"असंबंधित" गणित के उदाहरण TCS में एक मौलिक भूमिका निभा रहे हैं?

Question

कृपया उन उदाहरणों को सूचीबद्ध करें जहां गणित से एक प्रमेय जिसे सामान्य रूप से कंप्यूटर विज्ञान में लागू करने के लिए नहीं माना गया था, का उपयोग पहली बार कंप्यूटर विज्ञान में परिणाम साबित करने के लिए किया गया था। सबसे अच्छा उदाहरण वे हैं जहां कनेक्शन स्पष्ट नहीं था, लेकिन एक बार जब यह पता चला था, तो यह स्पष्ट रूप से इसे करने का "सही तरीका" है।

यह टीसीएस के शास्त्रीय गणित के प्रश्न के विपरीत दिशा है ?

उदाहरण के लिए, "ग्रीन के प्रमेय और अलगाव को ग्रहों के ग्राफ़ में देखें" , जहां एक आइसोलेशन प्रमेय (जिसे पहले से ही एक तकनीकी प्रमाण का उपयोग करके जाना जाता था) मल्टीवेरेट कैलकुलस से ग्रीन के प्रमेय का उपयोग करके फिर से सिद्ध होता है।

और क्या उदाहरण हैं?

Comments

सामुदायिक विकि।

— डेव क्लार्क

समुदाय विकि अब जगह पर है।

— डेरिक स्टोले

आश्चर्य है कि टोपोलॉजी और ज्यामिति के बारे में कितने उदाहरण हैं। क्या हम इन दो विषयों से और अधिक आश्चर्यचकित हैं?

— सुरेश वेंकट

एरिया एक्स के पर्याप्त उदाहरण दिए जाने के बाद, क्या एरिया एक्स को "असंबंधित" नहीं बनाया जाता है?

— एंड्रे सलामोन

Answer 1

वितरित कंप्यूटिंग में कुछ समस्याओं के अध्ययन में बीजगणितीय टोपोलॉजी के उपयोग के लिए मौरिस हेरलिही, माइकल साक्स, नीर शाविट और फॉटिओस ज़हरालगॉ को 2004 में गोडेल पुरस्कार मिला ।

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यह एक बेहतरीन उदाहरण है!

— रयान विलियम्स

Answer 2

मेरे पास कुछ वर्षों पहले नोगा अलोन और मूली सफ़रा के साथ काम करने वाले एक उदाहरण से एक उदाहरण है:

नोगा ने "नेकलेस स्प्लिटिंग थ्योरीम" को साबित करने के लिए बीजगणितीय टोपोलॉजी-पॉइंट प्रमेय का उपयोग किया: यदि आपके पास टी प्रकार के मोतियों के साथ एक हार है और आप इसे बी लोगों के बीच विभाजित करना चाहते हैं, तो प्रत्येक को प्रत्येक प्रकार के मोतियों की समान संख्या मिलती है ( मान लें कि बी टी को विभाजित किया गया है, तो आप हमेशा ऐसा कर सकते हैं कि अधिकतर (बी -1) टी स्थानों पर हार काट कर।

हमने इस प्रमेय का उपयोग एक दहनशील वस्तु के निर्माण के लिए किया था जिसका उपयोग हमने सेट-कवर को सन्निकट करने की कठोरता को साबित करने के लिए किया था।

कुछ और जानकारी यहाँ है: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

Answer 3

पूर्वव्यापी में, यह स्पष्ट हो सकता है, लेकिन मैं हमेशा स्टील, याओ, और बेन-या ओलेनिक-पेत्रोव्स्की / मिल्नोर / थॉम प्रमेय के आवेदन का शौकीन रहा हूं (वास्तविक अर्ध-बीजगणितीय सेटों की बेट्टी संख्याओं को कम करने के लिए) बीजगणितीय निर्णय वृक्ष और बीजगणितीय गणना वृक्ष संगणना के मॉडल में सीमा।

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"पूर्वव्यापी में, यह स्पष्ट है" प्रकार के परिणाम सबसे अच्छे प्रकार के अनुप्रयोग हैं। हेंडसाइट 20/20 है।

— डेरिक स्टोल

Answer 4

मेरे पसंदीदा परिणामों में से एक लोनास की कन्ज़ेर अनुमान के प्रमाण में सामयिक तर्कों का उपयोग है , और काह-साक्स- स्ट्रेटेवांटन में सामयिक ( और समूह-सिद्धांत ) के तरीकों का उपयोग जोरदार औरेरा-रोसेनबर्ग-कार्प पर स्पष्ट रूप से किया गया है। ।

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+1। जुझारू बयानों को साबित करने में सामयिक तर्कों का उपयोग वास्तव में महाकाव्य है। इच्छुक पाठक कुछ और जानकारी यहाँ पा सकते हैं: en.wikipedia.org/wiki/Topological_combinatorics

— रॉबिन कोठारी

@ रोबिन: या ज्यामितीय तर्कों के बारे में कैसे? डवटेल फेरबदल पर क्लासिक बेयर-डायकोनिस पेपर के मुख्य प्रमेय को 52-घन के प्रत्येक अक्ष के साथ वॉल्यूम-प्रोटेक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन (बेकर का नक्शा: डबल और फोल्ड (मॉड 1) के रूप में फेरबदल के बारे में सोचकर खोजा गया था। दुर्भाग्यवश उन्होंने अंतिम कागज से ज्यामितीय अंतर्ज्ञान के अधिकांश अंशों को असतत कंबाइनैटिक्स के साथ हटा दिया।

— प्रति Vognsen

@Per Vognsen: मैं उस काम से परिचित नहीं हूँ, इसलिए पॉइंटर के लिए धन्यवाद। मैं इसे देख लूंगा।

— रॉबिन कोठारी

आप कहन-सक्सेस-स्तुतेवन्त के लिए "सामयिक और समूह-सिद्धांतात्मक तरीके" जोड़ना चाह सकते हैं । वे आखिरकार, सरल परिसरों पर समूह कार्यों का महत्वपूर्ण रूप से उपयोग करते हैं।

— जोशुआ ग्रूचो

मैं सोच रहा था कि क्या यह एक संदर्भ को इंगित करने के लिए एक साल के बाद इस धागे को "जागने" के लायक है..लेकिन यह एक महान धागा है तो क्यों नहीं। : Lovasz परिणाम और अन्य परिणाम है, साथ ही एक परिचय "combinatorialists के लिए बीजीय टोपोलॉजी" Matousek मोनोग्राफ में पाया जा सकता करने के लिए kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

— Sasho निकोलोव

Answer 5

महीन समूहों के प्रतिनिधित्व के सिद्धांत का उपयोग Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans के मैट्रिक्स गुणन के लिए किया जाता है । वे दिखाते हैं कि अगर कुछ शर्तों को पूरा करने वाले सममित समूहों के साथ एबेलियन के पुष्पांजलि उत्पादों के परिवार मौजूद हैं, तो द्विघात जटिलता के मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम हैं।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत (बीजगणितीय समूहों का) भी मुल्मुले और सोहोनी के ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत को कम सीमा तक दर्शाता है । यह अभी तक स्पष्ट नहीं है अगर यह एक आवेदन के रूप में गिना जाता है, क्योंकि इस दृष्टिकोण के साथ कोई नई जटिलता परिणाम अभी तक साबित नहीं हुए हैं, लेकिन कम से कम दो क्षेत्रों के बीच एक दिलचस्प संबंध बना दिया गया है कि पहली बार में ब्लश पूरी तरह से असंबंधित लगता है।

Answer 6

ऐसे कई उदाहरण हैं। जब मैंने पहली बार जटिलता सिद्धांत सीखा, तो मुझे यह आश्चर्यजनक लगा कि बहुपद की जड़ों के बारे में बुनियादी सिद्धांत (जैसे श्वार्ट्ज-ज़िप्ल-डीमिलो-लिप्टन लेम्मा) का इस सवाल से कोई लेना देना था कि क्या इंटरएक्टिव सबूत बहुपद स्थान ( PSPACE) का अनुकरण कर सकते हैं )। बेशक, बहुपद के उन गुणों का उपयोग पहले से ही पूर्व काम में किया गया था, और आजकल "बहुपद" कम्प्यूटिंग का उपयोग जटिलता सिद्धांत में काफी मानक हो गया है।$IP = PSPACE$

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मैं नियतांक (धन्यवाद, लोवेज़) को बेतरतीब ढंग से नमूना करके द्विदलीय रेखांकन में सही मिलान खोजने के लिए बहुपद चाल का आनंद लेता हूं।

— डेरिक स्टोले

Answer 7

अपक्षय सिद्धांत (जो सरल कार्यों द्वारा संभवतः जटिल या अप्राकृतिक वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अनुमान लगाता है, जैसे कि कम-डिग्री बहुपद) में सर्किट जटिलता, क्वांटम क्वेरी जटिलता, स्यूडोरोन्गेनेसनेस आदि के कई उपयोग होते हैं।

मुझे लगता है कि इस क्षेत्र के औजारों में से एक सबसे अच्छा अनुप्रयोग Beigel, Reingold, और Spielman के इस पेपर से आता है , जहां उन्होंने दिखाया कि जटिलता वर्ग PP को इस तथ्य के उपयोग से बंद कर दिया जाता है कि साइन फ़ंक्शन को निम्न द्वारा अनुमानित किया जा सकता है -डिग्री रेशनल फंक्शन।

निसान और स्वेग्डी और पटुरी ने कम-डिग्री बहुपद द्वारा सममित कार्यों को सन्निकट करने के लिए कम सीमाएं दिखाईं। इस विधि का उपयोग अक्सर क्वांटम क्वेरी जटिलता कम सीमा को साबित करने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, स्कॉट आरोनसन के व्याख्यान नोट्स देखें ।

Answer 8

एक और सुंदर विचार: याओ के न्यूनतम सिद्धांतों का उपयोग करने का विचार और इस बात का प्रमाण कि मिश्रित खेलों में एक संतुलित (अनिवार्य रूप से रैखिक प्रोग्रामिंग द्वैत) यादृच्छिक यादृच्छिक एल्गोरिदम पर कम सीमा दिखाने के लिए (इसके बजाय एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म के लिए इनपुट पर वितरण का निर्माण होता है)।

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इसके अलावा रसेल इम्पेग्लियाज़ो के हार्ड कोर लेम्मा (रसेल के मूल पेपर में) नोम निसान के सबूत

— दाना मोशकोविट्ज़

Answer 9

निश्चित बिंदु प्रमेय सभी जगह हैं ...

लेकिन कहीं से भी ज्यामिति पॉपिंग का एक बहुत ही आश्चर्यजनक उदाहरण प्रभावी तुलना परिणाम है। यहां, तत्वों के एक सेट पर परिभाषित एक आंशिक आदेश दिया गया है , उन वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन के सेट पर विचार करें जो दिए गए आंशिक आदेश के साथ संगत हैं। सवाल यह है कि अगले करने के लिए सबसे प्रभावी तुलना चुननी है; यही है, वह तुलना क्या है जो नए आंशिक आदेश के साथ संगत क्रमपरिवर्तन की संख्या को कम कर देगी (बेशक, इस एकल तुलना के परिणाम के आधार पर दो संभावित आंशिक आदेश हैं)। यह ज्ञात है कि हमेशा एक तुलना होती है जो एक स्थिर कारक द्वारा क्रमपरिवर्तन की संख्या को कम कर देती है (इस प्रकार, आप में सॉर्ट कर सकते हैंओ ( लॉग एन ! $n$$O(\log n!)$तुलना, दुह)। इस तथ्य का प्रमाण उच्च आयामी बहुपद के ज्यामिति से होकर जाता है। विशेष रूप से, प्रमाण ब्रून-मिंकॉस्की असमानता का उपयोग करता है। इसका एक अच्छा प्रस्तुतीकरण व्याख्यात्मक ज्यामिति (धारा 12.3) पर व्याख्यान की मैटबुक किताब में है। मूल प्रमाण कहन और लिनियल द्वारा है, यहाँ से ।

Answer 10

सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में सूचना सिद्धांत के बहुत सारे उपयोग हैं : जैसे, स्थानीय स्तर पर डिकोड करने योग्य कोड (काट्ज़ और ट्रेविसन देखें) के लिए, रेज़ के समानांतर पुनरावृत्ति प्रमेय के प्रमाण में, संचार जटिलता में (उदाहरण के लिए, धागा) संचार के संपीड़न पर काम, उदाहरण के लिए, बराक, ब्रेवरमैन, चेन और राव के अपेक्षाकृत हाल के काम और वहां के संदर्भ), और बहुत अधिक काम।

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लेकिन क्या ये उपयोग वास्तव में "असंबंधित" हैं? कम से कम एक भोले बिंदु से, यह मुझे लगता है कि सूचना सिद्धांत पहले क्षेत्रों में से एक है जो दिमाग में आते हैं, जब पहली बार, स्थानीय रूप से डिकोड करने योग्य कोड की परिभाषा को कहते हैं।

— अर्नब

मैं मानता हूं कि सूचना सिद्धांत कोड से संबंधित है, उदाहरण के लिए, और कोड टीसीएस से संबंधित हैं। समानांतर पुनरावृत्ति शायद एक मजबूत उदाहरण है: आप इसे पीसीपी के लिए ध्वनि प्रवर्धन के लिए उपयोग करने के बारे में क्यों सोचेंगे?

— दाना मोशकोविट्ज़

हां, मैं पूरी तरह सहमत हूं कि समानांतर पुनरावृत्ति एक आश्चर्यजनक उदाहरण है।

— अर्नब

Answer 11

अधिकतम कटौती की समस्या पर एक अनुमान एल्गोरिथ्म को साबित करने के लिए अलोन और नोर ने ग्रोथेंडेक की असमानता का इस्तेमाल किया । मुझे लगता है कि उस विषय पर बाद में काम हुए हैं, लेकिन मैं विशेषज्ञ नहीं हूं।

दिलचस्प है, क्वांटम XOR गेम का विश्लेषण करने के लिए क्लीव, होयर, टोनर और वॉट्रस द्वारा एक ही प्रमेय का उपयोग किया गया था और लिनिअल और श्राइबमैन ने क्वांटम संचार जटिलता के लिए इसका इस्तेमाल किया था। मेरी जानकारी के अनुसार, Grothendieck की असमानता और क्वांटम भौतिकी की नींव के संबंध 85 में Tsirelson द्वारा खोजे गए थे, लेकिन दो परिणामों का मैंने विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान को संबोधित किया।

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उह, यह सही नहीं है। एलोन और नोर ने एक मैट्रिक्स के कट मानदंड का अनुमान लगाया - यह अधिकतम कटौती से संबंधित है लेकिन समान नहीं है।

— साशो निकोलेव

Answer 12

एक अच्छा उदाहरण बैरिंगटन की प्रमेय है:

यदि एक बूलियन फ़ंक्शन , गहराई परिपथ द्वारा गणना योग्य है , तो चौड़ाई 5 और लंबाई ब्रांचिंग प्रोग्राम द्वारा गणना योग्य है ।d ड च 4 $f$$d$$f$$4^d$

प्रमाण समूह का उपयोग करता है (क्योंकि इसमें दो तत्व होते हैं जो एक दूसरे से और अपने कम्यूटेटर से संयुग्मित होते हैं), लेकिन इसे किसी भी गैर-सॉल्व समूह पर काम करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।$S_5$

Answer 13

बेशर्म प्लग: मेरे में रेखीय प्रश्नों के लिए लगभग इष्टतम भिन्न निजी तंत्र को डिजाइन करने में Isotropic अनुमान (और सामान्य में उत्तल ज्यामिति) के उपयोग के काम के साथ मोरित्ज़ Hardt ।

उपरोक्त सुरेश के प्रश्न का आंशिक रूप से उत्तर देने के लिए, मुझे लगता है कि मूल प्रश्न थोड़ा पेचीदा है क्योंकि "सामान्य रूप से कंप्यूटर विज्ञान में लागू नहीं माना जाता है"। इनमें से कुछ तकनीकें जो मूल रूप से "असंबंधित" प्रतीत हो सकती हैं, समय के साथ "सामान्य" हो जाती हैं। तो इन तकनीकों में सबसे सफल (उदाहरण के लिए Knn-Kalai-Linial में फूरियर विश्लेषण, Linial-London-Rabinovich में मीट्रिक एम्बेडिंग) मान्य उत्तर नहीं हैं।

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शायद मैं इसे संबोधित करने के लिए प्रश्न को फिर से लिखूंगा।

— डेरिक स्टोल

Answer 14

चिमटा साहित्य में एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स / संख्या सिद्धांत का बहुत उपयोग किया गया था। मुझे लगता है कि पहला उदाहरण यह देखने को मिलता है कि पैली ग्राफ को अच्छे एक्सट्रैक्टर्स के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, और एडिटिव नंबर थ्योरी में कुछ खुले प्रश्न बेहतर होंगे। सबसे पहला संदर्भ मुझे पता है कि ज़ुकरमैन 1990 (उनकी थीसिस देखें ), लेकिन पिछले कुछ वर्षों में यह टीसीएस और एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स के बीच दिलचस्प आगे और पीछे एक सक्रिय क्षेत्र रहा है। (हाइलाइट्स में से एक Dvir के परिमित क्षेत्र काकेया अनुमान का प्रमाण है, लेकिन यह निश्चित रूप से गणित में TCS का योगदान है, न कि किसी अन्य तरीके से।) A- प्राथमिकता यह स्पष्ट नहीं है कि इस प्रकार के गणितीय प्रश्न Sums और उत्पादों पर क्यों हैं। सीएस के लिए महत्वपूर्ण होगा।

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इस नस में एक और अच्छा उदाहरण घनत्व हेल्स-जेविट अनुमान की हाल ही में उपयोग एक nonlinear कम कुलपति आयाम 2. की एक सीमा अंतरिक्ष के लिए एप्सिलॉन नेट पर बाध्य साबित करने के लिए है

— सुरेश वेंकट

Answer 15

स्लाटर, टारजन और थर्स्टन ने हाइपरबोलिक ज्यामिति का उपयोग करके द्विआधारी खोज पेड़ों के जोड़े nऔर रोटेशन दूरी वाले अनंत परिवार के अस्तित्व को साबित किया 2n-6।

Answer 16

$o(k^2)$

$k^2$

रेखीय बीजगणित रेखांकन फैलाने के लिए इस्तेमाल किया:

जोशुआ डी। बेटसन, डैनियल ए। स्पिलमैन, निखिल श्रीवास्तव: दो बार-रामानुजन स्पर्सिफायर्स। STOC 2009: 255-262।

Answer 17

यह गणना या नहीं कर सकता है, लेकिन हाल ही में परमाणुओं (ZFA) और फ्रेंकेल-मोस्टोव्स्की (एफएम) सेट थ्योरी के साथ जर्मेल-फ्रेंकेल को नाम बंधन के साथ अमूर्त वाक्य रचना के अध्ययन में लागू किया गया है। ZFA को 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में CH की स्वतंत्रता को साबित करने के लिए एक उपकरण के रूप में पेश किया गया था और फिर इसके बारे में भूल गए, लेकिन 1990 के दशक के अंत में दो कंप्यूटर वैज्ञानिकों --- गैबय और पिट्स द्वारा पुन: खोजा गया - कुछ पूरी तरह से असंबद्ध अध्ययन।

उदाहरण के लिए इस सर्वेक्षण पत्र को देखें ।

Answer 18

आंशिक जानकारी (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731) के तहत छांटने के लिए काहन और किम के ग्राफ की एंट्री। उन्होंने पहला बहुपद समय एल्गोरिथ्म दिया जो तुलनात्मक रूप से सूचना को इष्टतम रूप से इष्टतम (स्थिरांक तक) निष्पादित करता है। पेपर गणित में एक छोटी सी फील्ड ट्रिप है, जिसमें कुछ क्लासिकल कॉम्बीनेटरियल आर्ग्युमेंट्स का उपयोग करके उत्तल ज्यामिति, ग्राफ एन्ट्रापी और उत्तल प्रोग्रामिंग के साथ एक साथ प्रयोग किया जाता है। एक और हाल ही में सरल एल्गोरिथ्म है, लेकिन हम अभी भी जानते हैं कि ग्राफ एन्ट्रॉपी के बिना इसका विश्लेषण कैसे करें।

Answer 19

आरएसए और अन्य सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफ़िक योजनाओं को विकसित करने के लिए संख्या सिद्धांत का उपयोग किया गया था।

Answer 20

करत्सुबा गुणन की खोज आश्चर्यजनक थी।

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गॉस असहमत होंगे।

— जेफ