पेड़ों पर पूरी तरह से फैला हुआ

Question

ग्राफ के एक फैले हुए वृक्ष को पूर्णता का पेड़ कहा जाता है यदि इसके पत्तों का सेट मेजबान ग्राफ में एक पूर्ण उपसमूह को प्रेरित करता है। एक ग्राफ को देखते हुए और एक पूर्णांक , निर्णय लेने से अगर की जटिलता क्या है अधिक से अधिक के साथ एक पूर्णता पेड़ शामिल पत्ते?$G$$k$$G$$k$

इस प्रश्न को पूछने का एक कारण यह है कि स्वतंत्र पेड़ों के लिए संबंधित समस्या एनपी-पूर्ण है, यहां एक स्वतंत्र पेड़ एक फैले हुए पेड़ है जैसे कि इसकी पत्तियों का सेट मेजबान ग्राफ में एक स्वतंत्र सेट है।

एक और कारण यह सवाल है (और संबंधित उत्तर)। यह पता चला है कि का हर फैले पेड़ एक पूर्णता का पेड़ है अगर और केवल अगर एक पूरा ग्राफ या एक चक्र है। $G$$G$

Answer 1

एक त्रिकोण-मुक्त ग्राफ में, एक पूर्णता का पेड़ एक हैमिल्टनियन चक्र (इसके किनारों में से एक माइनस) होना चाहिए। ISGCI का कहना है कि हैमिल्टन चक्र त्रि-मुक्त रेखांकन में एनपी-पूर्ण है। इसलिए, एक पूर्णता का पेड़ ढूंढ रहा है (पत्तियों की अधिकतम संख्या पर किसी भी प्रतिबंध की परवाह किए बिना)।

Comments

ओह, यह एक अच्छा अवलोकन है, धन्यवाद!

— vb le

Answer 2

मैं डेविड को उसके जवाब की शान में मात नहीं दे सकता। लेकिन इस समस्या के बारे में सोचने में बहुत समय बिताने के बाद मैं आपके समाधान के साथ विश्वासघात करना चाहूंगा;)

बता दें कि एक निश्चित अंतराल है। यह देखते हुए , निर्माण इस प्रकार है: दो प्रतियां ले लो , और एक गुट पर कोने , एक नया शिखर , ठीक एक शीर्ष और एक वर्टेक्स । को और से से में शामिल से शामिल करके और सभी पड़ोसियों में शामिल करके प्राप्त किया जाता है$k \ge 2$$G$$H$$G_1$$G_2$$Q$$k$$x, x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$y$$v_1 \in G_1$$v_2 \in G_2$$H$$G_1, G_2, Q$$y$$x$$v_1$$x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$v_2$$v_1$में और के सभी पड़ोसी में को ।$G_1$$v_2$$G_2$$y$

तब यह आसानी से देखा जा सकता है कि में एक हैमिल्टनियन चक्र है यदि और केवल यदि पास अधिकांश पत्तों के साथ पूर्णता का पेड़ है ।$G$$H$$k$