0-1 प्रोग्रामिंग के लिए सटीक घातीय समय एल्गोरिदम

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क्या निम्न समस्या के लिए ज्ञात एल्गोरिदम हैं जो भोली एल्गोरिथम को हराते हैं?

इनपुट: एक सिस्टम का असमानताओं रैखिक। $Ax \le b$ $m$

आउटपुट: एक संभव समाधान यदि कोई मौजूद है। $x^*\in \{0,1 \}^n$

मान लें कि और में पूर्णांक प्रविष्टियाँ हैं। मुझे सबसे बुरी स्थिति में दिलचस्पी है। $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

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यदि superlinear है, इस तरह के एक एल्गोरिथ्म मजबूत घातीय समय परिकल्पना खंडन होता है, के बाद से संयोजक सामान्य रूप में सूत्रों 0-1 प्रोग्रामिंग का एक विशेष मामला और Sparsification लेम्मा हैं हमें कम करने के लिए अनुमति देता है रैखिक कई खंड पर CNF-सैट को -SAT । $m$ $k$

हालांकि, इम्पैग्लियाज़ो, पटुरी, और खुद के कारण एक एल्गोरिथ्म है जो तारों की संख्या, यानी में नॉनज़ेरो गुणांक की संख्या रैखिक होने पर इस तरह की असमानताओं को हल कर सकता है। विशेष रूप से, यदि तारों की संख्या , तो एल्गोरिथ्म समय में चलता है , जहां $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ । $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— स्टीफन श्नाइडर
स्रोत

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यदि काफी छोटा है, तो आप भोले एल्गोरिदम से बेहतर कर सकते हैं, अर्थात, समय से बेहतर । यहाँ "छोटा पर्याप्त" का मतलब है कि कुछ तरह छोटा है । चलने का समय अभी भी घातीय होगा - उदाहरण के लिए, यह समय हो सकता है - लेकिन यह भोले एल्गोरिथ्म की तुलना में तेज़ होगा। $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

संयोग से, यह इस तरह दिखता है हमें की तुलना में तेजी में समस्या को हल करने की अनुमति नहीं है कुछ मामलों में जहां मैट्रिक्स के लिए समय प्रविष्टियों की एक सुपर रेखीय संख्या है। मुझे नहीं पता कि यहाँ दिए गए अन्य उत्तर के साथ इसे कैसे स्क्वायर किया जाए। नतीजतन, आपको मेरे जवाब को ध्यान से जांचना चाहिए: यह संकेत दे सकता है कि मैंने कहीं एक गंभीर गलती की है। $2^n$ $A$

बुनियादी दृष्टिकोण: लिखने है, जहां पहले रखती के घटकों और रखती पिछले घटकों; और इसी तरह , जहां में और के बाएं कॉलम हैं दाईं ओर $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ कॉलम। अब के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

या समकक्ष,

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

लिए सभी संभावनाओं की गणना करें , और को संभावित मानों के सेट को निरूपित करें, अर्थात, $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

अब समस्या बन जाती है

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
स्रोत

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मेरे उत्तर से एल्गोरिथ्म भी उसी विधि का उपयोग करके आपके उत्तर में वर्णित वेक्टर समस्या को कम करता है, अर्थात चर को विभाजित करें और उनके सभी असाइनमेंट को सूचीबद्ध करें।

— स्टीफन श्नाइडर

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2^{O (m)}

$2^{O(m)}$