पीएलएस में समस्या के लिए स्थानीय ऑप्टिमा की संख्या को गिनना कितना कठिन है?

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एक बहुपद स्थानीय खोज समस्या के लिए , हम जानते हैं कि कम से कम एक समाधान (स्थानीय इष्टतम) मौजूद होना चाहिए। हालांकि, कई और समाधान मौजूद हो सकते हैं, पीएलएस-पूर्ण समस्या के समाधान की संख्या को गिनना कितना कठिन है? मुझे निर्णय समस्या में विशेष रूप से दिलचस्पी है: क्या इस पीएलएस-पूर्ण समस्या के उदाहरण में दो या अधिक समाधान हैं?

क्या जटिलता इस बात पर निर्भर करती है कि हम किस पीएलएस-पूर्ण समस्या का चयन करते हैं? यदि ऐसा है तो मुझे विशेष रूप से भारित 2SAT (जैसा कि [SY91] और [Rou10] में परिभाषित किया गया है) में दिलचस्पी होगी। मुझे पता है कि 2SAT के लिए संतोषजनक समाधानों की संख्या की गणना करना # P- पूर्ण है, लेकिन पहली नज़र में यह भारित 2SAT के स्थानीय ऑप्टिमा की तरह लगता है और 2SAT के समाधानों में यह सब इतना सामान्य नहीं है।

मुझे यह भी पता है कि PLS के चचेरे भाई PPAD के लिए, [CS02] से पता चलता है कि नैश संतुलन की संख्या की गिनती # पी-हार्ड है। इससे पता चलता है कि इसी तरह की पीएलएस समस्याओं जैसे भीड़-भाड़ के खेल में शुद्ध-रणनीति संतुलन की संख्या की गणना करना भी कठिन होगा।

संदर्भ

[CS02] कोन्जितर, वी।, और सैंडहोम, टी। (2002)। नैश संतुलन के बारे में जटिलता। IJCAI-03 । सीएस / 0205074 ।

[रू १०] टी। रफगार्डन। (2010)। कम्प्यूटिंग संतुलन: एक कम्प्यूटेशनल जटिलता परिप्रेक्ष्य। आर्थिक सिद्धांत , 42: 193-236।

[SY91] एए शेफ़र और एम। यानाककिस। (1991)। सरल स्थानीय खोज समस्याएं जिन्हें हल करना कठिन है। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल , 20 (1): 56-87।

cc.complexity-theory counting-complexity gt.game-theory

— Artem Kaznatcheev
स्रोत

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मैं आंशिक रूप से आपके प्रश्न का उत्तर दे सकता हूं: पीएलएस-पूर्ण खोज समस्या के स्थानीय ऑप्टिमा को गिनना वास्तव में # पी-हार्ड हो सकता है।

सबसे पहले, जैसा कि योशियो बताते हैं, पीएलएस में एक खोज समस्या है जिसकी संबद्ध गिनती समस्या # पी-पूर्ण है। (हम नहीं जानते कि पीएलएस-पूर्ण है, हालांकि।) चलो कुछ पीएलएस-पूर्ण समस्या है। फिर परिभाषित जो, इनपुट पर के लिए , के लिए इनपुट एक स्थानीय इष्टतम के लिए पूछता है के संबंध में । यह समस्या की पीएलएस सदस्यता विरासत में मिली है $P_1$ $P_1$ $P_2$ $P'$ $(x, i)$ $i \in \{1, 2\}$ $x$ $P_i$ $P_1, P_2$ , की पीएलएस-पूर्णता विरासत में मिली है , और गिनती की समस्या के लिए की # पी-पूर्णता विरासत में मिली है । $P_2$ $P_1$

इसी प्रकार, एक (कृत्रिम) पीएलएस-पूर्ण समस्या का निर्माण कर सकता है जिसके लिए यह तय करना एनपी-पूर्ण है कि क्या एक से अधिक स्थानीय इष्टतम हैं। पिछले तर्क में के रूप में, एक "स्टेपल एक साथ" एक PLS-पूरा समस्या , एक PLS समस्या के साथ पहले की तरह जो, इनपुट पर एक बूलियन सूत्र , एक से अधिक है जिसमें स्थानीय इष्टतम है iff संतुष्टि योग्य है। $P_1$ $P_2$ $\psi$ $\psi$

इस प्रकार के निर्माण कुछ असंतुष्ट हैं क्योंकि हम एक खोज समस्या बनाने की कोशिश कर रहे हैं जिसमें दो कठोरता गुण हैं, लेकिन के डोमेन को दो टुकड़ों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में केवल दो गुणों में से एक हो सकता है। नीचे मैं दिखाऊंगा कि, पीएलएस में एक खोज समस्या कैसे दी गई है, जिसकी संबद्ध गिनती की समस्या # पी-पूर्ण है, और पीएलएस-पूर्ण समस्या दी गई है , एक पीएलएस समस्या को परिभाषित कर सकता है जो दोनों के लिए गिनती जितना कठिन है और "उदाहरण के लिए" फैशन में खोज करें । $Q$ $Q$ $P_1$ $P_2$ $Q$ $P_1$ $P_2$

अर्थात्, हम दिखा रहे हैं जाएगा ऐसी है कि के लिए गिनती की समस्या को हल पर इनपुट कुशलता के लिए गिनती की समस्या को हल करने के लिए कम कर देता है पर इनपुट , और के लिए खोज समस्या इनपुट पर के लिए खोज समस्या को कम कर देता है पर इनपुट । $Q$ $P_1$ $x$ $Q$ $x$ $P_2$ $x$ $Q$ $x$

प्रस्तुति की सरलता के लिए, हम यह मान ऐसी है कि इस पर कोई इनपुट हैं लंबाई के , उम्मीदवार-समाधान के साथ जुड़े अंतरिक्ष bitstrings खत्म हो गया है लंबाई के कुछ के लिए (लेकिन के लिए अलग पड़ोस संरचनाओं के साथ )। Let के साथ जुड़े फिटनेस फंक्शन हो । $P_1, P_2$ $x$ $n$ $x$ $y$ $n^c$ $c$ $P_1, P_2$ $F_i(x, y)$ $P_i$

इनपुट पर , खोज के लिए अंतरिक्ष tuples की है जहां प्रत्येक में है , , और $x \in \{0, 1\}^n$ $Q$ $(y^1, y^2, z, b)$ $y^i$ $\{0, 1\}^{n^c}$ $z \in \{0, 1\}^{n^c + 1}$ $b \in \{0, 1\}$ । लिए फिटनेस फ़ंक्शन के रूप में हम परिभाषित करते हैं $F(x, (y^1, y^2, z, b))$ $Q$

यदि , $F(x, (y^1, y^2, z, b)) := F_1(x, y^1) + F_2(x, y^2)$ $b = 1$

अगर । $F(x, (y^1, y^2, z, b)) := ||y^1|| + ||z|| + F_2(x, y^2)$ $b = 0$

(ऊपर वजन उठाते हुए।)

के पड़ोस संरचना के लिए , हम प्रत्येक टपल कनेक्ट (साथ ) सभी tuples को ऐसा है कि $Q$ $(x, (y^1, y^2, z, 1))$ $b = 1$ $(x, ((y')^1, (y')^2, z', 1))$

(ए) से जुड़ा है के अनुसार के लिए , और $(x, y^i)$ $(x, (y')^i)$ $P_i$ $i = 1, 2$

(बी) सबसे अधिक 1 समन्वय में भिन्न होता है। $z, z'$

$b = 0$ $(x, (y^1, y^2, z, 0))$ $(x, ((y')^1, (y')^2, z', 0))$

$(x, y^2)$ $(x, (y')^2)$ $P_2$

$z, z'$ $y^1, (y')^1$

$b = 0$ $b = 1$

$Q$ $Q$

$n$ $x$ $Q$

$(x, (y^1, y^2, z,1))$ $(x, y^i)$ $P_i$ $i = 1, 2$ $z$ $b = 1$

$(x, 1^{n^c}, y^2, 1^n, 0))$ $(x, y^2)$ $P_2$ $z, y^1$ $b = 0$

$Q$ $(x, (y^1, y^2, z,b))$ $Q$ $x$ $(x, y^2)$ $P_2$ $x$ $P_2$

$N(x)$ $x$ $Q$ $(2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$ $N_i(x)$ $x$ $P_i$ $N_2(x)$ $[1, 2^{n^c}]$

$N_2(x) = N_2(x)$ $2^{n^c + 1} = (2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$ $2^{n^c + 1} = N(x)$ $2^{n^c + 1}$

$N_2(x)$ $N(x)$ $N_1(x)$ $N_1(x) = \left(\frac{N(x)}{N_2(x)} - 1\right)/2^{n^c + 1}$ $N_1(x)$ $N(x)$ $Q$ $P_1$ $Q$

मैं नहीं जानता कि पीएलएस-कठोरता के संयोजन के लिए इस तरह की कमी को एनपी-कठोरता के साथ "ऑप्ट-बाय-इंस्टेंस" फैशन में स्थानीय ऑप्टिमा की विशिष्टता तय करने के लिए कैसे दिया जाए।

$V(x, y)$ $L$

$Q$ $Q$

— एंडी ड्रकर
स्रोत

तुम से, एंडी! यह बहुत उपयोगी है। मुझे यह सुनिश्चित करने के लिए कि मुझे हर चीज का पालन करने के लिए अधिक से अधिक एक-दो बार पढ़ना पड़ेगा।

— Artem Kaznatcheev

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द्विदलीय रेखांकन में अधिकतम मिलान समस्या पर विचार करें। व्यवहार्य समाधान के परिवार में सभी मिलान होते हैं, और स्थानीय खोज संवर्धित पथ खोजने के माध्यम से की जाती है। समस्या पीएलएस की है क्योंकि एक मौजूदा पथ मिलान अधिकतम नहीं होने पर बहुपद समय में पाया जा सकता है, और बहुपद को बहुपद समय में जांचा जा सकता है। कोई भी स्थानीय इष्टतम अधिकतम मिलान (यानी, वैश्विक इष्टतम) है। हालाँकि, यह एक द्विदलीय ग्राफ में अधिकतम मिलानों की संख्या की गणना करने के लिए # पी-हार्ड है।

चूंकि एक स्थानीय इष्टतम को बहुपद समय में पाया जा सकता है, इसलिए समस्या PLS- पूर्ण होने की संभावना नहीं है। इसलिए, मुझे डर है कि यह एक इच्छित उत्तर नहीं है (आपका प्रश्न पीएलएस-पूर्ण समस्याओं पर प्रतिबंध लगाता है)। हालाँकि, मुझे यह बताना चाहिए कि स्थानीय ऑप्टिमा की संख्या गिनना कठिन हो सकता है, जबकि एक स्थानीय इष्टतम को कुशलता से पाया जा सकता है।

— योशियो ओकामोटो
स्रोत

धन्यवाद! यह सामान्य रूप से # पी-कठोरता के बारे में जानने के लिए एक अच्छा सामान्य बिंदु है (और मैंने 2SAT का उल्लेख क्यों किया)। मैं पीएलएस-पूर्ण समस्याओं के लिए कुछ प्रतिक्रियाएं मिलने की उम्मीद में प्रश्न को खुला रखूंगा, और दो या अधिक मौजूदा समाधानों में से एक एकल समाधान को अलग करने पर भी अधिक जोर दूंगा (यह वह स्थिति है जिसमें मैं वास्तव में सबसे अधिक दिलचस्पी रखता हूं)।

— Artem Kaznatcheev

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चूंकि अधिकतम मिलान की विशिष्टता को कुशलता से जांचा जा सकता है, इसलिए मेरा उत्तर उस प्रश्न के लिए संतोषजनक नहीं है जिसमें आप सबसे अधिक रुचि रखते हैं। धन्यवाद।

— योशियो ओकामोटो