सेट कवर की एक सबकेस की कठोरता

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सेट कवर समस्या कितनी कठिन है यदि तत्वों की संख्या किसी फ़ंक्शन (जैसे, ) से है जहां समस्या के उदाहरण का आकार है। औपचारिक रूप से, $\log n$ $n$

Let और जहां और । निम्नलिखित समस्या को तय करना कितना कठिन है $\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$ $\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$ $S_i \subseteq \mathcal{U}$ $m = O(\log n)$

\begin{aligned} SET-COVER' = {< U, F, k >: & there exists at most k subsets \\ S_{i_{1}}, \dots, S_{i_{k}} \in F that cover U} . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{SET-COVER'}=\{<\mathcal{U}, \mathcal{F}, k>: &\text{ there exists at most $k$ subsets }\\ &\text{ $S_{i_1}, \cdots, S_{i_k}\in \mathcal{F}$ that cover $\mathcal{U}$} \}. \end{align*}$

क्या होगा अगर ? $m=O(\sqrt{n})$

जाने-माने अनुमानों (जैसे, यूनिक गेम्स, ईटीएच) पर आधारित कोई भी परिणाम अच्छा होता है।

संपादित करें 1: इस समस्या के लिए एक प्रेरणा पता चल रही है कि जब समस्या बढ़ती है तो बढ़ता है। स्पष्ट रूप से, समस्या पी में है यदि और एनपी-हार्ड अगर । समस्या की एनपी-कठोरता के लिए सीमा क्या है? $m$ $m=O(1)$ $m=O(n)$

संपादन 2: इसमें तय करने के लिए एक तुच्छ एल्गोरिथ्म मौजूद है (जो कि के आकार के सभी उपसमूह को )। इसलिए, समस्या एनपी-हार्ड नहीं है यदि ईटीएच के बाद से अर्थ है कि किसी भी NP- हार्ड के लिए समय में कोई एल्गोरिथ्म नहीं है। समस्या (जहां एनपी-कठिन समस्या का आकार है)। $O(n^{m})$ $m$ $\mathcal{F}$ $m=O(\log{n})$ $O(2^{n^{o(1)}})$ $n$

np-hardness set-cover exp-time-algorithms

— user1297
स्रोत

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समय में समस्या को तय करने के लिए एक बेहतर एल्गोरिथ्म मौजूद है। (अधिक सटीक रूप से बेल संख्या ): सबटेट्स में तत्वों के प्रत्येक विभाजन के लिए, परीक्षण करें कि क्या प्रत्येक सबसेट को कवर करने वाला इनपुट सेट मौजूद है। तो लिए समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है। यह काफी के बारे में अपने प्रश्न का उत्तर न , हालांकि।

m^{O (m)}

$m^{O(m)}$

m

$m$

m = O (\log n / \log \log n)

$m=O(\log n/\log\log n)$

m = O (\log n)

$m=O(\log n)$

— डेविड एप्स्टीन

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जब , आप बहुपद समय में इष्टतम को खोजने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग कर सकते हैं। तालिका बूलियन मान सेल शामिल प्रत्येक के लिए और , यह दर्शाता है देखते हैं कि क्या सेट जो कवर तत्वों में । $m = O(\log n)$ $T_{\ell,X}$ $\ell \in \{0,\ldots,k\}$ $X \subseteq \mathcal{U}$ $\ell$ $X$

जब , , समस्या NP-hard रहती है। सेट-आवरण का एक उदाहरण को देखते हुए, ऐड नए तत्व और नए सेट, नए तत्वों के गैर खाली सबसेट से मिलकर, सहित (जब काफी बड़ा हो, )। साथ ही को एक बढ़ाएं । नए हैं और । $m = O(\sqrt{n})$ $m \leq C\sqrt{n}$ $m$ $x_1,\ldots,x_m$ $(2C^{-1}m)^2$ $\{x_1,\ldots,x_m\}$ $m$ $(2C^{-1}m)^2 < 2^m$ $k$ $m,n$ $m' = 2m$ $n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

— युवल फिल्मस
स्रोत

आम तौर पर, मामला NP-hard है, और मामला NP- हार्ड ग्रहण ETH नहीं है, क्योंकि एक एल्गोरिथ्म।

m = n^{O (1)}

$m = n^{O(1)}$

m = n^{o (1)}

$m = n^{o(1)}$

p o l y (n, 2^{m})

$\mathrm{poly}(n,2^m)$

— युवल फिल्मस

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का मामला समय के अनुसार युवल द्वारा नोट किया गया है, लेकिन लिए भी ध्यान दें, आप समस्या को समय में हल कर सकते हैं (बहुपद समय) संपूर्ण खोज द्वारा। मजबूत एक्सपोनेंशियल टाइम हाइपोथिसिस (कि CNF-SAT फॉर्मूले पर वैरिएबल और क्लॉज़ेज़ के लिए कम से कम समय) की आवश्यकता होती है, इन दो समय सीमा की "सीमा" है जिसे हम उम्मीद कर सकते हैं बहुपद में, निम्नलिखित अर्थों में। $m = c \log n$ $n^{O(c)}$ $k = O(1)$ $O(n^k \cdot m)$ $N$ $O(N)$ $2^{N-o(N)}$

Mihai Patrascu के साथ मेरे Soda'10 पेपर में हम मनमाने ढंग से node ग्राफ में के आकार के एक वर्चस्व वाले सेट को खोजने की अनिवार्य रूप से आइसोमॉर्फिक समस्या का अध्ययन करते हैं , जिसमें दिखाया गया है कि यदि condinating सेट को में हल किया जा सकता है कुछ और , फिर चर और समूहों पर CNF-SAT के लिए समय एल्गोरिथ्म है । $k$ $n$ $k$ $n^{k-\varepsilon}$ $k \geq 2$ $\varepsilon > 0$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$ $N$ $M$

एक सेट कवर उदाहरण में और एक हावी सेट उदाहरण में कोने के पड़ोस सेट के बीच संबंधों को ध्यान में रखते हुए, और कमी का निरीक्षण, तो आप पाएंगे कि इस कमी को भी शो को सुलझाने के साथ सेट कवर सेट आकार के एक ब्रह्मांड से अधिक में समय का अर्थ CNF-SAT एल्गोरिथ्म CNF फ़ार्मुलों के साथ क्लाज़ और चर में चल रहा है समय । स्ट्रॉन्ग ईटीएच के खंडन के प्रयोजनों के लिए, यह उस स्थिति में सीएनएफ-सैट को हल करने के लिए पर्याप्त है जहां । इसलिए में चल रही आपकी समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म $k$ $n$ $m$ $n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$ $M$ $N$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$ $M = O(N)$ $n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$ कुछ अनबाउंड फ़ंक्शन लिए समय एक आश्चर्यजनक नया सैट एल्गोरिथ्म पैदा करेगा। $\alpha(m)$

— रेयान विलियम्स
स्रोत