क्या एनपी-हार्ड को अंतरराष्ट्रीय ड्राफ्ट सही ढंग से खेलना है?

Question

क्या निम्न समस्या एनपी-हार्ड है?

अंतर्राष्ट्रीय ड्राफ्ट के लिए एक बोर्ड कॉन्फ़िगरेशन को देखते हुए , एक एकल कानूनी कदम खोजें।$n\times n$

अमेरिकी चेकर्स (उर्फ अंग्रेजी ड्राफ्ट) के लिए संबंधित समस्या बहुपदीय समय में तुच्छ है। इन दो खेलों के बीच तीन प्रमुख अंतर हैं।$n\times n$

पहला और सबसे महत्वपूर्ण अंतर "फ्लाइंग किंग" नियम है। चेकर्स में, एक राजा आसन्न प्रतिद्वंद्वी के टुकड़े को किसी भी विकर्ण दिशा में दो कदम दूर एक खाली वर्ग में कूद सकता है । अंतरराष्ट्रीय ड्राफ्ट में, एक राजा पर एक प्रतिद्वंद्वी के टुकड़े के एक कूद कर सकते हैं मनमाना दूरी पर एक ले जाकर मनमाने ढंग से एक विकर्ण साथ दूरी।

जैसा कि चेकर्स में, एक ही मोड़ में टुकड़ों की एक श्रृंखला को पकड़ने के लिए एक ही टुकड़े का उपयोग किया जा सकता है। हालांकि, चेकर्स के विपरीत, अंतरराष्ट्रीय ड्राफ्ट में कैद किए गए टुकड़ों को तब तक नहीं हटाया जाता है जब तक कि पूरा अनुक्रम खत्म न हो जाए। कब्जा करने वाला टुकड़ा कई बार एक ही खाली वर्ग में ऊपर या जमीन पर कूद सकता है, लेकिन यह एक प्रतिद्वंद्वी के टुकड़े पर एक से अधिक बार नहीं कूद सकता है।

अंत में, चेकर्स और अंतर्राष्ट्रीय ड्राफ्ट दोनों में एक जबरन कब्जा नियम है: यदि आप किसी प्रतिद्वंद्वी के टुकड़े को पकड़ सकते हैं, तो आपको अवश्य होना चाहिए। हालाँकि, नियम नियम असहमत हैं जब कई के लिए कई विकल्प हैं। चेकर्स में, आप कैप्चर के किसी भी अधिकतम अनुक्रम को चुन सकते हैं ; दूसरे शब्दों में, आप किसी भी कैप्चर अनुक्रम को चुन सकते हैं जो तब समाप्त होता है जब कैप्चरिंग पीस किसी भी अधिक कैप्चर नहीं कर सकता है। अंतर्राष्ट्रीय ड्राफ्ट में, आपको कैप्चर का सबसे लंबा अनुक्रम चुनना होगा । इस प्रकार, मेरी समस्या निम्न के बराबर है:

अंतर्राष्ट्रीय ड्राफ्ट के लिए एक बोर्ड कॉन्फ़िगरेशन को देखते हुए , एक ऐसी चाल ज्ञात करें जो विरोधी टुकड़ों की अधिकतम संख्या को पकड़ती है।$n\times n$

यह साबित करना पर्याप्त होगा कि निम्न समस्या एनपी-पूर्ण है। (यह स्पष्ट रूप से एनपी में है।)

केवल राजाओं से जुड़े अंतर्राष्ट्रीय ड्राफ्ट के लिए एक बोर्ड कॉन्फ़िगरेशन को देखते हुए , एक खिलाड़ी एक ही बारी में अपने सभी प्रतिद्वंद्वी के टुकड़ों को पकड़ सकता है (और इसलिए) ?$n\times n$

इसी चेकर्स समस्या का उत्तर बहुपद समय में दिया जा सकता है; यह एक मनोरंजक होमवर्क व्यायाम है। समस्या डेमनी, डेमनी और एप्टस्टीन के फूटबॉल एंडगेम्स के विश्लेषण के समान दिखती है ; मनोरंजक होमवर्क अभ्यास का हल उनके पेपर के अंत में दिखाई देता है। फ्रैंकल एट अल द्वारा FOCS 1978 पेपर में एक समाधान भी दिखाई देता है । यह साबित करता है कि चेकर्स खेलना बेहतर है; रॉबसन के 1984 के प्रमाण को भी देखें कि चेकर्स वास्तव में EXPTIME- पूर्ण है।

Comments

टाइपो? "यह स्पष्ट रूप से पी" ​​में है - शायद आपका मतलब है "एनपी में"? इसके अलावा, आपको ये प्रश्न कहां से मिलेंगे?

— सुरेश वेंकट

हां, नियत। समस्या को भी पुन: प्रस्तुत किया; यह स्पष्ट नहीं है कि किसी दिए गए पद से कानूनी चालों की संख्या केवल बहुपद है।

— जेफ़18

यह "मनोरंजक होमवर्क व्यायाम" के लिए एक समाधान लिखने से बाहर आता है।

— जेफ

मुझे लगता है कि यहां कोई अतिरिक्त सवाल नहीं है, खेल की जटिलता क्या है (यह निर्धारित करना कि क्या एक खिलाड़ी जीत सकता है)? क्या यह चेकपॉइंट के रूप में पूरा-पूरा है? शायद, लेकिन चेकर्स के लिए प्रमाण काफी जटिल है।

— बॉब हर्न

Answer 1

ठीक है, यहाँ कमी है। पता चलता है कि तुम सब के बाद planarity की जरूरत नहीं है। इसके अलावा, "एक कानूनी कदम खोजें" के लिए, मैं "एक्स एक्स कानूनी है?" के रूप में निर्णय प्रश्न लेता हूं।

सबसे पहले, एक खेल के साथ काम करते हैं जहां टुकड़े तिरछे के बजाय orthogonally चलते हैं। यह गेम एज प्रॉपर्टीज को छोड़कर सिर्फ ड्राफ्ट बोर्ड (45 डिग्री घुमाए गए ड्राफ्ट को देखें) है, जिसका हम उपयोग नहीं करेंगे। हम दो गैजेट का उपयोग करते हैं: मर्ज / विभाजन और क्रॉसओवर। Http://www.hearn.to/draughts.pdf देखें । हम मानते हैं कि बोर्ड पर स्थानांतरित करने के लिए एक ही सफेद राजा है। (कोई अन्य टुकड़ा किसी भी महत्वपूर्ण संख्या के टुकड़ों को कैप्चर करने में सक्षम नहीं होगा।) यह संकेतित गलियारों के माध्यम से आगे बढ़ेगा, रास्ते में काले टुकड़ों को कैप्चर करेगा।

सबसे पहले, मर्ज करें: यदि राजा एन रास्तों में से किसी एक पर प्रवेश करता है (एक काला टुकड़ा कैप्चर करने के माध्यम से, नहीं दिखाया गया है), तो यह बी से बाहर निकल सकता है। यदि हम गैजेट को उल्टा करते हैं और यह बी में प्रवेश करता है, तो दिखाए गए टुकड़े को कैप्चर करना। यह किसी भी पथ ए के साथ बाहर निकल सकता है (फिर से, एक बाहरी काले टुकड़े को कैप्चर कर रहा है)। यह एक एकल-उपयोग वाला गैजेट है (क्योंकि निकास काले टुकड़े को केवल एक बार पकड़ा जा सकता है)।

दूसरा, क्रॉसओवर। यदि राजा A (C) में प्रवेश करता है, तो वह B (D) से बाहर निकल सकता है। यह बीच में नहीं बदल सकता और मार्गों को बदल सकता है, क्योंकि यह एक गैर-कैप्चरिंग चाल खंड होगा।

अब, एक निर्देशित ग्राफ दिया गया है, इस प्रकार संबंधित गेम कॉन्फ़िगरेशन का निर्माण करें। प्रत्येक शीर्ष के लिए, एक मर्ज का निर्माण करें जो एक विभाजन में फ़ीड करता है। आवश्यक के रूप में crossovers का उपयोग कर बाहर निकलने वाले किनारों से कनेक्ट होने वाले वर्टिक्स के अनुरूप वर्कट गैजेट्स (मर्ज + स्प्लिट) के मर्ज इनपुट के लिए स्प्लिट आउटपुट को रूट करें। किसी भी शीर्ष पर एक अतिरिक्त इनपुट पर राजा शुरू करें (एक काला टुकड़ा के साथ इसे शीर्ष में प्रवेश करने के लिए पकड़ने के लिए)।

अंत में, जरूरत के अनुसार आउटपुट / इनपुट पाथ के साथ अतिरिक्त काले टुकड़ों को जोड़कर "बढ़त की लंबाई" के सभी को बराबर करें। यदि प्रत्येक कोने के साथ वी कोने हैं, और के काले टुकड़े हैं, तो राजा 2V + केवी + 1 टुकड़ों को पकड़ सकता है, अगर और केवल अगर उसी ग्राफ का हैमिल्टनियन सर्किट है। यदि राजा के पास एक वैकल्पिक कदम उपलब्ध है, जो 2V + केवी टुकड़ों की एक सरल श्रृंखला को कैप्चर करता है, तो यह निर्धारित करता है कि क्या वैकल्पिक चाल कानूनी है-एनपी-पूर्ण।

Comments

अच्छी कमी!

— जेफ

लेकिन क्या आप दूसरे सवाल का जवाब दे सकते हैं? क्या एक चाल में जीतना एनपी-कठिन है?

— जेफ

हो सकता है ... मुझे लगता है कि गैजेट्स को संशोधित किया जा सकता है ताकि हेमिल्टनियन सर्किट को पूरा करने के बाद, राजा "तारों" पर सभी काले टुकड़ों को पकड़ सके। मर्ज / स्प्लिट आंतरिक टुकड़ों को अभी भी हैमिल्टनियन सर्किट के दौरान कैप्चर करना होगा, इसलिए यह अभी भी एनपी-हार्ड होगा। यह विचार काले टुकड़ों से सटे गलियारों में अंतराल को खोलने के लिए होगा, जिससे गलियारों को पार किया जा सकेगा, लेकिन अंदर से बाहर नहीं निकला जाएगा।

— बॉब हर्न

मुझे लगता है कि यह गलियारों के बाहर कुछ अतिरिक्त नेविगेशनल मशीनरी भी ले जाएगा, लेकिन यह योग्य होना चाहिए।

— बॉब हर्न

Answer 2

बॉब की कमी का एक संभावित विकल्प यहाँ है, इस बार (अप्रत्यक्ष) हैमिल्टनियन चक्र से। मैं 100% आश्वस्त नहीं हूं कि विवरण सही हैं - मैंने पहले ही कई मुद्दों को ढूंढ लिया है और ठीक कर दिया है - लेकिन मुझे यकीन है कि इसे एक सही प्रमाण में मालिश किया जा सकता है। जैसा कि बॉब बताते हैं, इस कमी में एक गंभीर बग है; सफेद राजा आसानी से बोर्ड के माध्यम से अपने विहित पथ से भटक सकता है। इस बग को बॉब के क्रॉस-ओवर गैजेट को उचित स्थानों पर जोड़ा जा सकता है (मुझे लगता है) , लेकिन फिर यह उनकी कमी से काफी अलग नहीं है।

आज्ञा देना एक अप्रत्यक्ष ग्राफ कोने और किनारों के साथ। प्लेन साथ एक लाइन पर नियमित रूप से दूरी वाले बिंदुओं पर अपने कोने रखकर प्लेन में को ड्रा करें , और हर छोर को एक क्षैतिज सेगमेंट और एक वर्टिकल सेगमेंट के रूप में ड्रा करें , दोनों शीर्ष रेखा के ऊपर।एन एम जी - $G$$n$$m$$G$$-1$

अब हम इस आरेखण को ब्लैक चेकर्स और एक श्वेत राजा के साथ एक बोर्ड (घुमाए गए 45 डिग्री) पर कम करते हैं । हमें तीन प्रकार के गैजेट्स की आवश्यकता है: कोनों, स्प्लिटर्स, और होर्ड्स। एक कोने में दो काले टुकड़े होते हैं जिन्हें केवल सफेद राजा की दिशा बदलकर एक साथ पकड़ा जा सकता है। एक -splitter एक टुकड़े कि एक विशेष दिशा में कब्जा कर लिया जाना चाहिए होता है, के साथ कैप्चरिंग राजा में कूद करने के लिए विशेष स्थानों। अंत में, एक होर्ड काले टुकड़ों से भरा एक बड़ा बॉक्स होता है जिसे कुछ बड़े स्थिरांक लिए एक विशेष क्रम में कैप्चर किया जाना चाहिए । नीचे दिए गए आंकड़ों में, ग्रे सर्कल ऐसे टुकड़े हैं जिन्हें कैप्चर नहीं किया जा सकता है।O ( n 2 + m ) k k h n $O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

अब डिग्री प्रत्येक शीर्ष को एक होर्ड के साथ बदलें , एक क्षैतिज -plplitter और एक ऊर्ध्वाधर -plplitter से जुड़ा। प्रत्येक किनारे , hoard और hoard लिए स्प्लिटर्स के साथ संरेखित कोनों की निरंतर संख्या रखें । अलग-अलग किनारों पर अलग-अलग - और निर्देशांक के लिए कोनों की व्यवस्था करना आसान है । ऊपर की सफेद मंडली द्वारा दिखाई गई स्थिति में, एक होर्ड्स के अंदर सफेद राजा को रखें।k k ( i , j ) i j x $k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$

श्वेत राजा कम से कम विरोधी टुकड़ों को पकड़ सकता है - प्रत्येक होर्ड में प्रत्येक टुकड़ा, साथ ही प्रति शीर्ष चार अतिरिक्त किनारे टुकड़े - यदि और केवल अगर ग्राफ हैमिल्टनियन है।$hn^2+4n$$G$

Comments

बहुत अच्छा। लेकिन मुझे कुछ समस्याएं दिखाई देती हैं, जिनमें से एक कमी मेरी भी है। सबसे पहले, जब राजा एक कोने से बाहर निकलता है, तो वह कहीं भी रुक सकता है, संभवतः इसे अनुचित रूप से दूसरे कोने में प्रवेश करने की अनुमति देता है। दूसरा, राजा को प्रारंभिक शीर्ष पर लौटने के लिए मजबूर करने के लिए कुछ भी नहीं है; यह किसी भी शीर्ष पर समाप्त हो सकता है। खदान में एक ही समस्या है, लेकिन स्टार्ट वर्टेक्स के अंदर कब्जा करने के लिए एक उपयुक्त अतिरिक्त टुकड़ा जोड़कर, इसे या तो कमी के लिए आसानी से तय किया गया है।

— बॉब हर्न

दूसरी समस्या को ठीक करना आसान है: गिरोह के अंदर राजा के लिए शुरुआती स्थान को स्थानांतरित करें।

— जेफ

लेकिन पहली समस्या अधिक गंभीर है। मुझे लगता है कि हम सब के बाद अपने विदेशी उपकरणों की जरूरत है। Drat!

— जेफ

मुझे लगता है कि कोने के गैजेट से बाहर निकलने वाले काले टुकड़े को हटाना, और प्रत्येक शीर्ष के लिए इनपुट फाड़नेवाला के प्रत्येक हाथ पर एक काला टुकड़ा जोड़ना भी हो सकता है।

— बॉब हर्न

Answer 3

जब आप अपनी थीसिस पर काम कर रहे थे तो अब आपने मुझे यह समस्या क्यों नहीं दी?

ठीक है, मेरे पास प्लानर डायरेक्टेड हैमिल्टनियन साइकिल से कमी है।

Comments

जरुर बताएं! (क्या आप संक्षेप में कमी का वर्णन कर सकते हैं?)

— रयान विलियम्स

क्षमा करें, बॉब; तब ऐसा नहीं सोचा था। हां, कमी का वर्णन (या लिंक) करें!

— जेफ

यह वास्तव में एक जवाब नहीं है।

— डेव क्लार्क

नहीं ... मुझे लगा कि मैं उस समय एक टिप्पणी जोड़ रहा था। अब, मैं यह नहीं देखता कि मुख्य पोस्ट में टिप्पणी कैसे जोड़ूँ।

— बॉब हर्न

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— जेफ