मात्रा अनुमान के लिए प्रेरणा

Question

यादृच्छिक तरीके के तरीकों पर अधिक हाल के पत्रों में विचार किए गए प्रकार के उत्तल पॉलीहेड्रा की मात्रा का आकलन करने के लिए कुछ ठोस और सम्मोहक अनुप्रयोग क्या हैं?

वॉल्यूम आकलन पर इन पत्रों में एक प्रेरणा के रूप में संख्यात्मक एकीकरण का उल्लेख है। उन अभिन्नताओं के उदाहरण क्या हैं जो लोग व्यवहार में गणना करना चाहते हैं जो पिछले तरीकों का उपयोग करके गणना करना बहुत मुश्किल है? या 1000-आयामी पॉलीटॉप की मात्रा की गणना के लिए कुछ अन्य सम्मोहक व्यावहारिक अनुप्रयोग है?

Comments

मुझे आश्चर्य है कि यदि आप Phys.stackexchange.com पर उस प्रकार की अधिक प्रतिक्रियाएँ प्राप्त कर रहे हैं ... इसके अलावा, हम में से उन लोगों के लिए जो इस विशेष उप-क्षेत्र के सिद्धांत से परिचित नहीं हैं, क्या आप शायद कुछ संदर्भों को शामिल कर सकते हैं "रैंडम वॉक के तरीकों पर अधिक हाल के पेपर"?

— जोशुआ ग्रूको

उत्तर देने और चारों ओर हँसने के बाद इस पर अधिक सोच। कुछ कागजात इंगित करते हैं, या दिशा में जाते हैं, कि पॉलीटोप की मात्रा की गणना जटिलता सिद्धांत में एक मूलभूत समस्या की तरह है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि निर्धारक की गणना जटिलता सिद्धांत में एक और महत्वपूर्ण समस्या है, और निर्धारक एक समांतर कोश की मात्रा है। इसलिए एक उचित उत्तर यह प्रतीत होता है कि जटिलता सिद्धांत में गहरे या प्राकृतिक संबंध प्रतीत होते हैं। इसके अधिक प्रमाण कुछ विशिष्ट जटिलता वर्ग के लिए एक टाई होगा .... इस पर अधिक खुदाई हो सकती है ....

— vzn

जटिल पॉलीटॉप की मात्रा खोजने के लिए मैथोवेटफ्लो, एल्गोरिथ्म भी देखें । हाँ, यह प्रश्न अनुप्रयोगों के लिए पूछता है, एल्गोरिदम नहीं, लेकिन कुछ एल्गोरिथ्म के कागजात प्रेरणा / आवेदन देंगे।

— vzn

Answer 1

उत्तल पॉलीटॉप की मात्रा का अनुमान लगाना और इससे नमूना लेने के घनिष्ठ रूप से संबंधित कार्य का निजी डेटा रिलीज़ में अनुप्रयोग है।

मोटे तौर पर, आप जिस समस्या को हल करना चाहते हैं, वह है: एक डेटाबेस पर संख्यात्मक मूल्यवान प्रश्नों का एक संग्रह दिया गया है, उन प्रश्नों के उत्तर के साथ आते हैं जो अंतर गोपनीयता को संतुष्ट करते हुए वास्तविक उत्तरों के जितना करीब हो सके। कुछ मापदंडों में, इस समस्या को हल करने के लिए इष्टतम एल्गोरिदम में एक ज्यामितीय विवरण होता है, और इसे लागू करने में उत्तल उत्तल से नमूना शामिल होता है। यहां देखें: http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

Answer 2

पॉलीहेड्रा व्यापक रूप से सभी संभावित राज्यों के सेट (जहां एक राज्य का प्रतिनिधित्व करता है) का प्रतिनिधित्व करने के साधन के रूप में कार्यक्रम विश्लेषण में उपयोग किया जाता है, जहां एक राज्य कार्यक्रम में प्रत्येक चर का मूल्य रिकॉर्ड करता है। यदि प्रोग्राम चर के हमलावरों का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक को चर पर एक रैखिक असमानता के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो इन सभी आक्रमणकारियों के संयोजन से एक पॉलीहेड्रोन की पैदावार होती है। यदि प्रोग्राम की एक संभावित स्थिति है, तो s पॉलीहेड्रॉन के आंतरिक भाग में होगा (लेकिन जरूरी नहीं कि यह उल्टा हो)।$s$$s$

कंप्यूटर सुरक्षा में, मात्रात्मक सूचना प्रवाह पर काम ने इन विधियों को गोपनीय जानकारी की मात्रा का अनुमान लगाने के लिए लागू किया है जो किसी विशेष कार्यक्रम द्वारा लीक हो सकती हैं। यहां हम एक विशेष बिंदु पर कार्यक्रम के संभावित राज्यों का प्रतिनिधित्व करने वाले पॉलीहेड्रॉन का निर्माण इसके निष्पादन में करते हैं, और फिर हम संभावित राज्यों की संख्या के बारे में कुछ अनुमान लगाना चाहते हैं (यह जारी की गई जानकारी की मात्रा से संबंधित है)। इस प्रकार, विश्लेषण में एक निश्चित बिंदु पर, वे पॉलीहेड्रॉन के अंदर निहित पूर्णांक बिंदुओं की संख्या को गिनने की कोशिश करते हैं। यह वॉल्यूम आकलन (मेरे लिए) से संबंधित बदबू आ रही है।

यहाँ एक प्रारंभिक पेपर है जो प्रतिनिधि है:

• सूचना डिस्क के स्वचालित डिस्कवरी और मात्रा का ठहराव । माइकल बैक, बोरिस कोफ, एंड्रे रायबालचेंको। IEEE सुरक्षा और गोपनीयता 2009।

उस ने कहा, यह ठीक वैसा नहीं हो सकता जैसा तुम खोज रहे हो। इसे पॉलीहेड्रॉन के अंदर पूर्णांक बिंदुओं की संख्या की गणना करने के तरीकों की आवश्यकता होती है, जो पॉलीहेड्रोन की मात्रा के समान नहीं है। इसके अलावा, मुझे नहीं लगता कि उन्हें 1000 या अधिक आयामों के पॉलीहेड्रा का विश्लेषण करने की आवश्यकता है (हालांकि मुझे इस बारे में निश्चित नहीं है)।

Comments

धन्यवाद। रैखिक असमानताओं के एक सेट में पूर्णांक समाधानों की संख्या खोजने की समस्या # पी-पूर्ण मुझे लगता है ( math.ucdavis.edu/~deloera/RECENT_WORK/semesterberichte.pdf में कुछ और अनुप्रयोग भी हैं)। जबकि वॉल्यूम का आकलन पॉली टाइम में किया जा सकता है। आप स्पष्ट रूप से पूर्व का अनुमान लगाने के लिए उत्तरार्द्ध का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन मैं वास्तव में वॉल्यूम आकलन के प्रत्यक्ष ठोस अनुप्रयोगों की तलाश कर रहा हूं।

किसी पोलीटोप के आयतन की गणना करना भी # पी-हार्ड है। अपने आप में, यह तथ्य सन्निकटन के बारे में बहुत कम कहता है।

— साशो निकोलेव

$P\neq BPP$

@ टर्बो ने स्पष्ट रूप से यह साबित नहीं किया कि P BPP के बराबर नहीं है, क्योंकि ये दोनों कक्षाएं एक ओरेकल मॉडल के बारे में नहीं हैं। मेरा मानना ​​है कि असमानताओं द्वारा दर्शाए गए एक पोलितोप का आयतन निश्चित रूप से अनुमानित है।

— शाशो निकोलेव

@SashoNikolov यदि आपको यह सरल प्रतीत होता है कि समस्या अच्छी हो सकती है, तो यह अच्छा mathoverflow.net/questions/336369/… होगा ।

— टी ....

Answer 3

हरि नारायणन ने हाल ही में अर्क्सिव पर एक पेपर पोस्ट किया था जिसमें वह लिटिलवुड-रिचर्डसन (एलआर) गुणांक के बारे में कुछ परिणामों को साबित करने के लिए एक उत्तल पॉलीटॉप की मात्रा का अनुमान लगाते हैं। एलआर गुणांक प्रतिनिधित्व सिद्धांत में कुछ पूर्णांक हैं जो ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत, कण भौतिकी और कई अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं (अधिक संदर्भ के लिए उपरोक्त पेपर की शुरूआत देखें)। फिर, शायद वही नहीं जो आप चाहते थे, लेकिन फिर भी एक दिलचस्प कनेक्शन।

Answer 4

उदाहरण देखें: एन-डायमेंशनल वॉल्यूम अनुमान उत्तल निकायों का: आर्थिक पूर्वानुमान में उदाहरण / मामले के अध्ययन के लिए शर्मा, प्रसन्ना, असवाल द्वारा एल्गोरिदम और अनुप्रयोग , अर्थात आपूर्ति श्रृंखला प्रबंधन।

हमारे तरीकों का उपयोग सूचना सामग्री और अनिश्चितता को कम करने के लिए, एक मजबूत अनुकूलन ढांचे में, बाधा क्षेत्रों में किया जा सकता है। हम भविष्य की अनिश्चितता के तहत आपूर्ति श्रृंखला प्रबंधन में आवेदन दिखाते हैं।

मूल रूप से यह विचार है कि एक बहुवचन एक आपूर्ति श्रृंखला प्रबंधन विन्यास के मापदंडों के "भविष्य के परिदृश्य" को मॉडल कर सकता है। मॉडल / अनुमान में अनिश्चितता (या "त्रुटि") को पोलिटोप (एस) की मात्रा के आनुपातिक के रूप में लिया जाता है। स्लाइड देखें 3,4। यह तब अनुमति देता है:

• अनिश्चितता का मात्रात्मक अनुमान
• समकक्ष जानकारी की पीढ़ी
• क्या-अगर विश्लेषण में मदद करें

Comments

धन्यवाद। ये उदाहरण अच्छे हैं, लेकिन मुझे अभी भी विश्वास करना मुश्किल है कि वे वही हैं जो तब होता है जब लोग कहते हैं कि एक उच्च आयामी उत्तल शरीर की मात्रा का अनुमान लगाना मार्कोव चेन मोंटे कार्लो विधि के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक है।

उदाहरणों से सहमत हूँ कि स्लाइड "खिलौना आकार" है जहाँ तक # आयामों की है लेकिन शायद कुछ आपूर्ति श्रृंखला प्रबंधन समस्याओं के अभ्यास में बड़े आयाम हैं। शोध की यह पंक्ति मुझे यह भी बताती है कि इसके कुछ रूपों के लिए कुछ अनुप्रयोग हो सकते हैं।

— vzn

Answer 5

$B_n$$n$

फ्रांसिस्को एसकोनो, एडविन आर। हैनकॉक, मिगुएल ए। लोज़ानो, 2008 द्वारा बिरखॉफ़ पॉलीटोप , हीट कर्नेल और ग्राफ जटिलता