प्रकार सिद्धांत में परिमित समुच्चय के सिद्धांत को औपचारिक बनाना

Question

अधिकांश प्रमाण सहायकों के पास "परिमित सेट" की अवधारणा का एक औपचारिककरण है। ये औपचारिकताएं, हालांकि, बेतहाशा भिन्न होती हैं (हालांकि एक उम्मीद है कि वे सभी अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं!)। इस बिंदु पर मुझे जो समझ में नहीं आता है वह है डिज़ाइन स्पेस शामिल है, और प्रत्येक औपचारिकता के पेशेवरों और विपक्ष क्या हैं।

विशेष रूप से, मैं निम्नलिखित समझना चाहूंगा:

• क्या मैं साधारण प्रकार के सिद्धांत में परिमित समुच्चय (निवासियों के परिमित संख्या द्वारा बसे हुए प्रकार) को स्वयंसिद्ध कर सकता हूँ? सिस्टम एफ? इस तरह से करने की क्या कमियां हैं?
• मुझे पता है कि यह भरोसेमंद रूप से टाइप की गई प्रणाली में 'सुरुचिपूर्ण ढंग से' किया जा सकता है। लेकिन, एक शास्त्रीय दृष्टिकोण से, परिणामी परिभाषाएं बेहद विदेशी लगती हैं। [मैं यह नहीं कह रहा कि वे गलत हैं, इससे दूर!]। लेकिन मुझे समझ नहीं आता कि वे 'सही' क्यों हैं। मैं समझता हूं कि वे सही अवधारणा को उठाते हैं , लेकिन 'इसे इस तरह कहने' का गहरा कारण वह है जो मैं पूरी तरह समझ नहीं पाता।

मूल रूप से, मैं टाइप थ्योरी में 'परिमित सेट' की अवधारणा की औपचारिकता के डिजाइन स्थान के लिए एक उचित परिचय देना चाहूंगा।

Answer 1

मुझे पता है कि यह भरोसेमंद रूप से टाइप की गई प्रणाली में 'सुरुचिपूर्ण ढंग से' किया जा सकता है। लेकिन, एक शास्त्रीय दृष्टिकोण से, परिणामी परिभाषाएं बेहद विदेशी लगती हैं।

क्या आप समझा सकते हैं कि "एलियन" से आपका क्या मतलब है? यह मुझे लगता है कि आप ठीक प्रकार के सिद्धांत में और सेट सिद्धांत में परिमित सेट की अवधारणा को औपचारिक रूप देते हैं।

सेट सिद्धांत में, आप सेट को रूप में परिभाषित करके आगे बढ़ते हैं तब, आप परिमितता को परिभाषित करते हैं: जहां अर्थ है सेटों का ।$Fin(n)$

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

प्रकार के सिद्धांत में, आप बिल्कुल वही काम कर सकते हैं! ध्यान दें कि तत्वों के साथ एक प्रकार है (चूंकि जोड़ी का दूसरा घटक प्रूफ-अप्रासंगिक है)। फिर, आप परिमाण प्रकार के निर्माता को परिभाषित कर सकते हैं: जहाँ अर्थ है प्रकार का समरूपता।

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$$ $\mathrm{Fin}(n)$$n$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

Comments

एलियन क्योंकि मैंने कभी भी कच्ची परिभाषाओं को बिना किसी परीक्षण के साथ देखा था जो बताता है कि उन परिभाषाओं को कैसे पढ़ा जाए। इसके अलावा तथ्य यह है कि सामान्य फिन की परिभाषा, कार्य को सरलता से करती है, चीजों को और अधिक अस्पष्ट करती है। आपकी संक्षिप्त व्याख्या है कि मुझे इसे क्लिक करने के लिए क्या चाहिए।

— जैक्स कैरट

Answer 2

मुझे देखने दो कि क्या मैं नील के जवाब में कुछ भी उपयोगी जोड़ सकता हूं। परिमित सेटों के लिए "डिजाइन स्पेस" रचनात्मक रूप से बहुत बड़ा है कि यह शास्त्रीय रूप से है क्योंकि "परिमित" की विभिन्न परिभाषाओं पर सहमति व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है। प्रकार के सिद्धांत में विभिन्न परिभाषाएं थोड़ी अलग अवधारणाएं देती हैं। यहां कुछ संभावनाएं हैं।

Kuratowski परिमित सेट ( -finite) विशेषता के रूप में किया जा सकता है मुक्त -semilattices: एक सेट, प्रकार या वस्तु को देखते हुए , नि: शुल्क के तत्वों -semilattice की thougth हो सकता है की सीमित सबसेट के रूप में । वास्तव में, इस तरह के प्रत्येक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है:$K$$\lor$$X$$\lor$$K(X)$$X$

• तटस्थ तत्व , जो खाली सेट से मेल खाता है, या$0$
• एक जनरेटर , जो सिंगलटन , या$x \in X$$\lbrace x \rbrace$
• दो तत्वों में से एक शामिल करें , जो एक संघ से मेल खाता है।$S \lor T$

के एक बराबर सूत्रीकरण है: है -finite केवल और केवल तभी, अगर वहां मौजूद और एक surjection ।$K(X)$$S \subseteq X$$K$$n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

हम नील की परिभाषा के साथ इस तुलना यदि हम देखते हैं कि वह एक की आवश्यकता है द्विभाजन । यह उन अनंत उपसमूह को लेने की मात्रा है, जिनमें निर्णायक समानता है: । हमें का उपयोग करते हैं डिसाइडेबल के संग्रह के लिए की -finite सबसेट ।$e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$$K$$S \subseteq X$$\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$$D(X)$$K$$X$

जाहिर है परिमित यूनियनों के तहत बंद है, लेकिन इसे परिमित चौराहों के तहत बंद करने की आवश्यकता नहीं है। और किसी भी संचालन के तहत बंद नहीं है। चूँकि लोग उम्मीद करते हैं कि परिमित सेट "बिना टॉप के" बूलियन एग्लेब्रा की तरह थोड़ा व्यवहार करते हैं, इसलिए उन्हें मुक्त सामान्यीकृत बूलियन बीजगणित के रूप में परिभाषित करने का प्रयास भी किया जा सकता है ( , , और रिश्तेदार ), लेकिन मैं वास्तव में कभी नहीं ऐसे प्रयास के बारे में सुना।$K(X)$$D(X)$$0$$\lor$$\land$$\setminus$

"सही" परिभाषा क्या है यह तय करते समय, आपको इस बात पर ध्यान देना होगा कि आप परिमित सेट के साथ क्या करना चाहते हैं। और इसकी कोई एक सही परिभाषा नहीं है। उदाहरण के लिए, "परिमित" किस अर्थ में एक बहुपद परिमित की जटिल जड़ों का समुच्चय है ?

रचनात्मक परिमित देखें ? बारीकियों की विस्तृत चर्चा के लिए थिएरी कोक्वांड और अरनॉड स्पिवैक द्वारा। सबक यह है कि परिमितता स्पष्ट रूप से रचनात्मक रूप से दूर है।

Comments

ठीक है, मुझे यह जानने के लिए बस इतना पता था कि मेरा सवाल तुच्छ नहीं था। अब मैं कूक, इसाबेल, और एजडा लाइब्रेरी के कुछ हिस्सों को फिर से तैयार कर सकता हूं, जो परिमित सेट से निपटते हैं, और यह समझने की एक आशा है कि उन्होंने कौन से विकल्प (वाक्य का इरादा) बनाया है।

— जैक्स केयरटे

मुझे आश्चर्य है कि पुस्तकालयों के लेखक विकल्पों के बारे में कितने जागरूक थे। वे शायद परिभाषाओं में से एक में चले गए। एक स्वाभाविक बात यह है कि की निर्णायक समानता है क्योंकि तब साथ मेल खाता है और सब कुछ आसानी से हो जाता है और शास्त्रीय मामले में बहुत पसंद है। मुसीबत तब शुरू होती है जब में निर्णायक समानता नहीं होती है। $A$$K(A)$$D(A)$$A$

— लेडी बाउर

निष्पक्ष होने के लिए, एक अक्सर कार्यक्रम सत्यापन के पहलुओं को औपचारिक बनाने के लिए परिमित सेट का उपयोग करता है, और उस स्थिति में आप आमतौर पर मान सकते हैं कि निर्णायक समानताएं रखती हैं।

— कोड़ी