बहुपद Hirsch अनुमान के लिए एक संयोजन संस्करण

Question

पर विचार करें {1,2, ..., n}, के सबसेट के संबंध तोड़ना परिवारों एफ 1 , एफ 2 , ... एफ टी ।$t$${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

मान लो कि

(*)

हर के लिए और हर आर ∈ एफ मैं , और टी ∈ एफ कश्मीर , वहाँ है एस ∈ एफ जे जिसमें आर ∩ टी ।$i \lt j \lt k$$R \in {\cal F}_i$$T \in {\cal F}_k$$S \in {\cal F}_j$$R \cap T$

मूल प्रश्न है:

T कितना बड़ा हो सकता है ???

---

क्या जाना जाता है

सबसे अच्छा ज्ञात ऊपरी बाध्य अर्ध बहुपद है ।$t \le n^{\log n+1}$

सबसे अच्छा ज्ञात कम बाउंड है (एक लघुगणक कारक तक) द्विघात।

यह अमूर्त सेटिंग पॉलीहेड्रा के पेपर डायमीटर: द लिमिट्स ऑफ एब्स्ट्रेक्शन फ्राइड्रिच ईसेनब्रांड, निकोलाई हैनहेल, साशा रज़ोरोव और थॉमस रोथवॉस द्वारा ली गई है । द्विघातीय निचली सीमा और साथ ही ऊपरी बंध का प्रमाण उनके कागज में पाया जा सकता है।

प्रेरणा

प्रत्येक ऊपरी बाउंड n पहलुओं के साथ डी-आयामी पॉलीटोप के ग्राफ़ के व्यास पर लागू होगा। हर शिखर को यह सहयोगी को देखने के लिए सेट एस वी यह युक्त पहलुओं के। फिर एक वर्टेक्स w से शुरू करते हुए F r को w से दूरी r + 1 के पोलीटोप के कोने के अनुरूप सेट करते हैं ।$v$$S_v$$w$${\cal F}_r$$r+1$$w$

अधिक

यह समस्या पोलीमैथ 3 का विषय है । लेकिन मुझे लगा कि इसे यहां पेश करना उपयोगी हो सकता है और एमओ के बावजूद यह एक खुली समस्या है। यदि परियोजना विशिष्ट उपप्रणालियों I (या अन्य) को ले जाएगी तो वे उनसे भी पूछ सकते हैं।

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(अपडेट; अक्टूबर ५ :) एक विशेष समस्या जो विशेष रुचि की है, वह है आकार d के सेट पर ध्यान देना। जब सभी परिवारों में सभी सेटों का आकार d हो, तो f (d, n) को t का अधिकतम मान दें। जब हम आकार d के मल्टीसेट की अनुमति देते हैं तो f * (d, n) को अधिकतम मान दें। एफ * (3, एन) को समझना महत्वपूर्ण हो सकता है।

समस्या: क्या f * (3, n) 3n या 4n की तरह व्यवहार करता है?

ज्ञात निचले और ऊपरी सीमा क्रमशः 3n-2 और 4n-1 हैं। और 3 चूंकि अनुक्रम 'd' का भिखारी है, जबकि 4 अनुक्रम का आरंभ है, यदि यह निर्णय लिया जाए कि सत्य 3 या 4 है तो महत्व का होना चाहिए। दूसरा धागा देखें ।$2^{d-1}$

Comments

हिर्श अनुमान, विकिपीडिया

— vzn

ऐसा लगता है कि इस अनुमान के साथ बहुत परीक्षण योग्य होगा और शायद यह भी एक मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके कम्प्यूटेशनल / अनुभवजन्य / प्रयोगात्मक दृष्टिकोण के लिए अतिसंवेदनशील है। किसी ने कोशिश की है कि?

— vzn

अपने नए इनाम के कारण "वर्तमान उत्तर पुराने हैं और हाल के परिवर्तनों को देखते हुए संशोधन की आवश्यकता है" ऐसा लगता है जैसे आपके मन में कुछ विशेष है ...? इस 2013 के पेपर हाल ही में सैंटोस द्वारा पॉलीहेड्रा और सरलीकृत परिसरों के व्यास पर प्रगति कहते हैं कि हिर्श अनुमान "अब अव्यवस्थित है"।

— vzn

प्रिय vzn, यह एक प्रकार का मजाक था: वर्तमान उत्तरों पर कोई भी कथन सही है कि कोई उत्तर नहीं हैं।

— गिल कालई

Answer 1

मेरे और मेरे एक दोस्त ने जानवर-बल विधि की कोशिश करने और n और d के छोटे मूल्यों के लिए कुछ मूल्यों की गणना करने का फैसला किया है । छंटाई को नियोजित किए बिना यह पूरी तरह से असंभव है, और हम आशा करते हैं कि हमने जो चालें पाई हैं, वे बाकी समस्या में कुछ अंतर्दृष्टि देंगे। अब तक, हम ब्रूट फोर्स विधि के दोहरे-घातीय रनिंग समय को काफी नीचे लाने में कामयाब नहीं हुए हैं (लगभग 3 2 एन हमारी अब तक की सबसे अच्छी बाध्यता है) और इसलिए हम अभी तक किसी भी तरह से फ़ंक्शन के पीछे की भविष्यवाणी करने के अपने मूल लक्ष्य तक नहीं पहुंच पाए हैं। $t$$n$$d$$3^{2^n}$$f$इसके पहले कुछ मूल्यों से। हमने पिछले थ्रेड्स की सभी टिप्पणियों का विस्तार से अध्ययन नहीं किया है, इसलिए इनमें से कुछ को पहले से ही जाना जा सकता है - हम मूल रूप से अपने कोड को तेजी से बनाने में मज़ेदार थे और अपने परिणामों को कहीं और पोस्ट करना चाहते थे, अगर मेरे पास एक कार्यशील एलईटीएक्स वातावरण होता तो मैं होता इसे ArXiV पर रखें।

कोड (यह बिल्कुल उत्पादन कोड नहीं है ...): http://pastebin.com/bSetW8JS । मान:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$A \in {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

$\sim$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$। आगामी गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म तो स्पष्ट है। समतुल्यता वर्गों की संख्या (उपरोक्त दो संचालन के समय के साथ) तब स्पष्ट गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म के चल रहे समय पर एक बाध्यता देता है।

$A$$\{ 1, \dots, n \}$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$$1 \leq i \leq j \leq n$$(i, j)$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$B$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$(i, j)$$j < t - 1$$A$$\sim$$B$$C \in {\cal F}_t$$D \in {\cal F}_{t+1}$$B \cap C \subseteq D$$3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$${1, \dots, i}$${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$${\cal F}_{t-1}$${\cal F}_t$${\cal F}_3$ अधिक कठोर बचत हो सकती है।