घातीय कार्य की जटिलता

हम जानते हैं कि घातीय फ़ंक्शन प्राकृतिक संख्याओं से अधिक बहुपद समय में गणना योग्य नहीं है, क्योंकि आउटपुट का आकार इनपुट के आकार में बहुपद नहीं है। $\exp(x,y) = x^y$

क्या यह घातीय फ़ंक्शन की गणना करने में कठिनाई का मुख्य कारण है, या इस विचार से स्वतंत्र रूप से गणना करना मुश्किल है?

घातीय फलन के बिट ग्राफ की जटिलता क्या है?
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— पीटर
स्रोत

मैंने धारणा "EXP" को "L" में बदल दिया, क्योंकि EXP एक प्रसिद्ध जटिलता वर्ग का नाम है, और इससे भ्रम पैदा हो सकता है।

— एमएस डौस्ती

यदि 2 के एक शक्ति के लिए प्रतिबंधित है, तो है । इसके अलावा घातांक का ग्राफ में कम जटिलता है।

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— केव

सादिक: अगर आप जटिलता की कक्षाओं से बचना चाहते हैं, तो L किसी भी तरह से EXP से बेहतर नहीं है ... इसे X में बदल दिया।

— पीटर

@ पेटर: संदर्भ में, एल निश्चित रूप से लॉग-स्पेस जटिलता वर्ग के बजाय एक "भाषा" है। वैसे भी, एक्स ज्यादा बेहतर विकल्प है।

— बजे एमएस डौस्ती

@Kaveh: प्रश्न में कहा गया है कि यह प्राकृतिक संख्याओं पर घातांक कार्य के बारे में है।

— त्सुयोशी इतो

जवाबों:

यहाँ कुछ ऊपरी सीमाएँ हैं।

बार-बार स्क्वैरिंग करने से समस्या PSPACE में है।

थोड़ी बेहतर ऊपरी सीमा है। 0 और इसके अलावा, घटाव और गुणा के साथ 1 से शुरू एक सरल-रेखा कार्यक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने को देखते हुए: समस्या BitSLP समस्या का एक विशेष मामला है एन , और दिया मैं , ∈ℕ तय मैं वें बिट (से गिनती N के द्विआधारी प्रतिनिधित्व का कम से कम महत्वपूर्ण बिट 1. है। बिटएसएलपी समस्या गिनती पदानुक्रम ( CH ) [ABKM09] में है। (यह [ABKM09] में कहा गया है कि यह दिखाया जा सकता है कि बिटएसएलपी समस्या PH ^{PP ^{PP ^{PP ^{PP में है}}}} ।)

CH की सदस्यता अक्सर एक प्रमाण के रूप में मानी जाती है कि समस्या PSPACE- हार्ड होने की संभावना नहीं है, क्योंकि समानता CH = PSPACE का अर्थ है कि गिनती पदानुक्रम ढह जाती है। हालांकि, मुझे नहीं पता कि यह सबूत कितना मजबूत माना जाता है।

जैसा कि कठोरता के लिए, BitSLP को एक ही पेपर [ABKM09] में # P-hard दिखाया गया है। हालाँकि, इस सवाल में भाषा X की कठोरता का कोई सबूत नहीं है ।

संदर्भ

[एबीकेएम ० ९] एरिक एलेन्डर, पीटर बर्गिससर, जोहान केजल्डगार्ड-पेडर्सन और पीटर ब्रो मिल्टरसेन। संख्यात्मक विश्लेषण की जटिलता पर। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल , 38 (5): 1987-2006, जनवरी 2009। http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

पूर्ण उत्तर नहीं, लेकिन कम से कम एक आंशिक।

$O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

$c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$ गुणा।

$x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

$x^y$

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

इस उत्तर और मेरे बीच एक दिलचस्प रिश्ता है। अगर मैं गलत नहीं हूँ, तो मेरे जवाब में उद्धृत [ABKM09 ] एल्गोरिथ्म का एक मोटा अवलोकन इस विचार को चीनी शेष प्रमेय के साथ उच्चतर बिट्स प्राप्त करने के लिए संयोजित करना है।

— त्सुयोशी इतो

आह, मुझे यह एहसास नहीं था।

— जो फिट्ज़सिमों

[यह उत्तर प्रति वोगेन के उत्तर के बारे में कुछ दिलचस्प पहलुओं की व्याख्या करता है । यह ओपी के सवाल का सीधा जवाब नहीं है, फिर भी इस तरह के सवालों को हल करने में मदद मिल सकती है।]

$i$ $\pi$ $i-1$

$i$ $\pi$ $\rm SC$

$\rm SC$

— एमएस डौस्ती
स्रोत