रिलेटेड पैरामीट्रिकिटी को कैसे प्रेरित किया जा सकता है?

Question

क्या पैरामीट्रिक बहुरूपता के लिए संबंधपरक शब्दार्थ का सार समझने का कोई प्राकृतिक तरीका है?

मैंने सिर्फ रिलेशनल पैरामीट्रिकिटी की धारणा के बारे में पढ़ना शुरू किया है, एक ला जॉन रेनॉल्ड्स का "टाइप्स, एब्सट्रैक्शन एंड पैरामीट्रिक पॉलीमॉर्फिज्म", और मुझे यह समझने में परेशानी हो रही है कि कैसे रिलेशनल शब्दार्थ प्रेरित है। सेट शब्दार्थ मेरे लिए एकदम सही समझ में आता है, और मुझे एहसास है कि सेट शब्दार्थ पैरामीट्रिक बहुरूपता का वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है, लेकिन संबंधपरक शब्दार्थ के लिए छलांग जादू लगता है, पूरी तरह से कहीं से भी बाहर आ रहा है।

क्या इसे आधार के साथ समझाने का कोई तरीका है "आधार प्रकार और शर्तों पर संबंधों को मानें, और फिर व्युत्पन्न शब्दों की व्याख्या बस के बीच का स्वाभाविक संबंध है ... ऐसी और ऐसी प्राकृतिक चीज ... आपकी प्रोग्रामिंग भाषा में ... "? या कुछ और प्राकृतिक व्याख्या?

Answer 1

खैर, संबंधपरक समतावाद जॉन रेनॉल्ड्स द्वारा पेश किए गए सबसे महत्वपूर्ण विचारों में से एक है, इसलिए यह बहुत आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए कि यह जादू जैसा दिखता है। यहाँ एक परियों की कहानी है कि उसने कैसे इसका आविष्कार किया होगा।

मान लें कि आप इस विचार को औपचारिक रूप देने की कोशिश कर रहे हैं कि कुछ फ़ंक्शंस (पहचान, नक्शा, गुना, सूचियों का उलटफेर) "कई प्रकारों पर उसी तरह" कार्य करते हैं, अर्थात, आपके पास पैरामीट्रिक बहुरूपता के बारे में कुछ सहज विचार हैं, और आपके पास कुछ नियम हैं इस तरह के नक्शे बनाने के लिए, अर्थात्, बहुरूपी $\lambda$ -कुलस या इसके कुछ प्रारंभिक संस्करण। आप ध्यान दें कि भोले सेट-सिद्धांत संबंधी शब्दार्थ काम नहीं कर रहे हैं।

उदाहरण के लिए, हम प्रकार घूरने

$$\forall X : \mathsf{Type} . X \to X,$$ जिसमें केवल पहचान मानचित्र होना चाहिए, लेकिन भोले सेट-सिद्धांत संबंधी शब्दार्थ λ X : T y p e जैसे अवांछित कार्यों की अनुमति देता है । λ ए : एक्स । i f ( X = { 0 , 1 } ) t h e n 0 e l s e e a । $$\lambda X : \mathsf{Type} . \lambda a : X . \mathsf{if}\ (X = \lbrace 0, 1 \rbrace) \ \mathsf{then} \ 0 \ \mathsf{else}\ a.$$ इस तरह की चीजों को खत्म करने के लिए, हमें कार्यों पर कुछ और शर्तें लगाने की जरूरत है। उदाहरण के लिए, हम कुछ डोमेन सिद्धांत की कोशिश कर सकते: प्रत्येक सेट से लैस $X$ आंशिक आदेश के साथ $\leq_X$ और अपेक्षा करते हैं कि सभी कार्यों एक लय हो। लेकिन यह काफी कटौती नहीं करता है क्योंकि $X$ आधार पर उपरोक्त अवांछित फ़ंक्शन या तो निरंतर या पहचान है , और वे मोनोटोन मैप हैं।

$\leq$

और फिर आप दो बातें नोटिस करते हैं:

1. $\leq$
2. आपके द्वारा देखे जाने वाले प्रत्येक विशेष अवांछित उदाहरण के लिए, आप एक ऐसा संबंध ढूंढ सकते हैं, जो इसे समाप्त कर दे, लेकिन ऐसा कोई संबंध नहीं है जो इन सभी को समाप्त करता हो।

तो, आपने शानदार सोचा है कि वांछित कार्य वे हैं जो सभी संबंधों को संरक्षित करते हैं , और संबंधपरक मॉडल का जन्म होता है।

Comments

धन्यवाद प्रेमिका। यह आगे सवाल उठाता है: क्या संबंधों का कोई छोटा उपवर्ग है जो सभी अवांछित उदाहरणों को खत्म करता है?

— टॉम एलिस

खैर, हम शायद संबंधों की तार्किक जटिलता को सीमित कर सकते हैं क्योंकि हमें केवल कम्प्यूटेबल मैप्स के बारे में चिंता करनी होगी। लेकिन मैं जवाब देने के लिए एक विशेषज्ञ के लिए पर्याप्त नहीं हूं। मुझे @UdayReddy तलब करता है।

— बाउर

@TomEllis। हां, विशेष मामलों में, संबंधों का एक उपवर्ग पर्याप्त हो सकता है। सबसे तत्काल विशेष मामला यह है कि, यदि सभी ऑपरेशन पहले-क्रम वाले हैं, तो फ़ंक्शन (कुल, एकल-मूल्यवान संबंध) पर्याप्त हैं। खेतों के लिए, आंशिक समरूपताएं पर्याप्त हैं। याद रखें कि रेनॉल्ड्स का प्रमुख उदाहरण जटिल संख्याओं का क्षेत्र है, और बेसेल और डेसकार्टेस के बीच उनका तार्किक संबंध एक आंशिक समरूपता है।

— उदय रेड्डी

$\forall X.\, X \to X$

आप दिखाते हैं कि यदि आप सेट के रूप में प्रकारों की व्याख्या करते हैं तो अवांछित कार्य होते हैं। क्या संबंधों पर भी यही लागू नहीं होता? \X:Type. \a:X. if X = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} then 0 else a

— जूल्स

Answer 2

आपके प्रश्न का उत्तर वास्तव में रेनॉल्ड्स के कल्पित (धारा 1) में है। मुझे आप के लिए कोशिश और व्याख्या करते हैं।

किसी भाषा या औपचारिकता में जिसमें प्रकार को अमूर्त के रूप में माना जाता है , एक प्रकार का चर किसी भी अमूर्त अवधारणा के लिए खड़ा हो सकता है। हम यह नहीं मानते हैं कि प्रकार कुछ शर्तों के सिंटैक्स के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, या टाइप ऑपरेटरों के कुछ निश्चित संग्रह, या कि हम समानता के लिए दो प्रकार का परीक्षण कर सकते हैं आदि। ऐसी भाषा में, यदि किसी फ़ंक्शन में एक प्रकार का चर शामिल होता है तो केवल बात यह है कि फ़ंक्शन उस प्रकार के मूल्यों के लिए कर सकता है जो दिए गए मानों के आसपास फेरबदल करना है। यह उस प्रकार के नए मूल्यों का आविष्कार नहीं कर सकता, क्योंकि यह "नहीं जानता" कि प्रकार क्या है! यह पैरामीट्रिकिटी का सहज विचार है ।

$t$$A$$A'$$R : A \leftrightarrow A'$$x \in A$$x' \in A'$$x$$x'$$R$$t$$x$$x'$$R$$x$$x'$

$A$$A'$$A$$A'$$A'$$A$

$R$$I_K$$K$$t \times Int \to Int \times t$$R \times I_{Int} \to I_{Int} \times R$$f$$(x,n)$$(x',n)$$(m,x)$$(m,x')$$F(I_{A_1},\ldots,I_{A_n}) = I_{F(A_1,\ldots,A_n)}$ संपत्ति।

$t \to t$$t \to Int$$Int \to t$$t \times t \to t \times t$$(t \to t) \to t$$(t \to t) \to (t \to t)$

Comments

अंत में, मेरे समन ने काम किया!

— प्रेमनगर बाउर

@AndrejBauer। हम्म, मैं वास्तव में एक सम्मन नहीं मिला। यह हो सकता है कि @ उदयरायड्डी टिप्पणी केवल टिप्पणी की शुरुआत में काम करती है। किसी भी मामले में, किसी भी सम्मन की जरूरत नहीं है। "पैरामीट्रिकिटी" मेरे फिल्टरों में से है।

— उदय रेड्डी

"केवल एक चीज जो फ़ंक्शन उस प्रकार के मूल्यों को कर सकती है, वह उन मूल्यों के चारों ओर फेरबदल करने के लिए है जो इसे दिया गया है" - वास्तव में, फेरबदल के अलावा, फ़ंक्शन दिए गए मूल्य (कमजोर पड़ने) को मिटा सकता है और इसे (संकुचन) कॉपी कर सकता है। चूंकि ये ऑपरेशन हमेशा उपलब्ध होते हैं, मान उतना सार नहीं है जितना यह लग सकता है।

— कसज़ लेव

@ .UkaszLew, आप सही हैं। मुझे नहीं पता कि क्या इसे "अमूर्त" के नुकसान के रूप में देखा जा सकता है।

— उदय रेड्डी

@UdayReddy मैंने सराहा हटा दिया है और इसे स्टैंड-अलोन प्रश्न के रूप में पूछा है ।

— उकसज लुई

Answer 3

$\omega$

इसके अलावा, यह एक ही बहुआयामी व्यवहार के साथ कार्यों की पहचान करने के लिए आकर्षक है, इस प्रकार एक समतुल्य संबंध के लिए अग्रणी है। यदि हम "अपरिभाषित" कार्यों को बाहर करते हैं, तो यह संबंध आंशिक है, यह वह कार्य है जो कुछ अच्छी तरह से गठित इनपुट के लिए "लूप" है।

पेर मॉडल इस का एक सामान्यीकरण है।

इन मॉडलों को देखने का एक और तरीका होमोटॉपी टाइप थ्योरी के सरल सेट मॉडल का (बहुत) विशेष मामला है । उस ढांचे में, प्रकारों की व्याख्या (सामान्यीकरण के रूप में) की जाती है, संबंधों के साथ सेट की जाती है, और उन संबंधों के बीच संबंध आदि। सबसे निचले स्तर पर, हमारे पास बस प्रति मॉडल होते हैं।

अंत में, रचनात्मक गणित के क्षेत्र में संबंधित धारणाओं की उपस्थिति देखी गई है, विशेष रूप से सेट थ्योरी ऑफ बिशप में दोनों तत्वों और एक स्पष्ट समानता संबंध देकर एक सेट का वर्णन करना शामिल है, जो एक समता होना चाहिए। रचनात्मक गणित के कुछ सिद्धांतों की अपेक्षा करना स्वाभाविक है जो टाइप थ्योरी में अपना रास्ता बनाते हैं।

Comments

आह, लेकिन प्रति मॉडल बहुत अच्छे नहीं हैं और इसमें uwnanted पॉलीमोर्फिक फ़ंक्शन शामिल हो सकते हैं। इनसे छुटकारा पाने के लिए किसी को रिलेशनल प्रति मॉडल पास करना होगा।

— बाउर

मुझे अभी भी लगता है कि यह संबंधपरक दृष्टिकोण को प्रेरित करता है।

— कोड़ी

@cody। मैं सहमत हूँ। मैं "सेट सिद्धांत" में संबंधों के निर्माण के तरीके के रूप में पीआरएस के बारे में सोचता हूं ताकि हम पहले स्थान पर प्रतिरूपात्मक मॉडल प्राप्त कर सकें। होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत का उल्लेख करने के लिए धन्यवाद। मुझे नहीं पता था कि इसके समान विचार थे।

— उदय रेड्डी

@UdayReddy: विचार बहुत समान हैं! विशेष रूप से, "संगत निर्भर कार्यान्वयन" के विचार जो निर्भरता के साथ अमूर्त प्रकारों से संबंधित हैं, को असमान समानता के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है।

— कोड़ी