को एनकोड करना नहीं चाहता हूं और फिर किसी अन्य तर्क से निपटता हूं, लेकिन मुझे ऐसे शब्दार्थ का अध्ययन करने में खुशी होती है, जिसमें हुड के नीचे इस तरह के एन्कोडिंग शामिल हैं।

1. (ब्यूची और एलगॉट प्रमेय) जब संरचनाओं का ब्रह्मांड एक परिमित वर्णमाला के ऊपर परिमित शब्द होता है, तो एक भाषा नियमित रूप से ठीक होती है यदि यह एमएसओ में निरंतर पदों को व्यक्त करने के लिए एक व्याख्यात्मक विधेय के साथ निश्चित है।
2. (ब्यूची की प्रमेय) जब संरचनाओं का ब्रह्मांड है $\omega$-एक परिमित वर्णमाला पर पासवर्ड, एक भाषा है $\omega$एक सटीक व्याख्या की गई विधेय के साथ एमएसओ में निश्चित रूप से होने पर यह वास्तव में अनियमित है।
3. (थैचर और राइट प्रमेय) परिमित पेड़ों का एक सेट नीचे-ऊपर परिमित वृक्ष ऑटोमेटन द्वारा पहचानने योग्य है, अगर यह व्याख्यात्मक विधेय के साथ एमएसओ में निश्चित है।
4. डब्लूएस 1 एस एक उत्तराधिकारी का कमजोर मोनडिक दूसरा क्रम सिद्धांत है। सूत्र प्राकृतिक संख्याओं के सेट को परिभाषित करते हैं और दूसरे क्रम चर को केवल परिमित सेट के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। WS1S को परिमित ऑटोमेटा द्वारा परिमित शब्दों के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के ट्यूपिंग द्वारा तय किया जा सकता है।
5. (राबिन के प्रमेय) S2S दो उत्तराधिकारियों का दूसरा आदेश सिद्धांत है। S2S रबिन ऑटोमेटा द्वारा तय किया जा सकता है।

Answer 1

1. मुझे नहीं पता!

2. नहीं, आपकी धारणा सही नहीं है। आप उच्च-क्रम के कार्यों की मात्रा निर्धारित कर सकते हैं और IHOL में भविष्यवाणी कर सकते हैं (वास्तव में, विधेय केवल एक प्रकार के प्रस्ताव में कार्य हैं)। सेटअप कुछ इस तरह दिखता है:

   $$\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$$

आप सामान्य टाइपिंग नियमों को एक शब्द की अच्छी तरह से गठितता का न्याय करने के लिए देते हैं। शब्दों की पहली पंक्ति सामान्य रूप से टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस हैं, दूसरी दो लाइनें उच्च-क्रम तर्क के प्रस्ताव हैं (तत्वों के रूप में टाइप की गई हैं)$\mathrm{prop}$), और तीसरी पंक्ति वे हैं जो आप निरंतर रूप से व्यक्तियों (तत्वों के) बनाने के लिए उपयोग करते हैं $\iota$)।

फिर विचार यह है कि आप हाइपरडोक्ट्रीन शब्दार्थ को अतिरिक्त संरचना के साथ जोड़कर क्रिपके शब्दार्थों को उच्च-क्रम तर्क के लिए पहले-क्रम अंतर्ज्ञान तर्क के लिए विस्तारित करना चाहते हैं। एक प्रथम-क्रम हाइपरडोक्ट्रीन एक फफूंदनाशक है$P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$ एक श्रेणी के बीच $C$ उत्पादों के साथ (संदर्भ में शर्तों की व्याख्या करने के लिए उपयोग किया जाता है), और स्थानापन्न कार्य को सही बनाने के लिए कुछ शर्तों को पूरा करते हुए, पॉकेट्स (सत्य मान लैटिस) की एक श्रेणी।

IHOL पर जाने के लिए, आप इसके अतिरिक्त दावा करते हैं

1. $C$ कार्टेसियन बंद है (फ़ंक्शन प्रकारों की मात्रा निर्धारित करने की क्षमता को मॉडल करने के लिए), और
2. $C$ एक आंतरिक हीटिंग बीजगणित है $H$ संपत्ति है कि हर के लिए संतोषजनक $\Gamma \in C$, $\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$। तुम इस्तेमाल$H$ मॉडल के लिए $\mathrm{prop}$, और समरूपता आपको उस प्रकार की शर्तें बताती है $\mathrm{prop}$ वास्तव में सत्य मूल्यों के अनुरूप हैं।

यह संरचना लगभग है "प्राथमिक टोपोस" है। यदि आप इसके अतिरिक्त आवश्यकता है$P(\Gamma)$ के subojects की एक स्थिति है $\Gamma$, तो तुम वहीं हो। (यह अनिवार्य रूप से कहता है कि आप एक तर्क सिद्धांत को अपने तर्क में जोड़ सकते हैं।)