बहुपत्नी की जड़ें

Question

पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की सभी पूर्णांक जड़ों को खोजने के लिए हम किस एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं ?$f(x)$

मैं देखता हूं कि ऋषि कुछ सेकंड के भीतर जड़ों को पा सकते हैं, तब भी जब सभी गुणांक बहुत बड़े होते हैं। यह कैसे करने में सक्षम है?$f(x)$

Comments

क्या आप किसी दिए गए बहुपद के पूर्णांक मूल को वापस करने के लिए एक एल्गोरिथ्म की तलाश कर रहे हैं? यदि हाँ, तो यह स्पष्ट नहीं है और यहाँ प्रश्न ऑफ टॉपिक है। आप इसे Computer Science पर पूछ सकते हैं जिसका व्यापक दायरा है।

— केवह

रुको। असंदिग्ध होना प्रश्न को विषय क्यों बनाता है? यह एक वैध शोध-स्तरीय प्रश्न है।

— जेफ

तो, ऋषि यह कैसे करता है? अनिर्वचनीय होने के नाते - यहां तक ​​कि अनिर्दिष्ट होने के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है - समस्या को सैद्धांतिक रूप से निर्बाध नहीं बनाता है। सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक हर समय अवांछनीय समस्याओं को हल करते हैं - उदाहरण के लिए, कंप्यूटर-सहायता प्राप्त सत्यापन के सभी।

— जेफ

कवी, आप जो कह रहे हैं, वह सच नहीं है। जो अवर्णनीय है वह कई चरों के साथ डायोफैंटाइन समीकरणों की विलेयता है (ताकि आसानी से असीम रूप से कई वास्तविक समाधान हों और एक पूर्णांक / परिमेय खोज हो)। लेकिन यह प्रश्न एक यूनी-वैरिएंट बहुपद , जो निश्चित रूप से निर्णायक है (यदि डिग्री , तो जड़ तक हैं और कोई भी जाँच सकता है कि कौन सा पूर्णांक है)। f ( x ) d $f(x)$$f(x)$$d$$d$

— महदी चेरघची

@Pratik आपको यूनीवार्ता मामले में गॉर्नर बेस की आवश्यकता नहीं है।

— युवल फिल्मस

Answer 1

यह मानते हुए कि के गुणांक पूर्णांक या परिमेय हैं और आप पूर्णांक जड़ें चाहते हैं, सरलतम तरीका पूर्णांक या परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करना है। देखें http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem DW के अनुसार, यह समस्याग्रस्त हो सकता है यदि लगातार गुणांक कारक के लिए कठिन है (यह भी देखें https://math.stackexchange.com/questure/123018/polynomial- और पूर्णांक-जड़ें )$f$

किसी भी मामले में, ऋषि प्रलेखन स्पष्ट रूप से बताता है कि वे रूट खोज कैसे कर रहे हैं: "अगली विधि, जिसका उपयोग यदि K एक अभिन्न डोमेन है, तो बहुपद को कारक करने का प्रयास करना है। यदि यह सफल होता है, तो प्रत्येक डिग्री-एक के लिए। फ़ैक्टर * x + b, हम -b / a रूट के रूप में जोड़ते हैं (जब तक यह भागफल वास्तव में वांछित रिंग में है)। " Http://www.sagemath.org/doc/reference/polynomial_rings/sage/rings/polynomial/polynomial_element.html देखें ।

तो आपका सवाल बन जाता है कि वे पूर्णांक गुणांक वाले बहुपत्नी कारक को कुशलतापूर्वक कैसे बनाते हैं? जाहिरा तौर पर, ऋषि ऐसा करने के लिए NTL को बुला रहा है ( NTL विवरण के लिए http://www.shoup.net/ntl/doc/ZZXFactoring.txt देखें)।

यदि आप एक विषम रूप से कुशल विधि चाहते हैं, तो आप लेनस्ट्रा, लेनस्ट्रा और लोवाज़ की विधि ( https://openaccess.leidenuniv.nl/handle/1887/3810 ) का उल्लेख कर सकते हैं ।

Comments

उपयोगी संकेत के लिए धन्यवाद! चित्त आकर्षण करनेवाला। हो सकता है कि आप अपने उत्तर को एक एल्गोरिदम में बदलने के बारे में विस्तार से बताने के लिए तैयार हों, और इसके चलने का समय क्या है? क्या सबसे खराब स्थिति में चलने वाला समय घातांक है (क्योंकि यह कारक के लिए उपप्रोनोफेशनल समय ले सकता है, और फिर अग्रणी और अनुगामी गुणांक के घातीय रूप से कई विभाजक हो सकते हैं)? यदि हां, तो क्या बेहतर एल्गोरिदम हैं, या क्या यह सबसे अच्छा है जो कर सकता है? इसके अलावा, क्या यह दृष्टिकोण केवल तर्कसंगत जड़ों को नहीं ढूंढता है, लेकिन तर्कहीन जड़ों को नहीं?

— डीडब्ल्यू

प्रश्न का पुन: निर्धारण करना और यह देखना कि आप इसकी अलग तरह से व्याख्या करते हैं, मैं अब पूरी तरह से निश्चित नहीं हूं, लेकिन यह मुझे और कुछ टिप्पणीकारों को स्पष्ट लग रहा था कि प्रश्न पूर्णांक जड़ों के बारे में पूछता है। क्या आप इसे इस तरह से नहीं पढ़ते हैं?

— मीनार

@minar, आप सही हैं। अब जब मैं प्रश्न को फिर से पढ़ता हूं, तो ऐसा लगता है। मैंने प्रश्न को बहुत जल्दी पढ़ा होगा। (मैंने शुरू में इस सवाल का गलत अर्थ निकाला था कि हम पूर्णांक गुणांक वाले एक बहुपद की सभी जड़ों को चाहते हैं, लेकिन प्रश्न को फिर से पढ़ने पर, यह गलत व्याख्या की तरह लगता है।)

— DW

एक asymptotically और व्यावहारिक रूप से कुशल विधि के लिए, सबसे प्रसिद्ध एल्गोरिथ्म वैन होइज ( यहाँ देखें ) है। दरअसल, एनटीएल इसका इस्तेमाल करती दिख रही है।

— ब्रूनो