क्या मेटा-अनिर्णय संभव है?

Question

ऐसी समस्याएं हैं जो निर्णायक हैं, कुछ ऐसे हैं जो अनिर्दिष्ट हैं, जिनमें अर्धविक्षिप्तता है, आदि।

इस मामले में मुझे आश्चर्य है कि क्या कोई समस्या मेटा-अनिर्दिष्ट हो सकती है। इसका मतलब है (कम से कम मेरे सिर में) हम यह नहीं बता सकते हैं कि यह निर्णायक है या नहीं।

हो सकता है कि यह ज्ञात हो कि अवनति अक्षम्य है (सब कुछ मेटा-अनडिसीडेबल है) और कोई भी एल्गोरिथ्म किसी भी चीज के लिए डिसिडेबिलिटी साबित करने के लिए मौजूद नहीं है, इसलिए डेसीडेबिलिटी को केस के आधार पर किसी केस में हाथ से साबित करना होता है।

शायद मेरे सवाल का कोई मतलब नहीं है। शायद मैं मान रहा हूं कि हम बहुत जटिल एल्गोरिदम चलाने वाली कार्बन मशीनें हैं और इसीलिए यह सवाल केवल मेरे दिमाग में आता है।

कृपया मुझे बताएं कि क्या प्रश्न को और स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। मुझे इस समय स्वयं की आवश्यकता हो सकती है।

धन्यवाद।

Comments

आइए हम इस कथन पर विचार करें कि "सभी रैखिक आदेशों का सिद्धांत (द्वितीय-क्रम) सिद्धांत कम्प्यूटेशनल है"। विश्वास करने के कारण हैं (लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि स्वतंत्रता साबित हुई है) कि यह कथन जेडएफसी में स्वतंत्र (यानी, अनिर्दिष्ट) है। कारणों के बारे में अधिक जानकारी books.google.es/books?id=y3YpdW-sbFsC&pg=PA397

— boumol

जब आप कहते हैं कि "अवनति अक्षम्य है", तो इनपुट क्या है?

— महदी चेरघची

वह en.wikipedia.org/wiki/Turing_degree में भी दिलचस्पी ले सकता है लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि प्रश्न कैसे कहा गया है। :)

— डैनियल अपॉन

@ बबमोल शेला ("ऑर्डर का राक्षसी सिद्धांत", एन। मठ। 102 (3), 1975) (सीएच मानकर) कि "आदेश का अद्वैत सिद्धांत अपरिहार्य है" (सिद्धांत 7 (बी, पी। 409)।

— युवल फिल्मस

$L = \begin{cases} \text{halting problem} & \text{if the continuum hypothesis holds} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{cases}$

— sdcvvc

Answer 1

यहां यह दिखाने के लिए एक त्वरित स्केच है कि यह तय करने के लिए कोई ट्यूरिंग मशीन नहीं है कि समस्याओं का एक मनमाना वर्ग निर्णायक है या नहीं।

मुझे स्पष्ट करना चाहिए कि समस्याओं के वर्ग से मेरा क्या मतलब है: समस्याओं का एक वर्ग $T$एक ट्यूरिंग मशीन है, जो एक के बाद एक पुनरावृत्ति करने योग्य सेट के तत्वों (प्राकृतिक संख्याओं, को कहते हैं) जैसे कि सेट में प्रत्येक तत्व अंततः मुद्रित होता है। समस्या को सहजता से पकड़ लिया$T(n)$ है: "संख्या है $n$ इस सेट में? "। यह संगणना के क्षेत्र में सामान्य समस्याओं को पकड़ता है, जैसे" क्या मैं ट्यूरिंग मशीन का सूचकांक है जो खाली इनपुट पर रुकता है? "।

मान लीजिए मशीन थी $M$ जो, समस्याओं के एक वर्ग इनपुट के रूप में दिया जाता है $T$ जवाब $\mathit{true}$ यदि वह वर्ग असाध्य है और $\mathit{false}$ अन्यथा।

अब एक मनमाना ट्यूरिंग मशीन लें $T$। हम समस्याओं के निम्न वर्ग का निर्माण करते हैं$T'$ निम्नलिखित तरीके से:

1. अनुकरण $T$।
2. अगर $T$ हॉल्ट, ट्यूरिंग मशीनों के सूचकांकों की गणना करता है जो खाली इनपुट पर रुकते हैं।

अब यह स्पष्ट है कि यदि $T$ हाल्ट, तब $M(T')$ रिटर्न $\mathit{false}$, क्योंकि ट्यूरिंग मशीनों को रोकने वाले सूचकांकों का सेट एक निर्णायक (पुनरावर्ती) सेट नहीं है।

अगर $T$करता नहीं रोकने, तो$T'$किसी भी संख्या की गणना नहीं करता है , जो इसे समस्याओं का वर्ग बनाता है जिसमें कोई सूचकांक नहीं होता है! इसलिये$M(T')$ जवाब $\mathit{true}$, क्योंकि वह वर्ग असाध्य है (मशीन द्वारा जो हमेशा खारिज होता है)।

इसलिए, $M(T')$ रिटर्न $\mathit{true}$ iff $T$ रोक नहीं है, और $\mathit{false}$अन्यथा। इस प्रकार का अस्तित्व$M$ हमें एक मनमानी मशीन के लिए रुकने की समस्या को हल करने की अनुमति देता है $T$, जो एक विरोधाभास है।

Comments

हे कोड़ी! मुझे उम्मीद है कि आप अच्छा कर रहे हैं। क्या आप इस गर्मी में पिट्सबर्ग में होंगे?

— माइकल वीहर

अरे! मुझे यकीन नहीं है। हालांकि मुझे एक ई-मेल भेजें!

— कोड़ी

Answer 2

बहुत अच्छा विचार है!

विचार: हम एक स्वतंत्र कथन पर निर्भर होने वाली भाषा को परिभाषित करने के लिए जेडएफ सेट सिद्धांत में समझ के स्वयंसिद्ध एक्सपेरीमेंट का फायदा उठा सकते हैं।

चरण 1: अपने पसंदीदा स्टेटमेंट को लें जो कि जेडएफ से स्वतंत्र हो जैसे एसी - पसंद का स्वयंसिद्ध।

चरण 2: एक भाषा L = {x को {0,1} में परिभाषित करें | x = 0 यदि एसी और एक्स = 1 यदि एसी नहीं है}। ध्यान दें कि L या तो {0} या {1} है। अब, एल निर्णायक है, फिर भी हम निश्चितता के साथ एक कार्यक्रम प्रदान करने में असमर्थ हैं जो एल का निर्णय करता है। हम उस प्रोग्राम को प्रदान कर सकते हैं जो {0} तय करता है या हम उस प्रोग्राम को प्रदान कर सकते हैं जो {1} तय करता है, लेकिन हम निश्चितता के साथ नहीं जानते हैं। जो एल तय करता है।

चरण 3: इस विचार का उपयोग ऐसी भाषा को परिभाषित करने के लिए करें जो यदि एसी नहीं है तो एसी और अनिर्दिष्ट है। H को रोकने वाला सेट होने दो जो कि अनिर्णायक है। परिभाषित करें L = {x | x एक स्ट्रिंग है यदि AC और x H में है तो AC नहीं है}। यदि एसी, तो एल = सभी स्ट्रिंग्स का सेट और एल डिसीडेबल है। यदि AC नहीं है, तो L = H और L अनिर्दिष्ट है। L, पर्णनीय है या नहीं, ZF से स्वतंत्र है।