एक वास्तविक बहुपद के रूप में कम डिग्री के यादृच्छिक कार्य

वहाँ एक (उचित) जिस तरह से नमूने के लिए एक समान रूप से यादृच्छिक बूलियन समारोह है $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ जिसका डिग्री कोई वास्तविक बहुपद अधिक से अधिक है के रूप में $d$ ?

संपादित करें: निसान और Szegedy पता चला है कि डिग्री के एक समारोह $d$ ज्यादा से ज्यादा पर निर्भर करता है $d2^d$ निर्देशांक, इसलिए हम चाहते हैं कि मान सकते हैं $n \leq d2^d$ । जैसा कि मैं देख रहा हूं निम्नलिखित समस्याएं हैं: 1) एक तरफ अगर हम $d2^d$ निर्देशांक पर एक यादृच्छिक बूलियन फ़ंक्शन उठाते हैं , तो इसकी डिग्री करीब होगी $d2^d$ , तुलना में बहुत अधिक $d$ । 2) दूसरी ओर, यदि हम यादृच्छिक पर अधिकतम $d$ पर प्रत्येक गुणांक को उठाते हैं , तो फ़ंक्शन बूलियन नहीं होगा।

तो सवाल यह है: क्या इन दो समस्याओं से बचने के लिए कम डिग्री बूलियन फ़ंक्शन का नमूना लेने का एक तरीका है?

randomness boolean-functions bounded-degree

— इगोर शिनकर
स्रोत

आप वास्तविक समारोह डिग्री के एक वास्तविक बहुपद के प्रतिबंध होना चाहते हैं

d

$d$ 0-1 आदानों के लिए, या आप यह है कि हो सकता है करना चाहते हैं

f (x) = 1

$f(x) = 1$ iff

p (x) > 0

$p(x) > 0$ कुछ वास्तविक बहुपद के लिए

p

$p$ की अधिकतम

पर डिग्री

d

$d$ ? या कुछ और?

— जोशुआ ग्रोको

@JoshuaGrochow मैं एक ऐसा फंक्शन चाहता हूँ जिसके फूरियर विस्तार में डिग्री

d

$d$ । वह आपका पहला विकल्प है।

— इगोर शिनकर

आपका मॉडल क्या है? यदि आप फूरियर विस्तार को आउटपुट करना चाहते हैं , तो सैंपल फंक्शन को लिखने में

2^{n}

$2^n$ समय या

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$ लगता है। है

d

$d$ एक निश्चित निरंतर?

— एमसीएच

मैंने प्रश्न में कुछ और विवरण जोड़ दिए।

— इगोर शिंकर

@MCH यदि कोई फ़ंक्शन यदि डिग्री

d

$d$ (स्तर

ऊपर शून्य वजन के साथ

d

$d$ ) है, तो यह

d 2^{d}

$d2^d$ निर्देशांक से अधिक पर निर्भर नहीं कर सकता है । यह निसान और सज़ीदी के कारण परिणाम है।

के विशेष मामले के बारे में सोचें

d = 1

$d=1$ । इस मामले में हम जानते हैं कि फ़ंक्शन (अधिकतम) 1 पर निर्भर करता है।

— इगोर शिनकर

यहां एक एल्गोरिथ्म है जो तुच्छ प्रयासों को धड़कता है।

निम्नलिखित (ओडोनेल की पुस्तक में व्यायाम 1.12) एक ज्ञात तथ्य यह है: अगर $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ एक बूलियन समारोह जो डिग्री है $\le d$ एक बहुपद, तो हर फूरियर गुणांक के रूप में के $f$ , के एक पूर्णांक एकाधिक है । Cauchy-Schwarz और Parseval का उपयोग करने से यह पता चलता है कि अधिकांश नॉनज़ेरो फूरियर गुणांक और $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$ ।

यह एक नमूना विधि का सुझाव देता है -

यादृच्छिक गैर नकारात्मक पूर्णांक चुनें $a_S$ के लिए सभी सेट $S\subseteq[n]$ अधिक से अधिक आकार के $d$ , जो राशि अप करने के लिए $\le 4^d$ ।
चलो $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$ ।
सत्यापित करें कि $f$ बूलियन है। यदि हां, तो $f$ लौटें । और, वापस $1$ ।

ध्यान दें कि हर डिग्री के लिए $\le d$ बहुपद $f$ चरण 1 में यादृच्छिक पूर्णांकों की एक पसंद बहुपद $f$ उत्पन्न करेगा । एक विशिष्ट डिग्री प्राप्त होने की संभाव्यता $\le d$ बहुपद है इसलिए, हमें इस प्रक्रिया को अधिकांश बार, अपेक्षा में, रोकने से पहले दोहराना होगा ।

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$

यह दिखाता है कि चरण 3 कैसे प्रदर्शन करना है। को परिभाषित कर सकता है । जाँच करें कि (जिसे हर बूलियन फ़ंक्शन के लिए निसान-सेजेडी द्वारा पकड़ना चाहिए) और फिर में चर के लिए सभी संभावित असाइनमेंट पर मूल्यांकन करें । यह समय में किया जा सकता है । गुर और तमूज़ इस कार्य के लिए बहुत तेज़ रैंडमाइज्ड एल्गोरिथम पेश करते हैं, हालाँकि चूंकि यह हिस्सा समय की जटिलता पर हावी नहीं होता है इसलिए यह पर्याप्त है। $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ $|A| \le d 2^d$ $f$ $A$ $2^{d 2^d}$

कुल मिलाकर एल्गोरिथ्म समय में एक डिग्री बहुपद का यादृच्छिक नमूना उत्पन्न करता है । इस धारणा के तहत कि समय जटिलता । $\le d$ $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ $n \le d2^d$ $2^{O(d^2 4^d)}$

यह एक बहुपद समय नमूनाकरण एल्गोरिथ्म नहीं है, हालांकि यह बहुत तेज़ है तो पूरी तरह से यादृच्छिक फ़ंक्शन का नमूना ले रहा है (जिस स्थिति में विशिष्ट डिग्री बहुपद प्राप्त करने की संभावना 1/2 )। $\le d$ $1/2^{2^n}$

— अविषय ताल
स्रोत

अच्छा! वास्तव में यह एक एल्गोरिथ्म देता है जो व्हाट्सएप (wrt ) निर्देशांक की अधिकतम संभव संख्या को आउटपुट करता है जो कम डिग्री फ़ंक्शन पर निर्भर कर सकता है। बस पर्याप्त रूप से बड़े होने के लिए , कई फ़ंक्शन का नमूना लें, और प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए प्रभावशाली निर्देशांक की संख्या की गणना करें। अधिकतम उत्पादन जो आप देखते हैं।

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$

— इगोर शिनकर