अवशिष्ट परिमित राज्य ऑटोमेटा को न्यूनतम करना

Question

अवशिष्ट परिमित राज्य ऑटोमेटा (RFSAs, [DLT02] में परिभाषित) NFA हैं जो DFA के साथ आम तौर पर कुछ अच्छी विशेषताएं हैं। विशेष रूप से, हर नियमित भाषा के लिए हमेशा एक विहित न्यूनतम आकार का RFSA होता है, और RFSA में प्रत्येक राज्य द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा एक डीएफए की तरह एक अवशिष्ट है। हालाँकि, जबकि एक न्यूनतम डीएफए राज्य सभी अवशेषों के साथ एक आक्षेप बनाता है, विहित RFSAs राज्यों के प्रमुख अवशिष्ट के साथ जीवनी में होते हैं; इनमें से बहुत कम हो सकते हैं, इसलिए नियमित भाषाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए आरएफएएस डीएफए की तुलना में बहुत अधिक कॉम्पैक्ट हो सकते हैं।

हालाँकि, मैं नहीं बता सकता कि RFSAs को कम करने के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म है या यदि कोई कठोरता परिणाम है। RFSAs को कम करने की जटिलता क्या है?

[BBCF10] ब्राउज़ करने से ऐसा नहीं लगता कि यह सामान्य ज्ञान है। एक तरफ, मैं यह मुश्किल होने की उम्मीद करता हूं क्योंकि "क्या यह एनएफए का आरएफए है?" बहुत कठिन हैं, इस मामले में PSPACE- पूर्ण। दूसरी ओर, [BHKL09] से पता चलता है कि कैनोनिकल RFSAs, एंग्लुइन के न्यूनतम-पर्याप्त शिक्षक मॉडल [A87] में कुशलता से सीखने योग्य हैं, और कुशलतापूर्वक एक न्यूनतम RFSA सीखना और कम से कम RFSAs को लगता है कि समान कठिनाई होनी चाहिए। हालाँकि, जहाँ तक मैं बता सकता हूँ [BHKL09] का एल्गोरिथ्म एक न्यूनतम एल्गोरिथ्म का अर्थ नहीं है, क्योंकि काउंटर-उदाहरणों का आकार बाध्य नहीं है और यह स्पष्ट नहीं है कि समानता के लिए RFSAs को काउंटर-उदाहरण के ऑरेकल का अनुकरण करने के लिए कुशलतापूर्वक परीक्षण कैसे करें । उदाहरण के लिए, समानता के लिए दो एनएफए का परीक्षण करना

संदर्भ

[A87] एंग्लुइन, डी। (1987)। प्रश्नों और प्रतिकृतियों से नियमित सेट सीखना। सूचना और संगणना, 75: 87-106

[BBCF10] बरस्टेल, जे।, बूस्सन, एल।, कार्टन, ओ।, और फग्नॉट, आई (2010)। ऑटोमेटा का न्यूनतमकरण। arXiv: 1010.5318 ।

[BHKL09] बोलिग, बी।, हेबरमहल, पी।, केर्न, सी।, और लेकर, एम। (2009)। एनएफए की एंग्लुइन-स्टाइल लर्निंग। में IJCAI , 9: 1004-1009।

[DLT02] डेनिस, एफ।, लेमे, ए।, और टेर्लूट, ए। (2002)। अवशिष्ट परिमित अवस्था ऑटोमेटा। फंडमन्ता इंफॉर्मेटाएई , 51 (4): 339-368।

Comments

RFSAs को परिभाषित रूप से (DFA या NFAs की तरह) परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन शब्दार्थ NFAs के उपवर्ग के रूप में होता है, जो स्थिति को तय करने के लिए एक कठिन कड़ी को संतुष्ट करता है। इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि आरएफएसए को कम करने का सवाल वास्तव में सार्थक है। क्या आप समस्या के बारे में अधिक विशिष्ट हो सकते हैं? क्या आपको एक NFA दिया जाता है जिसे RFSA के रूप में जाना जाता है? क्या आपको इस बात का सबूत दिया गया है कि यह वास्तव में एक RFSA है जैसे कि प्रत्येक स्टेट q के लिए एक स्ट्रिंग w जैसे कि q द्वारा उत्पन्न भाषा अवशिष्ट ? $w^{-1}L$

— अलेक्जेंडर क्लार्क

मुझे निम्नलिखित में से किसी भी / सभी विकल्पों में दिलचस्पी है: (1) आपको एक डीएफए दिया जाता है (सभी न्यूनतम डीएफए आरएफएसए हैं) और मैं चाहता हूं कि आप एक न्यूनतम आरएफएसए लौटाएं जो एक ही भाषा (या कुछ निर्णय प्रकार) को पहचानता है: k से कम आकार का अस्तित्व जहां k को इनपुट के रूप में भी दिया जाता है)। (2) आपको एक NFA दिया जाता है (जो छोटा हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, और RFSA नहीं भी हो सकता है) और न्यूनतम RFSA उत्पन्न करने के लिए कहा जा सकता है; इस मामले में जटिलता स्पष्ट रूप से इनपुट + आउटपुट के आकार में मापा जाता है। मुझे इसमें भी दिलचस्पी है (3) आपसे वादा किया जाता है (लेकिन कोई प्रमाण पत्र नहीं दिया गया है) कि एनएफए आरएफएसए है, क्या यह न्यूनतम है?

— Artem Kaznatcheev

Answer 1

बता दें कि "DFA NFA" समस्या निम्नलिखित को दर्शाती है: DFA A और पूर्णांक k को देखते हुए , क्या A के समान अधिकांश k राज्यों के साथ NFA है ? इसी तरह, "डीएफए → आरएफएसए" को ऊपर से प्राप्त समस्या का संकेत दें यदि हम "एनएफए" को "अवशिष्ट परिमित राज्य ऑटोमेटन" से बदल दें।$\to$$A$$k$$k$$A$$\to$

जियांग और रविकुमार ने दिखाया कि "डीएफए एनएफए" समस्या "डीएफए संघ सार्वभौमिकता" समस्या से कमी के द्वारा PSPACE- पूर्ण है। उत्तरार्द्ध समस्या DFAs की एक सूची दी है जो एक 1 , ए 2 , ... , एक एन , और अगर पूछता ⋃ n मैं = 1 एल ( एक मैं ) = Σ * ।$\to$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

उनकी कमी एक भाषा को परिभाषित करने से भी जाना जाता इन DFAs से और एक उपयुक्त पूर्णांक कश्मीर , ऐसी है कि एक DFA को स्वीकार एल DFAs के आकार में समय बहुपद में निर्माण किया जा सकता है एक मैं । तब वे दिखाते हैं कि हर NFA (इस प्रकार एक आरओआरआईए हर आरएफएसए) एल को स्वीकार करने की आवश्यकता है, अगर मामले में कम से कम के राज्यों की जरूरत है तो ⋃ n i = 1 L ( A i ) सार्वभौमिक है और कम से कम k + 1 राज्य अन्यथा। फिर वे एक के -स्टेट एनएफए एन का निर्माण करते हैं , जो स्वीकार करता है$L$$k$$L$$A_i$$L$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$k+1$$k$$N$ iff ⋃ n मैं = 1 एल ( एक मैं ) = Σ * ।$L$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

इस प्रमाण पर बाद में ग्रुबर और होल्ज़र (भाषा थ्योरी '06 में विकास) द्वारा पुनर्विचार किया गया था। वे थोड़े अलग परिणाम दिखाने के लिए एक ही कमी का उपयोग करते हैं, जो एनएफए के लिए कम बाध्य तकनीकों की कम्प्यूटेशनल जटिलता की चिंता करता है: एक नियमित भाषा लिए एक (विस्तारित) बेवकूफ सेट शब्द जोड़े ( x i , y i ) का एक सेट S है , ऐसा है कि प्रत्येक के लिए मैं रखती एक्स मैं y मैं ∈ एल लेकिन सभी के लिए मैं ≠ जे रखती है: एक्स मैं y जे ∉ आर या एक्स $R$$S$$(x_i,y_i)$$i$$x_iy_i\in L$$i\neq j$$x_iy_j \notin R$ ।$x_jy_i\notin R$

उपरोक्त कमी के लिए, वे दिखाते हैं कि case n i = 1 L ( A i ) सार्वभौमिक होने की स्थिति में आकार k का एक विस्तारित मूर्खतापूर्ण सेट है। ग्रुबर और होल्ज़र द्वारा प्रमाण का निरीक्षण करके, एक आसानी से नोट करता है कि सेट एस में प्रत्येक "बाएं शब्द" x i ऐसा है कि ऊपर वर्णित NFA N प्रारंभिक अवस्था से केवल एक ही राज्य q i पर रीडिंग x i पर जा सकता है । अर्थात्, राज्य q से स्वीकृत भाषा x - 1 i L के बराबर है$S$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$x_i$$S$$N$$q_i$$x_i$$q$$x_i^{-1}L$, और इस तरह एक अवशिष्ट परिमित राज्य ऑटोमेटन है।$N$

यदि उपरोक्त तर्क में कोई गलती नहीं है, तो यह DFA यूनियन सार्वभौमिकता समस्या से "DFA RFSA" समस्या में कमी लाता है, और इस प्रकार यह PSPACE- हार्ड है। PSPACE में सदस्यता DFA → NFA समस्या के समान लाइनों के साथ है, इसलिए "DFA → RFSA" समस्या PSPACE- पूर्ण है। अधिक सामान्य होने के बावजूद लेकिन अभी भी PSPACE में , "NFA → RFSA" समस्या PSPACE- पूर्ण है।$\to$$\to$$\to$$\to$

$N$

टी। जियांग और बी। रविकुमार। न्यूनतम एनएफए समस्याएं कठिन हैं। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल, 22 (6): 1117–1141, दिसंबर 1993।

हरमन ग्रुबर और मार्कस होलजर। Nondeterministic राज्य जटिलता के लिए निचले सीमा ढूँढना कठिन है। ऑस्कर एच। इबारा और ज़ैंग डांग में, संपादकों, भाषा थ्योरी में विकास पर 10 वें अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन (डीएलटी 2006), सांता बारबरा (सीए), यूएसए, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स की मात्रा 4036, पृष्ठ 363-374। स्प्रिंगर, जून 2006।

हरमन ग्रुबर और मार्कस होलजर। Nondeterministic राज्य जटिलता के लिए लोअर बाउंड्स ढूंढना कठिन है। तकनीकी रिपोर्ट ECCC TR06-027, कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी, 2006 पर इलेक्ट्रॉनिक बोलचाल।