एक साधारण समस्या जिसकी निर्णायकता ज्ञात नहीं है

Question

मैं स्नातक गणित की बड़ी कंपनियों के उद्देश्य से एक वार्ता की तैयारी कर रहा हूं, और इसके हिस्से के रूप में, मैं निर्णायक क्षमता की अवधारणा पर चर्चा कर रहा हूं। मैं एक ऐसी समस्या का उदाहरण देना चाहता हूं, जिसे हम वर्तमान में निर्णायक या अनिर्दिष्ट नहीं जानते हैं। ऐसी कई समस्याएं हैं, लेकिन कोई भी अब तक अच्छे उदाहरणों के रूप में सामने नहीं आता है।

एक सरल-से-वर्णन करने वाली समस्या क्या है जिसकी निर्णायक क्षमता खुली है?

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Collatz Problem सरल-से-वर्णन करने वाली समस्या है, जिसकी decidability खुली हुई है। Collatz समस्या का एक सामान्यीकरण अनिर्दिष्ट दिखाया गया था। math.mit.edu/~poonen/papers/sampler.pdf mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टेनी

शायद आप भी यह अच्छा "चाल" दिखा सकते हैं: एक छोटा सा प्रोग्राम लिखने कि यहां तक कि पूर्णांक के माध्यम से दोहराता (यदि आप इसे "Goldbach" कॉल कर सकते हैं) और जांच करता है कि n मैं = पी जे + पी कश्मीर कुछ अभाज्य संख्या के लिए पी जे , पी के < n i और नकारात्मक मामले में बंद हो जाता है ... फिर कहते हैं "ठीक है, हम नहीं जानते हैं कि क्या इस कार्यक्रम के लिए समस्या हल करने योग्य नहीं है!" :-)। यह संख्या सिद्धांत समस्याओं और रुकने की समस्या के बीच मजबूत संबंध को दर्शाता है। $n_i \geq 5$$n_i = p_j + p_k$$p_j, p_k<n_i$

— मार्जियो डी बियासी

ये अच्छे लगते हैं, लेकिन निर्णायकता की अवधारणा सिर्फ एक विशिष्ट उदाहरण के लिए लागू नहीं होती है, क्योंकि इन दोनों मामलों के लिए, जवाब सिर्फ एक निश्चित हां / नहीं है।

— लेव Reyzin

@MarzioDeBiasi, यह हॉल्टिंग समस्या और संख्या सिद्धांत के बीच एक "मजबूत सहसंबंध" नहीं है। फॉर्म का कोई भी अनुमान "फ्रैंजिबल विजेट करते हैं / मौजूद नहीं हैं" को एक ऐसे प्रोग्राम में बदल दिया जा सकता है जो आईएफएफ को एक फ्रैगिबल विजेट है, जब तक कि फ्रैजिबिलिटी डिसिडेबल है और विजेट रीक्रिम्युअली एनुमरेबल हैं। इस तरह के कार्यक्रम का अस्तित्व रुकने की समस्या और विजेट सिद्धांत के बीच केवल सबसे तुच्छ लिंक है।

— डेविड रिचीर्बी

@DavidRicherby: काफी समझाने वाला :-)। मैं केवल इस तथ्य (मेरे लिए आश्चर्य की बात) को बाहर लाने की कोशिश कर रहा था जो कोड के कुछ बिट्स के लिए हॉल्टिंग समस्या को हल करने के लिए एक लंबे समय तक चलने वाले गणित विषय को हल करने के लिए मेल खाता है। इसलिए मुझे "कमजोर सहसंबंध" के साथ "मजबूत सहसंबंध" को बदलना चाहिए लेकिन मेरे लिए आश्चर्यजनक ":-) :-)

— Marzio De Biasi

Answer 1

मैट्रिक्स मृत्यु समस्या 2x2 मैट्रिक्स के लिए। Ie, 2x2 पूर्णांक matrices M ₁ , ..., M _k , की परिमित सूची दी गई है , क्या M- _i को किसी भी क्रम में (मनमाने ढंग से कई पुनरावृत्ति के साथ) सभी-0 मैट्रिक्स का उत्पादन करने के लिए गुणा किया जा सकता है?

(3x3 मामले को असाध्य माना जाता है। 1x1 मामला निस्संदेह, निर्णायक है)

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epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9781611974782.12 इगोर पोतापोव और पावेल सेमुखिन ने हाल ही में दिखाया कि यह निर्णायक है।

— चाओ जू

@ChaoXu: यह कागज केवल गैर-विलक्षण मैट्रिक्स के लिए लगता है ।

@ रिकीडेमर आप सही हैं, मेरी गलती है।

— चाओ जू

Answer 2

अद्यतन करें: जिस समस्या का मैंने यहाँ उल्लेख किया है वह अब अनिर्दिष्ट है! http://arxiv.org/abs/1605.05274 इसके अलावा, पेपर इस बहुत ही उत्तर को पढ़ने से प्रेरित था। :)

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आपके गणित-प्रमुख श्रोताओं के प्रोग्रामर यह जानकर आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि प्रश्न "क्या यह प्रकार उस प्रकार का स्पष्ट रूप से परिवर्तनीय है?" Java 5, C # 4 और Scala 2 में से किसी में भी इसका पता नहीं चल सकता है।

अधिक जानकारी के लिए, एंड्रयू कैनेडी और बेंजामिन पियर्स के पेपर "वेरिएंस के साथ नाममात्र उपशीर्षक के निर्णायकता पर" देखें । कागज इन भाषाओं के प्रकार की प्रणालियों के लिए अतिरिक्त प्रतिबंधों के कुछ उदाहरण देता है, जिसके तहत नाममात्र उप-योग निर्णायक हो जाता है या अनिर्दिष्ट होने के लिए जाना जाता है।

दिलचस्प बात यह है कि जेनेरिक कोवरियन से पहले कागज को अच्छी तरह से लिखा गया था और सी # में कंट्रोवर्सी को जोड़ा गया था, लेकिन लेखकों ने सही ढंग से अनुमान लगाया कि भाषा किस दिशा में जा रही है। (यह आश्चर्यजनक है; लेखकों ने सीएलआर में विचरण के लिए अंतर्निहित समर्थन को डिजाइन किया था कि मैंने सी # में विचरण को जोड़ते समय इसका लाभ उठाया था! उन्होंने भारी उठाने का काम किया।)

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@vzn: Microsoft C # कंपाइलर को अनबाउंड रिक्वायरमेंट में जाने के लिए बनाया जा सकता है। इस विषय पर मेरा लेख देखें: blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2008/05/07/…

— एरिक

@vzn: जावा कंपाइलर को बुरी तरह से व्यवहार करने के तरीके भी हैं, लेकिन मुझे इसकी जानकारी नहीं है।

— एरिक लिपर्ट

@vzn स्काला की प्रकार की भाषा ट्यूरिंग पूर्ण है, और इसलिए स्काला का टाइप-चेकर लूप हो सकता है। देखें यहाँ जानकारी के लिए। हास्केल के लिए भी यही सच है । मैं यह जानने के लिए C # और जावा के साथ अपर्याप्त रूप से परिचित हूं कि क्या कोई व्यक्ति अपने प्रतिभावान टाइप-चेकर्स को लूप कर सकता है।

— मार्टिन बर्गर

@vnn: इसके अलावा यह आपके लिए ब्याज की हो सकती है: C # 3 में अधिभार संकल्प कम से कम NP-HARD है क्योंकि आप कंपाइलर को मनमाने ढंग से SAT समस्याओं को हल करने के लिए मजबूर कर सकते हैं: blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2007/03 / 28 /…

— एरिक लिपर्ट

@vzn: अंत में, सवाल "यह कुछ हद तक अकादमिक है?" हां जवाब दिया है। प्रश्न "blah decidable होने के लिए जाना जाता है?" इसकी प्रकृति से एक शैक्षणिक सवाल है। ये मामले यथार्थवादी लाइन-ऑफ-बिजनेस कोड में उत्पन्न नहीं होते हैं। इंजीनियरिंग के दृष्टिकोण से इस प्रश्न का महत्व सुरक्षा में है ; क्या शत्रुतापूर्ण तृतीय पक्ष कोड प्रदान कर सकता है जहां इसे चलाने से पहले इसका विश्लेषण करने से यह खराब व्यवहार का कारण बन सकता है? इंटरनेट पर हम ऐसी स्थिति में हैं, जहां शत्रुतापूर्ण तृतीय पक्ष आपके ब्राउज़र पर जावास्क्रिप्ट भेजते हैं।

— एरिक लिपर्ट

Answer 3

हिल्बर्ट की तर्कसंगतताओं पर दसवीं समस्या: "क्या इस बहुपद समीकरण का तर्कसंगत समाधान है?"

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धन्यवाद - क्या आपके पास ऐसा कोई लिंक है जो कहता है कि यह खुला है?

— लेव Reyzin

Www-math.mit.edu/~poonen/papers/subrings.pdf (दूसरा पैराग्राफ) देखें । Www-math.mit.edu/~poonen/papers/aws2003.pdf

— बोरिस बुक

यह स्केच / रूपरेखा विवरण देखने के लिए भी उपयोगी होगा कि यह समस्या हिल्बर्ट्स 10 वीं समस्या के समतुल्य क्यों नहीं है और वही प्रमाण लागू नहीं होता है।

— vzn

vzn: तर्कसंगत से अधिक समीकरणों को पूर्णांकों पर समीकरणों के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है (हर को साफ़ करने के लिए गुणा करके)। तो सवाल यह है कि हिल्बर्ट की 10 वीं समस्या का वह विशेष मामला पहले से ही अनिर्दिष्ट है। मौजूदा साक्ष्यों द्वारा निर्मित डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए आवश्यक विशेष रूप नहीं है।

— स्कॉट एरनसन

@vzn एक कारण यह है कि यह सूक्ष्म है कि अधिकांश (शायद सभी) प्रूफ रणनीति मज़दूर के अनुमान का उल्लंघन करेगी। अधिक के लिए बोरिस बुक के पहले लिंक का पेज 1 देखें।

— डेविड ई स्पायर

Answer 4

अपने प्रारंभिक मूल्यों के साथ एक रेखीय पुनरावृत्ति की समस्या, क्या यह मान 0 लेता है?

दो संदर्भ:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

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अब विकिपीडिया पर: en.wikipedia.org/wiki/Skolem_problem

— डेविड एप्पस्टीन

Answer 5

एक साधारण समस्या जिसकी निर्णायकता अज्ञात है, निम्नलिखित है (मुझे लगता है कि यह अभी भी खुला है):

अनंत शतरंज :

$Z \times Z$

$n$$n$

एक और सरल समस्या है लैंग्टन की चींटी का व्यवहार परिमित प्रारंभिक विन्यास पर।

लैंग्टन के चींटी के व्यवहार के समर्थन के साथ :

एक हवाई जहाज़ पर वर्ग को या तो काले या सफेद रंग में रंगा जाता है। हम मनमाने ढंग से "चींटी" के रूप में एक वर्ग की पहचान करते हैं। चींटी अपने हर कदम पर चार कार्डिनल दिशाओं में से किसी में भी यात्रा कर सकती है। नीचे दिए गए नियमों के अनुसार चींटी चलती है:

• एक सफेद वर्ग में, 90 ° दाएं मुड़ें, वर्ग के रंग को पलटें, एक इकाई को आगे बढ़ाएं
• एक काले वर्ग में, 90 ° बाएं मुड़ें, वर्ग के रंग को पलटें, एक इकाई को आगे बढ़ाएं

इनपुट : विमान का एक परिमित विन्यास (काला / सफेद) और चींटी की स्थिति;
प्रश्न : क्या चींटी हमेशा एक आवर्ती अनंत "राजमार्ग" का निर्माण करती है?

अनंत समर्थन के लिए समस्या अनिर्णायक है, देखें: ए। गजार्डो, ए। मोरेरा और ई। गोल्ड्स, लैंग्टन की चींटी की जटिलता

Answer 6

Collatz Problem सरल-से-वर्णन करने वाली समस्या है, जिसकी decidability खुली हुई है। इसमें प्राथमिक अंकगणितीय संचालन की एक सरल पुनरावृत्ति शामिल है।

$f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$$3n+1$

$n_0$

दिलचस्प है, Collatz समस्या का एक सामान्यीकरण अनिर्दिष्ट दिखाया गया था।

संदर्भ:

1 - उपलब्धियां: एक नमूना, BJORN POONEN

2- वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "कोलेज़ेट समस्या।" मैथवर्ल्ड से - एक वुल्फ्राम वेब संसाधन।

3- 3X + 1 समस्या: एक अवलोकन , जेफरी सी। लैगरियास

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कड़ाई से बोलते हुए, आपके विशेष प्रश्न का उत्तर बस "हाँ" या "नहीं" है, इसलिए यह अनिर्दिष्ट नहीं हो सकता है। दूसरी ओर, यह बताना कि क्या कोई विशेष संख्या एक Collatz संख्या है, अनिर्दिष्ट हो सकती है।

— लेव Reyzin

@LevReyzin धन्यवाद। समस्या को ठीक करने के लिए संपादित किया गया।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

ख़ुशी है कि यह उत्तर अब शामिल है और सुझाव देता है कि अन्य सभी प्रमुख ओपन नंबर थ्योरी समस्याओं को अन्य टिप्पणियों / उत्तर में भी इसी तरह तैयार किया जा सकता है और सोचें कि यह मौलिक लिंक सैद्धांतिक समुदायों द्वारा अस्पष्टीकृत एक महत्वपूर्ण पुल प्रमेय के करीब है।

— vzn

एक और अधिक TCS / कई कोणों के साथ अनुभवजन्य कोण से Collatz अनुमान का अध्ययन (जैसे FSM ट्रांसड्यूसर पुनरावृत्ति , टैग प्रणाली आदि के माध्यम से )

— vzn

Answer 7

यह अज्ञात है कि क्या यह निर्धारित करना उचित है कि क्या दी गई आकृति विमान को टाइल कर सकती है ।

            

Answer 8

कंजर्वेटिव क्वेरी कंसंट्रेशन की निर्णायकता बीस वर्षों से खुली है। इसे हल करना डेटाबेस सिद्धांत में एक सफलता होगी।

$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

संयुक् त प्रश्नों में, एक का उपयोग करता है और एक साथ मौजूद होने के लिए आवश्यक रूप से मात्रा निर्धारित करता है। एसक्यूएल शब्दों में, संयुक्त प्रश्न "=" और "और" का उपयोग करते हुए चयन-से-प्रश्न हैं, लेकिन कोई उपश्रेणी या एकत्रीकरण नहीं है। यह संभवतः डेटाबेस क्वेरी का सबसे आम प्रकार है, और इसमें अधिकांश खोज इंजन क्वेरी शामिल हैं।

$I$$Q_1$$Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

व्यापक साहित्य और कठोर उपचार के संकेत के लिए, कुछ लोगों द्वारा एक टीडीएस पेपर (प्रेस में) देखें।

$Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

Comments

यहाँ एक संबंधित लेख है ।

— मार्टिन बर्गर

@MartinBerger: ToDS संस्करण में ऊपर उल्लेखित NP-कठोरता प्रमाण शामिल हैं, पूर्ण प्रमाण हैं, और खुली पहुंच है (हालांकि स्थान की कमी के कारण CQs के यूनियनों के बारे में सामग्री को छोड़ देता है)। dx.doi.org/10.1145/2556524

— एंड्रास सालेमन

Answer 9

3 और 6 के बीच टाइल की निश्चित संख्या के साथ पोस्ट पत्राचार समस्या ।

हालांकि यह वर्णन करने के लिए वास्तव में सरल नहीं है, इसमें बहुत "चंचल" वर्णन है, और मुझे यह अंतर्ज्ञान स्तर की वार्ता के लिए उपयुक्त लगता है।

Answer 10

सामान्यीकृत स्टार-ऊंचाई की समस्या: "क्लेने सितारों के कितने घोंसले के शिकार को मुझे इस नियमित भाषा का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है, पूरक के साथ एक नियमित अभिव्यक्ति की अनुमति है?"

हम यह भी नहीं जानते हैं कि एल्गोरिथ्म जो हमेशा 1 लौटता है (स्टार-मुक्त भाषाओं के लिए 0 को छोड़कर, जो कि एक निर्णायक मामला है) सही है।

Answer 11

ऑटोमेटा थ्योरी से एक समस्या।

$D$

$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

टिप्पणियाँ: मैं मूल रूप से जेफरी Shallit द्वारा एक stackexchange जवाब से इस समस्या को सुना। यदि आपको इसका कोई संदर्भ पता है, तो कृपया मुझे बताएं। धन्यवाद!

संबंधित पोस्ट:

(1) क्या डीएफए के बारे में कोई खुली समस्या है?

(२) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

संबंधित कार्य: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

सी। ब्राइट, आर। डेविलर्स और जे। शैलिट द्वारा "मिनिमल एलिमेंट्स फॉर द प्राइम नंबर"

Answer 12

अंतराल पर Iterated नक्शे ( यहाँ से वर्णन ):

(मैग्नस फाइंड द्वारा प्रस्तावित समस्या से संबंधित)

$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

$F$$x$$y$$x$$y$

$F$

$F$$x$$y$$x$$F$

एक संदर्भ: असरिन 2011 ।

Answer 13

इस प्रश्न का अध्ययन करने के लिए एक काफी स्वाभाविक तरीका / कोण प्रतीत होता है जो कम से कम 3 पत्रों में निम्नानुसार उपयोग किया जाता है।

$TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

परिणाम ग्रिड पर निम्न में से कुछ में प्रदर्शित किए जा सकते हैं। मध्यवर्ती क्षेत्र में यह वास्तव में ज्ञात है कि कुछ (अनसुलझे) मशीनें कुछ इनपुट के लिए Collatz अनुमान का अनुकरण करने में सक्षम हैं।

इसलिए स्पष्ट रूप से एक "संक्रमण-बिंदु" है जैसे कि यहाँ परिघटनाएँ चल रही हैं, लेकिन एक संगणनीय क्षेत्र के भीतर नहीं बल्कि संगणनीय और असुविधाजनक के बीच एक असामान्य अर्थ में।

• छोटे ट्यूरिंग मशीन और सामान्यीकृत व्यस्त बीवर प्रतियोगिता मिशेल

• छोटे सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों की जटिलता: एक सर्वेक्षण वुड्स, नियर

• टैग सिस्टम में सॉल्वेबिलिटी और अनसॉल्वेंसी की सीमाओं पर। सैद्धांतिक और प्रायोगिक परिणाम डी मोल

Comments

पी एस डी मोल रेफरी पीडीएफ लिखने के समय में मेरे लिए डाउनलोड करने योग्य नहीं था, यह लटका हुआ है

— vzn

Answer 14

$2^8$

"पास मिस", या "खुले प्रश्न अपेक्षाकृत हाल ही में TM पूर्ण के रूप में हल किए गए" के उदाहरण के रूप में, वुल्फराम 2,3 मशीन $ 25K पुरस्कार के लिए 2007 में सार्वभौमिक साबित हुई थी । प्रतियोगिता की घोषणा मई 2007 में की गई और प्रतियोगिता की घोषणा अक्टूबर 2007 में विजेता स्मिथ ने की ।

Answer 15

वहाँ (संयुक्त राष्ट्र) decidability के सवालों पर सबसे खुली समस्याओं को मैप करने के लिए एक काफी स्वाभाविक तरीका है। ज्यादातर खुली समस्याओं को आमतौर पर सिद्ध या अप्राप्य नहीं माना जाता है।

वेब पर पी बनाम एनपी समस्या की अनिर्वायता के बारे में कुछ अनौपचारिक भ्रम है, जो कड़ाई से निर्णय की समस्या नहीं है, इसलिए इसकी अनिश्चिता के बारे में बात करना तकनीकी रूप से सही नहीं है। लेकिन दूसरी ओर अनिर्वायता और उकसावे के बीच घनिष्ठ / स्वाभाविक संबंध प्रतीत होता है।

उदाहरण के लिए विचार करें

$L$$x$$O(n^x)$

क्या यह भाषा निर्णायक है? यह उस भाषा के बारे में एक प्रश्न है, जिसकी डिकोडिबिलिटी ओपन है, जो मूल रूप से P बनाम NP समस्या और इसके निहित (un?) भड़काऊपन के साथ मूल रूप से (समान रूप से समान) जुड़ी हुई है।

पी बनाम एनपी के रूप में "सरल वर्णन करने के लिए", इसके लिए केवल टीएम , बिग ओ रनटाइम नोटेशन , नॉनडेर्मिनिज़म की अवधारणाओं की आवश्यकता होती है जो एक काफी सरल (टीसीएस की सबसे बुनियादी अवधारणाओं में से कुछ) हैं और स्नातक स्तर पर पढ़ाया जाता है - जो एक उपहार है हाई स्कूल का छात्र समझ सकता था।

वास्तव में एनपी बनाम पी / पॉली भी खुला है, और उसी तरह से गिरावट के बारे में एक खुले प्रश्न पर मैप किया जा सकता है, और यह एनपी को पूरा पहचानने के लिए न्यूनतम (मोनोटोन?) सर्किट के विकास के बारे में एक काफी सरल समस्या के रूप में कहा जा सकता है? समस्याओं (उदाहरण के लिए)।

Comments

$L$$x$$L = \emptyset$$x$$\Theta(n^x)$$L$$L$

$\ne$

यह कहना कि एक पूर्णांक असुविधाजनक है बकवास है। और मुझे नहीं लगता कि बहिष्कृत मध्य का सिद्धांत इस बात से प्रभावित होता है कि क्या कथन सिद्ध है।

— साशो निकोलोव

या तो अपना उत्तर ठीक करें या टिप्पणी छोड़ना बंद करें। मैंने इन प्रश्नों को देखा है, लेकिन यदि आप उनका उपयोग नहीं कर पा रहे हैं या किसी उत्तर की पूरी गड़बड़ी को ठीक करने के लिए उन्हें दिए गए उत्तर, या इससे भी बदतर, यदि आप नहीं चाहते हैं, तो शायद आपको दूसरे समुदाय को ट्रोल करना चाहिए।

— साशो निकोलेव

इस बिंदु पर, आपके उत्तर में समस्या ZFC से पी बनाम एनपी समस्या के समाधान या औपचारिक स्वतंत्रता की परवाह किए बिना, तुच्छ रूप से निर्णायक है। एक प्रसिद्ध अनुमान की सच्चाई के आधार पर ऐसी समस्याएं उत्पन्न करना जो संभवतः अनुचित या तुच्छ रूप से निर्णायक हैं, एक प्यारा व्यायाम से ज्यादा कुछ नहीं है (जो कि आप अभी तक पूरी तरह से विफल हो रहे हैं), और ज्यादातर मामलों में एक अनुमान के आंतरिक कठिनाई के बारे में कुछ भी नहीं दिखाता है। ।

— साशो निकोलेव