जटिलता कम सीमा निर्धारित करने के लिए उन्नत तकनीक

Question

आप में से कुछ लोग इस प्रश्न का अनुसरण कर रहे होंगे , जो कि अनुसंधान स्तर नहीं होने के कारण बंद था। इसलिए, मैं उस प्रश्न का हिस्सा निकाल रहा हूं जो एक शोध स्तर पर है।

"सरल" तकनीकों से परे, जैसे कि छँटाई को कम करने या एक EXPTIME- पूर्ण समस्या के लिए, किसी समस्या के समय की जटिलता के लिए कम सीमा साबित करने के लिए किन तकनीकों का उपयोग किया गया है?

विशेष रूप से:

• पिछले दशक में विकसित की गई "अत्याधुनिक" तकनीकें क्या हैं?
• क्या अमूर्त बीजगणित, श्रेणी सिद्धांत, या आमतौर पर "शुद्ध" गणित की अन्य शाखाओं से तकनीकों को लागू किया जा सकता है? (उदाहरण के लिए, मैं अक्सर छंटाई की "बीजगणितीय संरचना" का उल्लेख सुनता हूं, इसका कोई वास्तविक विवरण के बिना इसका क्या मतलब है।)
• निचली-बाउंड जटिलता के लिए महत्वपूर्ण लेकिन कम-ज्ञात परिणाम क्या हैं?

Comments

क्या आप गणना कंप्यूटिंग समस्याओं, या वितरित कंप्यूटिंग, डेटा संरचनाओं, आदि सहित किसी भी चीज़ के लिए कम सीमा के लिए कम सीमा में रुचि रखते हैं?

— केवह

मैं मुख्य रूप से कार्यों की कंप्यूटिंग में दिलचस्पी रखता हूं। मुझे यकीन है कि एक बार जब आप समानांतर जाते हैं, तो यह मछली की पूरी तरह से अलग केतली होती है।

— २१'१३ को

वितरित समान नहीं है। :)

— केवले

सच सच। मेरा मतलब है, यह वह नहीं है जो मेरे मन में था, लेकिन ऐसा नहीं है कि मैं वितरित संगणना के उत्तरों के खिलाफ हूं।

— jmite

ज़रूर, मैंने सिर्फ इसलिए पूछा क्योंकि वितरित कंप्यूटिंग में कम बाध्य परिणाम हैं जो काफी उन्नत गणित का उपयोग करते हैं।

— केवह

Answer 1

बीजीय सर्किट के लिए कम सीमा

बीजीय परिपथों की स्थापना में, जहाँ परिपथ के आकार की एक निचली सीमा समय के साथ कम होती है, कई परिणाम ज्ञात होते हैं, लेकिन अधिक आधुनिक परिणामों में कुछ ही मुख्य तकनीकें होती हैं। मुझे पता है कि आपने समय सीमा कम करने के लिए कहा था, लेकिन मुझे लगता है कि कई मामलों में आशा है कि बीजीय निचली सीमाएं एक दिन बूलियन / ट्यूरिंग मशीन निचले सीमा तक ले जाएंगी। जैसे ही आप इसे डालते हैं, ये परिणाम अक्सर "शुद्ध गणित" से गहरी तकनीकों का उपयोग करते हैं।

I. डिग्री बाध्य है।

स्ट्रैसेन ने दिखाया कि एक निश्चित बीजीय विविधता की डिग्री का लॉग एक (फ़ंक्शन) (फ़ंक्शन) से जुड़ा है, जो उन कार्यों की गणना के बीजीय सर्किट आकार पर एक कम बाध्य है।

द्वितीय। कनेक्टेड घटक (या अधिक आम तौर पर किसी भी उच्च समरूपता समूह के आयाम)।

बेन-या ने दिखाया कि एक (अर्ध-बीजगणितीय) सेट में सदस्यता तय करने वाले एक वास्तविक बीजगणितीय निर्णय वृक्ष का आकार कम से कम जहां सी उस सेट के जुड़े घटकों की संख्या है। बेन या यह प्रयोग किया जाता है एक साबित करने के लिए Ω ( एन लॉग इन करें n ) (अच्छी तरह से, तत्व स्पष्टता, लेकिन तत्व स्पष्टता छँटाई करने के लिए कम कर देता है) छँटाई पर बाध्य वास्तविक बीजीय निर्णय वृक्ष मॉडल में कम। याओ Betti संख्या का योग से जुड़े घटकों से बढ़ाया और इष्टतम अन्य समस्याओं (जैसे के लिए सीमा को कम साबित कर दिया कश्मीर -equals))। एक अलग पेपर में याओ ने पूर्णांक के ऊपर बीजीय निर्णय पेड़ों के लिए इसे बढ़ाया।$\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$

तृतीय। आंशिक अवकलज।

यह आधुनिक बीजीय सर्किट कम सीमा के कई का कार्यक्षेत्र रहा है। मेरा मानना है कि आंशिक डेरिवेटिव पहले साबित करने के लिए एक Baur-Strassen, जहां वे पता चला है कि सभी कंप्यूटिंग के पहले partials से बंधे निचले इस्तेमाल किया गया आकार में किया जा सकता 5 रों जहां रों आकार गणना करने के लिए आवश्यक है च । बाध्य Strassen की डिग्री के साथ संयुक्त, यह दिया Ω ( एन लॉग इन करें n ) विभिन्न कार्यों, जो अभी भी एक स्पष्ट समारोह के लिए अप्रतिबंधित अंकगणित सर्किट के आकार पर सबसे मजबूत कम सीमा पर आकार कम सीमा।$f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

आंशिक डेरिवेटिव का अधिक हालिया उपयोग निसान के एक पेपर से उपजा है, जिसमें उन्होंने सभी आंशिक डेरिवेटिव के स्थान के आयाम पर विचार करके नॉनकम्यूटेटिव सर्किट पर कम सीमा साबित की है। इसका उपयोग निसान-विगडरसन द्वारा प्रतिबंधित प्रकार की गहराई -3 सर्किटों पर कम सीमा को साबित करने के लिए किया गया था, और इसी तरह के विचारों का उपयोग आरजे (और आरजे और सहयोगियों द्वारा संबंधित मॉडल) द्वारा मल्टीलाइनर फॉर्मूला आकार पर कम सीमा साबित करने के लिए किया गया था। गुप्ता, कयाल, कामथ, और सप्तऋषि द्वारा बहुत हालिया गहराई 4 और गहराई 3 निचले सीमाएं, इस विचार के एक सामान्यीकरण का उपयोग करती हैं, "शिफ्टेड आंशिक डेरिवेटिव" के स्थान के आयाम की गणना करने के लिए - जहां आप आंशिक डेरिवेटिव ले सकते हैं और फिर गुणा कर सकते हैं दी गई डिग्री के किसी भी मोनोमियल। ) "बस" permanental नाबालिगों द्वारा उत्पन्न आदर्श का एक बेहतर समझ हो रही की बात (उनके कागज के अंत में अनुमान देखें) हो सकता है।$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$

चतुर्थ। किस्मों के लिए परिभाषित समीकरण।

यहाँ विचार "आसान कार्यों" को एक निश्चित बीजीय विविधता के साथ जोड़ना है, इस विविधता पर गायब होने वाले समीकरणों को ढूंढें, और दिखाएं कि ये समीकरण आपके "कठिन कार्य" पर गायब नहीं होते हैं। (इसलिए यह साबित करना कि आपका कठिन कार्य आसान कार्यों की विविधता में नहीं है, ताकि यह वास्तव में कठिन हो।) विशेष रूप से मैट्रिक्स गुणा पर कम सीमा में उपयोगी है। लैंड्सबर्ग देखें - नवीनतम के लिए arXiv पर ओटावियानी, और पूर्व निचले सीमा के संदर्भ में।

(वास्तव में, I, II और III, सभी को कुछ किस्मों के परिभाषित समीकरणों को खोजने के विशेष मामलों के रूप में देखा जा सकता है, हालांकि I, II, III का उपयोग करने वाले प्रमाण अनिवार्य रूप से उस तरह से कभी नहीं बनाए जाते हैं, जैसा कि वास्तव में नहीं था करने की जरूरत है।)

वी। प्रतिनिधित्व सिद्धांत, esp। जैसा कि ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत में है।

दरअसल, लैंड्सबर्ग - ओटावियानी द्वारा एक निश्चित विविधता के लिए कुछ समीकरणों को खोजने के लिए भी उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, बर्गिसर-इकेनमेयर द्वारा मैट्रिक्स गुणन पर थोड़ा कमजोर कम बाध्यता का "शुद्ध रूप से" प्रतिनिधित्व-सिद्धांत का प्रमाण प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है। Mulmuley और Sohoni (सीएफ "ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत मैं और द्वितीय") द्वारा अनुमान लगाया को हल करने के लिए उपयोगी हो करने के लिए बनाम वी एन पी और अंत में एन पी बनाम पी / पी ओ एल वाई ।$\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

Comments

क्या आप को थोड़ा और विस्तृत कर सकते हैं ? $V$

— टी ....

@ जेएएस: इस बारे में कैसे? cstheory.stackexchange.com/a/17629/129

— जोशुआ ग्रूचो

Answer 2

केव ने धीरे से अपने उत्तर में सुझाव दिया कि मुझे कुछ कहना चाहिए। मेरे पास उत्तर की इस व्यापक व्यापक सूची में योगदान करने के लिए और कुछ नहीं है। मैं कुछ सामान्य शब्द जोड़ सकता हूं कि पिछले दस वर्षों में "संरचनात्मक जटिलता" कम सीमा कैसे विकसित हुई है। (मैं "संरचनात्मक जटिलता" नाम का उपयोग केवल बीजगणितीय, संचार जटिलता आदि से अलग करने के लिए करता हूं)

वर्तमान दृष्टिकोण अभी भी काफी हद तक विकर्ण पर आधारित है, और विशेष रूप से निम्नलिखित मूल प्रतिमान: निम्न सीमा के विपरीत मानकर शुरू करें। यह आपको कुछ समस्या के लिए एक अच्छा एल्गोरिथ्म देता है। विकर्णीकरण के आधार पर कुछ पदानुक्रम प्रमेय के विरोध के लिए उस एल्गोरिथ्म का उपयोग करने का प्रयास करें, जैसे समय पदानुक्रम या अंतरिक्ष पदानुक्रम। विकर्ण तर्क अकेले नए निचली सीमाओं को साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, विरोधाभासी नुस्खा प्राप्त करने के लिए अन्य अवयवों को मिश्रण में जोड़ा जाता है।

मुझे कहना चाहिए कि 70 और 80 के दशक के कई तर्कों को भी उपरोक्त पैटर्न का पालन करने के लिए कहा जा सकता है; प्राथमिक अंतर आजकल "अन्य अवयव" है - चुनने के लिए कई घटक हैं, और जिन तरीकों से अवयवों को लागू किया जा सकता है वे केवल आपकी स्वयं की रचनात्मकता से सीमित प्रतीत होते हैं। कभी-कभी, जब आप यह नहीं जानते कि किसी बेहतर रेसिपी को प्राप्त करने के लिए विशेष सामग्री को कैसे मिलाया जाए, लेकिन आप अच्छी तरह से समझते हैं कि वे कैसे मिश्रण कर सकते हैं , यह एक कंप्यूटर प्रोग्राम को कोड करने में मदद करता है जो आपके लिए नए व्यंजनों का सुझाव देता है।

$NEXP \not\subset ACC$

Answer 3

$\Omega(n \log n)$छँटाई के लिए कम बाध्य केवल तुलना आधारित छँटाई एल्गोरिदम के लिए काम करता है, इस प्रतिबंध के बिना और संगणना के अधिक सामान्य मॉडल में छँटाई को हल करना संभव हो सकता है, यहां तक ​​कि रैखिक समय भी। (नीचे जोश की टिप्पणी देखें।)

कम्प्यूटेशन (ट्यूरिंग मशीन और सर्किट) के अधिक सामान्य मॉडल के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में निचले सीमा को साबित करने के कुछ बुनियादी प्रत्यक्ष तरीके हैं।

I. गिनती:

विचार: हम बताते हैं कि एल्गोरिदम के और भी कार्य हैं।

Ex: ऐसे कार्य हैं जिनके लिए बहुत बड़े सर्किट की आवश्यकता होती है।

इस पद्धति के साथ समस्या यह है कि यह एक अस्तित्ववादी तर्क है और किसी भी स्पष्ट कार्य या समस्या की जटिलता पर कोई ऊपरी बाध्यता नहीं देता है।

द्वितीय। मिश्रित / बीजीय:

विचार: हम सर्किट का विश्लेषण करते हैं और बताते हैं कि उनके पास एक विशेष संपत्ति है, उदाहरण के लिए उनके द्वारा गणना किए गए कार्यों को गणितीय वस्तु के कुछ अच्छे वर्ग द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जबकि लक्ष्य फ़ंक्शन में वह संपत्ति नहीं है।

$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

इस पद्धति के साथ मुद्दा यह है कि व्यवहार में यह केवल कक्षाओं के विश्लेषण के लिए छोटे और अपेक्षाकृत आसान काम करता है। रज़बोरोव-रुडीच का प्राकृतिक सबूत बाधा भी है जो एक तरह से औपचारिकता करता है कि स्वयं द्वारा सरल गुण अधिक सामान्य सर्किट कम सीमा साबित करने के लिए पर्याप्त होने की संभावना नहीं है।

रेज़बोरोव का पेपर " सन्निकटन की विधि पर " का तर्क है कि एक अर्थ में कम सीमा साबित करने के लिए सन्निकटन विधि पूरी हो गई है।

तृतीय। विकर्णन:

विचार। हम छोटी कक्षा में कार्यों के खिलाफ विकर्ण करते हैं। विचार गोडेल (और यहां तक ​​कि कैंटर) पर वापस चला जाता है।

पूर्व। समय पदानुक्रम प्रमेय , अंतरिक्ष पदानुक्रम प्रमेय , आदि।

$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

हमारे पास रिलेटिवाइजेशन बैरियर (बैकर, गिल, और सोलोवे पर वापस जाना) और बीजगणित बाधा (आरोनसन और विगडरसन द्वारा) है जो बताता है कि विशेष प्रकार के विकर्ण तर्क अन्य सेटिंग्स पर स्थानांतरित होंगे जहां परिणाम काफी गलत है।

ध्यान दें कि ये अवरोध अधिक सामान्य विकर्ण तर्क पर लागू नहीं होते हैं। वास्तव में, डेक्सटर कोजेन के पेपर " सबरक्सेसिव क्लासेस की अनुक्रमणिका " द्वारा, निम्न सीमाओं को साबित करने के लिए विकर्णण पूर्ण हो गया है।

जैसा कि आपने शायद देखा है, एक जटिलता वर्ग के लिए अच्छे सार्वभौमिक सिमुलेटर खोजने और उस जटिलता वर्ग को बड़ी कक्षाओं से अलग करने (एक औपचारिक बयान कोजेन के पेपर को देखने) के बीच एक मजबूत संबंध है।

हाल ही का काम

हाल के अग्रिमों के लिए, रयान विलियम्स हाल के कागजात की जांच करें । मैं इस जवाब में उनकी चर्चा नहीं करता क्योंकि मुझे उम्मीद है कि रेयान खुद एक जवाब लिखेंगे।

Comments

$n \log n$$O(n)$

हर निचली सीमा केवल संगणना के एक विशेष मॉडल में काम करती है, न कि छंटाई की गई निचली सीमा से। ट्यूरिंग मशीन और बूलियन सर्किट भी गणना के मॉडल हैं।

— जेफ ε

@ J @ ɛ E, मुझे लगता है कि मेरे उत्तर के पहले वाक्य में निहित है लेकिन मैं इसे स्पष्ट कर दूंगा।

— केवह

मुझे लगता है कि यह बात स्पष्ट होनी चाहिए। यह अक्सर नजरअंदाज कर दिया जाता है।

— जेफ

Answer 4

बीजगणितीय निर्णय वृक्ष

यह एक हालिया तकनीक नहीं है, लेकिन एक है जो कुछ समस्याओं के लिए काफी शक्तिशाली है।

$n$$d$

• $v$$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• $-1$$0$$+1$

• $\{1,2,\dots,n\}$

$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

$\Omega(n^d)$

$\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$$\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$$(dt)^{O(n)}$

$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

$n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

$\Omega(n\log n)$

$R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

$n^{O(n)}$$n\log n$

$\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$क्वेरी बहुपद; यह निर्माण समय निचली सीमा वाले मॉडल में निःशुल्क है।

दोहरे-नकारात्मक परिणामों के लिए हुर्रे!

Answer 5

मणींद्र अग्रवाल के पास एक अच्छा पेपर है "प्रोसिडिंग लोअर बाउंड्स थ्रू प्यूसोर्गेनेग्रम जेनरेटर"। यह कम सीमा साबित करने के लिए दौड़ में एक "अंधेरा घोड़ा" माना जा सकता है लेकिन कागज दिलचस्प है।

Comments

क्या आप अपना उत्तर स्व-निहित बनाने के लिए कुछ और विवरण दे सकते हैं?

— जेफ़ '

@ जेफे: मैं एक गॉडल पुरस्कार विजेता द्वारा लिखे गए कागज़ पर एक कैप्सूल सारांश लिखने की कोशिश करने का सपना नहीं देखूँगा, लेकिन मैं कोशिश करूँगा और आपको एक बेहतर करूँगा। मैं श्री अग्रवाल को ईमेल करूंगा और देखूंगा कि क्या वह यहां टिप्पणी करना चाहते हैं, उनके पास नई अंतर्दृष्टि हो सकती है, क्योंकि उन्हें लगता है कि पीआरजी के कैन / का उपयोग कम सीमाओं को साबित करने के लिए नहीं किया जा सकता है।

— विलियम हर्ड

रैखिक प्रतिक्रिया पारी रजिस्टरों के आधार पर प्यूसोर्डेनेज़्म जनरेटर ने बीजीय गुणों का अच्छी तरह से अध्ययन किया है। यह दिखाने के लिए ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत का उपयोग करना संभव हो सकता है कि कुछ जनरेटर अगले-अप्रत्याशित है और श्री अग्रवाल के अनुसार, इस तरह के एक मजबूत psuedorandom जनरेटर आप एक कम बाध्य दे देंगे।

— विलियम हर्ड

Answer 6

यह एक 32p सर्वेक्षण है जो सिर्फ सर्किट कम सीमा कोण पर ध्यान केंद्रित करने वाले विषय पर दिखाई दिया (यहां अन्य उत्तरों के साथ सामग्री में मजबूत ओवरलैप है)।

• ओलिवेरा द्वारा सर्किट बनाम निचली सीमा के एल्गोरिदम

विभिन्न तकनीकों का उपयोग रूप में "सर्किट क्लास सी उपज सर्किट कम सी के खिलाफ सीमा" के लिए प्रपत्र के कई संक्रमण प्रमेयों को साबित करने के लिए किया गया है। इस सर्वेक्षण में हम इनमें से कई परिणामों का पुनरीक्षण करते हैं। हम चर्चा करते हैं कि सर्किट कम सीमा को आरेख, संपीड़न, सीखने, और संतोषजनक एल्गोरिदम से कैसे प्राप्त किया जा सकता है। हम सर्किट कम सीमा और उपयोगी गुणों के बीच संबंध को भी कवर करते हैं, एक धारणा जो इन संक्रमण प्रमेयों के संदर्भ में मौलिक हो जाती है। जिस तरह से, हम कुछ नए परिणाम प्राप्त करते हैं, कई प्रमाणों को सरल करते हैं, और विभिन्न रूपरेखाओं से जुड़े कनेक्शन दिखाते हैं। हमें उम्मीद है कि हमारी प्रस्तुति इस क्षेत्र में अनुसंधान को आगे बढ़ाने में रुचि रखने वालों के लिए एक आत्म-निहित परिचय के रूप में काम करेगी।

Comments

कुछ हद तक इसी तरह का सर्वेक्षण / सर्वेक्षण: विडंबना की जटिलता: संतोषम एल्गोरिदम और संथानम द्वारा निम्न सीमा , BEATCS # 106

— vzn