ग्राफ कक्षाएं जिनके लिए व्यास की गणना रैखिक समय में की जा सकती है

Question

याद व्यास एक ग्राफ के में एक लंबे समय तक कम से कम पथ की लंबाई है । ग्राफ को देखते हुए, कंप्यूटिंग के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म सभी जोड़े की सबसे छोटी पथ समस्या (एपीएसपी) को हल करता है और सबसे लंबे समय तक पाए गए पथ की लंबाई लौटाता है।$G$$G$$\text{diam}(G)$

यह ज्ञात है कि APSP समस्या को कई ग्राफ वर्गों के लिए इष्टतम समय में हल किया जा सकता है । सामान्य रेखांकन के लिए, समय में, जहाँ मैट्रिक्स गुणन के लिए बाध्य है , में एक बीजगणितीय ग्राफ़ थ्योरेटिक दृष्टिकोण चल रहा है । हालाँकि, व्यास की गणना जाहिरा तौर पर गंभीर रूप से एपीएसपी से जुड़ी नहीं है, जैसा कि यस्टर द्वारा दिखाया गया है ।$O(n^2)$$O(M(n) \log n)$$M(n)$

क्या कुछ गैर-तुच्छ ग्राफ वर्ग ज्ञात हैं जिनके लिए व्यास की गणना तेजी से की जा सकती है, रैखिक समय में कह सकते हैं?

मुझे विशेष रूप से कॉर्डल ग्राफ़, और कॉर्ड ग्राफ़ के किसी भी उपवर्ग जैसे ब्लॉक ग्राफ़ में दिलचस्पी है। उदाहरण के लिए, मुझे लगता है कि एक कॉर्डल ग्राफ का व्यास समय में गणना की जा सकती है , अगर एक विशिष्ट वृक्ष के रूप में विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं। इस तरह के ग्राफ को उर-कोरडल के रूप में भी जाना जाता है ।$G$$O(n+m)$$G$

Comments

व्यास की गणना के लिए, एक बार गुच्छेदार वृक्ष दिए जाने पर, कोर्डल ग्राफ वृक्षों के समान व्यवहार करते हैं (लगभग)। इसी तरह, एक अंतराल ग्राफ में, एक हावी जोड़ी (जो किसी भी एटी-फ्री ग्राफ़ में मौजूद है) आवश्यक रूप से व्यास का फैसला करती है।

— यिक्सिन काओ

@YixinCao लेकिन सामान्य तौर पर, एक कॉर्ड ग्राफ में अलग-अलग क्लिच पेड़ों की संख्या वर्टिकल की संख्या में घातीय हो सकती है। Futhermore, मुझे नहीं लगता कि व्यास हर क्लिच ट्री में समान है। मुझे लगता है कि यह एक समस्या है, लेकिन उर-कोरडल ग्राफ में क्लिक् ट्री का व्यास असंदिग्ध है। क्या आपके मन में कुछ और था?

— जुहो

मैं यह नहीं कह रहा कि कॉर्डल ग्राफ का व्यास उसके क्लिक् ट्री जैसा ही है। ( शीर्षकों के एक स्टार में एक क्लिक ट्री हो सकता है जो नोड्स का एक मार्ग है ।) मेरा मतलब है कि ग्राफ का व्यास कुछ जोड़े पत्तियों (किसी भी सरल वर्टेक्स) के बीच के क्लिच ट्री में होना चाहिए। $k+1$$k$

— यिक्सिन काओ

@YixinCao ठीक है, अब मैं बेहतर समझता हूं। फिर भी, एक (तेज) एल्गोरिथ्म अभी भी मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। यदि आपके पास कोई अतिरिक्त विवरण या संदर्भ है, तो कृपया स्वतंत्र महसूस करें!

— जुहो

Answer 1

एक शीर्ष की सनक एक सबसे लंबे समय तक कम से कम पथ से शुरू की लंबाई है । व्यास सभी लंबों पर अधिकतम विलक्षणता है। एक शीर्ष से कोई भी BFS अपनी विलक्षणता स्थापित करेगा। कुशल व्यास खोजने के लिए एक महत्वपूर्ण विचार यह है कि ग्राफ को पूर्व-रेखाओं के छोटे सेट को खोजने के लिए पूर्वप्रक्रमित किया जाए, जिसमें से कम से कम एक अधिकतम विलक्षणता प्राप्त करता है।$v$$v$

एक लेक्सिकोग्राफिक चौड़ाई-पहली खोज को चलाने के लिए , अंत-शीर्ष अक्सर उच्च सनकी होता है। विशेष रूप से, यह कोरल ग्राफ़ के लिए व्यास से कम से कम एक पर सनकी होने की गारंटी है। कॉर्डल ग्राफ़ के कुछ उपवर्गों जैसे अंतराल ग्राफ़ के लिए , यह अधिकतम विलक्षणता की गारंटी है। यह कुछ गैर-कॉर्डल वर्गों जैसे -free रेखांकन के लिए भी है।$\{\text{AT},\text{claw}\}$

LBFS और BFS दोनों ग्राफ़ के आकार में रैखिक हैं, लेकिन निश्चित रूप से यदि (जैसे ) तो रनटाइम । आपकी चर्चा का तात्पर्य है कि आप वास्तव में बजाय एक रेखीय एल्गोरिथ्म ।$m = \Omega(n^2)$$K_n$$o(n^2)$$O(m+n)$$o(n^2)$

तो कॉर्डल ग्राफ़ के कुछ उपवर्गों के लिए, एक रैखिक एल्गोरिथ्म LBFS चलाने के लिए है, एंड-वर्टेक्स को लें, फिर उस शीर्ष पर शुरू होने वाले BFS को चलाएं। कॉर्डल ग्राफ़ के लिए यह व्यास को कम से कम 1 की त्रुटि के साथ निर्धारित करेगा। जिन ग्राफ़ों के लिए यह सटीक लगता है वे हैं जहाँ सम शक्तियाँ कॉर्डल हैं। ये ठीक वे कॉर्डल ग्राफ हैं जिनमें कोई उगता सूरज या सबग्राफ होता है जो दूरियों को करता है।$(\text{rising sun}- K_2)$

_{(स्रोत: graphclasses.org )}

• Feodor F. Dragan, Falk Nicolai and Andreas Brandstädt, LexBFS-orderings and graphs की शक्तियाँ , WG 1996, LNCS 1197, 166-180। डोई: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

मुझे नहीं पता है कि क्या इसे सभी कॉर्डल ग्राफ़ के व्यास को गणना करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। कॉर्नील के सर्वेक्षण से लगता है कि यह 2004 में अभी भी खुला था। मुझे यह भी नहीं पता है कि एक खोज को एक शीर्ष से एक छोटी स्थिर संख्या या शुरुआत के लिए खोज का विस्तार करने पर किया गया है ; यह पता लगाने के लिए दिलचस्प हो सकता है।$\log n$

• डेरेक जी। कॉर्नेल, लेक्सिकोग्राफ़िक चौड़ाई पहली खोज - एक सर्वेक्षण , डब्ल्यूजी 2004, एलएनसीएस 3353, 1-19। doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

Comments

दिलचस्प है, धन्यवाद! और हाँ, मेरा मतलब बजाय । इस समय मुझे जिन रेखांकन की परवाह है, उनमें से किसी भी उल्लेखित उपसमूह में नहीं है, इसलिए यह वास्तव में अच्छा है। o ( n 2$O(n+m)$$o(n^2)$

— जुहो

Answer 2

प्रश्न में उल्लिखित ब्लॉक ग्राफ दूरी-वंशानुगत हैं। दूरी-वंशानुगत रेखांकन के लिए व्यास की गणना के लिए एक रैखिक समय एल्गोरिथ्म [1] में दिया गया है (देखें प्रमेय 5)।

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[१] ड्रेगन, फोडोर एफ। दूरी-वंशानुगत रेखांकन में गुच्छों को चिन्हित करना। स्प्रिंगर बर्लिन हीडलबर्ग, 1994।