शोर बूलियन कार्यों की कठोरता

चलो की एक बूलियन समारोह होना बूलियन चर। चलो की उम्मीद मूल्य होना जब से प्राप्त होता है प्रत्येक संभावना के साथ समन्वय स्थापित flipping द्वारा । $f$ $n$ $g(x)=T_\epsilon (f) (x)$ $f(y)$ $y$ $x$ $\epsilon/2$

मुझे ऐसे मामलों में दिलचस्पी है जहां यह लगभग अनुमानित लिए कठिन है । मुझे "सन्निकटन" की धारणा को तय करते हैं (लेकिन वहाँ दूसरों हो सकता है): एक बूलियन समारोह का अनुमान लगाती है करता है, तो जब और जब $g$ $h$ $g$ $h(x)=1$ $g(x)\ge 0.9$ $h(x)=0$ $g(x)\le 0.1$ .A गिनती तर्क (सकारात्मक दर त्रुटि सुधार कोड के अस्तित्व के आधार पर) देने के लिए लगता है कि बूलियन कार्य हैं जिसके लिए किसी भी ऐसे सन्निकटन के लिए एक घातीय आकार सर्किट की आवश्यकता होती है। लेकिन सवाल है क्या होता है जब शुरू करने के लिए एनपी में या अपने पड़ोस में है के साथ। $f$

Q1: एनपी सर्किट (या पी-स्पेस) द्वारा वर्णित का एक उदाहरण है ताकि हर एन पी कठोर, या कुछ कमजोर अर्थों में कठोर हो। $f$ $h$

यह देखने के लिए कि हमेशा आसान नहीं हो सकता है (मैं इसके बारे में उपयोगी चर्चा के लिए जोहान हस्टाड धन्यवाद) हम आकार का एक गुट होने के रेखांकन की संपत्ति पर विचार कर सकते यादृच्छिक इनपुट के लिए, यह कल्पना है कि यह बहुत मुश्किल है यह पता लगाएं कि क्या कोई बड़ा समूह है लेकिन यह शोर के ग्राफ में n के आकार के लॉग के अपेक्षित क्लिक्स से अधिक है। इस मामले में कोई भी संभावना-कठोर होगा (लेकिन निश्चित रूप से नहीं, और बहुत कठिन नहीं है क्योंकि अर्ध-बहुपद सर्किट बता रहे होंगे)। $h$ $n^{1/4}$ $h$

Q2: क्या स्थिति है अगर के साथ कम जटिलता है शुरू करने के लिए। ( , मोनोटोन , आदि) $f$ $AC^0$ $TC^0$ $ACC$

Q3: बूलियन कार्यों के कुछ बुनियादी उदाहरणों के लिए क्या स्थिति है। (प्रश्न को वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन तक भी बढ़ाया जा सकता है।)

Q4: क्या गणन के मॉडल (ट्यूरिंग-मशीन) के लिए उपरोक्त प्रश्न औपचारिक रूप से पूछे जा सकते हैं?

अद्यतन: एंडी के उत्तर (हाय हाय, एंडी) के मद्देनजर मुझे लगता है कि सबसे दिलचस्प सवाल विभिन्न विशिष्ट कार्यों के लिए स्थिति को समझना है।

एक और प्रश्न Q5 [मोनोटोन कार्यों के लिए Q1] अपडेट करें (एंडी के उत्तर को देखते हुए)। यदि मोनोटोन है तो स्थिति क्या है ? क्या हम अभी भी एक एनपी पूर्ण प्रश्नों को मजबूती से समझ सकते हैं> $f$

cc.complexity-theory circuit-complexity boolean-functions

— गिल कलाई
स्रोत

imho सर्किट सन्निकटन पर यह सवाल संबंधित है। आपका प्रश्न P / poly बनाम NP प्रश्न के समान प्रतीत होता है।

— vzn

प्रश्न 1 के लिए, उत्तर हां है, और निम्नानुसार दिखाया जा सकता है। (मैं भी तर्कपूर्ण रूप से Q4 के लिए एक सकारात्मक जवाब देना चाहूंगा, क्योंकि यह तर्क एक समान है और एक ही बार में सभी इनपुट लंबाई का इलाज करेगा।)

$L$ $Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$ $n$ $Enc = \{Enc_n\}$

$L'$ $z$ $.05 |z|$ $y \in Enc(L)$ $L$ $L'$ $L$

$L'$ $\varepsilon = .01$ $y = Enc(x)$ $4n$ $1 - o(1)$ $\varepsilon$ $y'$ $y$ $y$ $Enc_n$ $.05$ $y'$ $y' \in L'$ $x \in L$ $h$ $\varepsilon$ $L'$ $h(y) = L(x)$ $Enc$ $L$ $h$ $h$

दो नोट:

(1) एनपी उदाहरणों की त्रुटि सुधारक एन्कोडिंग का उपयोग कई पत्रों में पहले किया गया है, विशेष रूप से
डी शिवकुमार: सदस्यता तुलनात्मक सेट पर। जे। कम्प्यूट। Syst। विज्ञान। 59 (2): 270-280 (1999)।

(2) बेशक ऊपर का तर्क किसी भी एनपी समस्या की औसत-मामले की जटिलता के बारे में कुछ नहीं कहता है, क्योंकि त्रुटि-सुधार को उदाहरण के आधार पर लागू किया जा रहा है।

— एंडी ड्रकर
स्रोत

सॉफ्टवेयर मुझे "हाय गिल" के साथ अपना जवाब शुरू करने की अनुमति नहीं देगा, और मैं इस स्तर के माइक्रोमेनरेशन से थोड़ा बाहर आया हूं।

— एंडी ड्रकर

ऐसा इसलिए है क्योंकि आपका उत्तर "हाय गिल" से शुरू नहीं होना चाहिए । यह एक व्यक्तिगत ई-मेल नहीं है, यह एक सार्वजनिक वेबसाइट पर एक पोस्ट है। बेशक, आप की पसंद इस से लक्षित नहीं हैं; यह नए उपयोगकर्ताओं को है जो इन सम्मेलनों के बारे में नहीं जानते हैं जिन्हें सॉफ्टवेयर को नियंत्रित करना है।

— युवल फिल्मस

मेरा विचार यह है कि जब कोई किसी और के योगदान के जवाब में लिख रहा होता है तो उसे स्वीकार करना ठीक होता है। यह कई ऑनलाइन सेटिंग्स में सामान्य और सकारात्मक है। मैंने व्यक्तिगत सम्बोधन द्वारा संक्षिप्त तरीके से ऐसा करने की कोशिश की; उस के साथ कुछ भी गलत न देखें।

— एंडी ड्रकर

अच्छा निर्माण! मेरे पास एक प्रश्न है: चलो एफ 'एल' का सूचक कार्य है, और यह गिल के प्रश्न में है। अब, आपके तर्क से पता चलता है कि h y पर f से सहमत है कि कानूनी कोडवर्ड हैं। लेकिन y के बारे में कैसे कानूनी कोडवर्ड नहीं हैं?

— या मीर

f

$f$