गेट्स के मनमाने सेट्स पर सर्किट कम होता है

1980 के दशक में, रज़बोरोव ने प्रसिद्ध रूप से दिखाया कि स्पष्ट मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन (जैसे कि क्लीक्वे फ़ंक्शन) हैं जिनकी गणना करने के लिए घातीय रूप से कई और या गेट्स की आवश्यकता होती है। हालाँकि, बूलियन डोमेन {0,1} पर {AND, OR} का आधार एक दिलचस्प गेट सेट का केवल एक उदाहरण है जो सार्वभौमिक होने के कारण कम हो जाता है। इससे मेरा प्रश्न बनता है:

क्या गेट्स का कोई अन्य सेट, मोनोटोन गेट्स से दिलचस्प रूप से अलग है, जिसके लिए सर्किट आकार पर घातीय निचले सीमा ज्ञात हैं (सर्किट पर कोई गहराई या अन्य प्रतिबंधों के साथ)? यदि नहीं, तो क्या फाटकों का कोई अन्य सेट है जो इस तरह के निचले सीमाओं के लिए एक प्रशंसनीय उम्मीदवार है --- ऐसे सीमाएं जिन्हें प्राकृतिक रूप से अवरोध अवरोध के माध्यम से तोड़ने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि रज़बोरोव के मोनोटोन-सर्किट परिणाम नहीं हुआ था?

यदि ऐसा गेट सेट मौजूद है, तो निश्चित रूप से यह k gate3 के लिए k-ary वर्णमाला से अधिक होगा। कारण यह है कि, एक द्विआधारी वर्णमाला के ऊपर,

(1) मोनोटोन गेट्स ({AND, OR}),

(2) रैखिक द्वार ({नहीं, XOR}), और

(3) सार्वभौमिक द्वार ({AND, OR, NOT})

मूल रूप से दिलचस्प संभावनाओं को समाप्त करते हैं, जैसा कि पोस्ट के वर्गीकरण प्रमेय से होता है। (ध्यान दें कि मैं मानता हूं कि बाइनरी केस में कॉन्स्टेंट --- 0 और 1 --- हमेशा मुफ्त में उपलब्ध होते हैं।) रैखिक फाटकों के साथ, प्रत्येक बूलियन फ़ंक्शन f: {0,1} ⁿ → {0,1} है। एक लीनियर-आकार के सर्किट द्वारा गणना करने योग्य है; एक सार्वभौमिक सेट के साथ, बेशक हम प्राकृतिक सबूत और अन्य भयानक बाधाओं के खिलाफ हैं।

दूसरी ओर, यदि हम 3- या 4-प्रतीक वर्णमाला (उदाहरण के लिए) पर गेट सेट पर विचार करते हैं, तो संभावनाओं का एक व्यापक सेट खुल जाता है --- और कम से कम मेरे ज्ञान के लिए, उन संभावनाओं को पूरी तरह से मैप नहीं किया गया है जटिलता सिद्धांत के दृष्टिकोण से (कृपया मुझे सही करें अगर मैं गलत हूं)। मुझे पता है कि सार्वभौमिक बीजगणित में "क्लोन" के नाम से संभावित गेट सेट का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया जाता है; काश मैं उस साहित्य के साथ अधिक संवादात्मक होता ताकि मुझे पता होता कि यदि उस क्षेत्र के परिणामों का मतलब सर्किट जटिलता के लिए कुछ भी होता है।

किसी भी मामले में, यह इस सवाल से बाहर नहीं निकलता है कि साबित करने के लिए अन्य नाटकीय सर्किट निचले सीमा पके हुए हैं, अगर हम केवल परिमित अक्षर पर गेट सेट की श्रेणी का विस्तार करते हैं जिसे हम विचार करने के लिए तैयार हैं। अगर मैं गलत हूँ, तो कृपया मुझे बताओ क्यों!

lower-bounds circuit-complexity circuit-families

— स्कॉट आरोनसन
स्रोत

यदि आप फ़ंक्शंस पर विचार करते हैं , तो स्थिति रैखिक फाटकों के लिए अधिक शामिल है, क्योंकि गिनती तर्क से पता चलता है कि ऐसे कार्य हैं जिनमें आवश्यकता होती है परिकलित किए जाने वाले द्वार हैं, हालांकि जहां तक मुझे पता है कि ऐसे कार्यों के स्पष्ट उदाहरण नहीं हैं जिनके लिए सुपरलाइन आकार के सर्किट की आवश्यकता होती है।

f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}^{n}

$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$

Ω (\frac{n^{2}}{\log (n)})

$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

— ग्रिगोरी यारोस्लावसेव

बस एक नोट: यदि आप किसी गैर घटते वास्तविक कार्यों की गणना करने वाले गेटों के साथ मोनोटोन बुलियन गेट्स को बदलते हैं , तो आपको सर्किट आकार पर घातीय निचले सीमाएं भी मिलती हैं। पुडलक द्वारा यह साबित किया गया था: रिज़ॉल्यूशन के लिए निचली सीमाएं और विमानों के साक्ष्यों को काटने और मोनोटोन संगणना , सिम्ब के जे। तर्क 62 (3), 1997, पीपी .81-998।

— इद्दो तजमेरपेट

ग्रिगोरी: धन्यवाद; मैंने बहस की कि ओपी में इसका उल्लेख करना है या नहीं! आप सही कह रहे हैं कि हमारे पास लीनियर फ़ंक्शन f: {0,1} <सुप> n & rarr; {0,1} <: की गणना करने के लिए आवश्यक XOR फाटकों की संख्या पर कोई स्पष्ट सुपरलाइनियर नीचा नहीं है; sup> n । दूसरी ओर, रैखिक परिवर्तनों के लिए उम्मीदवारों के साथ आना मुश्किल नहीं है कि चाहिए की आवश्यकता है और ओमेगा; (एन लॉग एन) XOR द्वार (फूरियर ट्रांसफॉर्म, "Sierpinski गैसकेट" मैट्रिक्स ...) , और ब्रैम कोहेन ने एक उदाहरण फ़ंक्शन का प्रस्ताव किया जिसे & ओमेगा (n 3/2 ) XOR गेट्स की आवश्यकता होगी (मुझे यह याद नहीं है लेकिन उनसे पूछ सकता था)।

— स्कॉट आरोनसन 11

यहां तक कि वर्णमाला के आकार 3 के लिए क्लोन का जाली बेशुमार है, और इसमें हर बारीक जाली में एक उदात्तता होती है। इसलिए असीम रूप से कई संभवतः दिलचस्प आधारों पर विचार करना है। मुझे सर्किट कम सीमा के लिए गैर-बूलियन क्लोन का उपयोग करने पर किसी भी काम के बारे में पता नहीं है, लेकिन यह अधिक गहराई से जांच के लायक है।

— आंद्र सलाम

स्कॉट, क्या आप बड़े एसी वाले वर्ग एसी 0 के वर्ग के लिए एक उपयुक्त एनालॉग के बारे में जानते हैं? मुझे यह भी बताना चाहिए कि कोई व्यक्ति बड़े अक्षर के लिए एकरूपता की धारणा पर विचार कर सकता है (एलचन मसल और मैंने उन फ्रंट के लिए तीक्ष्ण shresholds के बारे में लिखा था ।ucdavis.edu/ 1011.3566 ), इसलिए रासबोरोव की प्रमेय कुछ निश्चित धारणा के लिए बड़ी वर्णमाला पर मोनोटोन सिरिफ के लिए फैली हुई है। दिष्टता।

— गिल कलाई

जवाबों:

(सुरेश द्वारा सुझाए गए टिप्पणियों के अनुसार चले गए। टिप्पणी में कुछ त्रुटियां यहां तय की गई हैं।)

एक महान प्रश्न के लिए स्कॉट का धन्यवाद।

स्कॉट का सुझाव है कि कम सीमा की कठिनाई का कारण बूलियन मामले में संचालन की प्रतिबंधित भाषा हो सकती है। शैनन की गिनती का तर्क जो अधिकांश सर्किट दिखाता है, को बड़ी संख्या में गिनने योग्य अभिव्यंजक शक्ति और बेशुमार सर्किट के बीच अंतर पर निर्भर होना चाहिए। यह अंतर तब दूर जाता है जब वर्णमाला में कम से कम 3 प्रतीक हों।

वर्णमाला के आकार 2 (बूलियन केस) के लिए, क्लोनों की जाली अनगिनत अनंत होती है, और इसे पोस्ट का जाली कहा जाता है ।

पोस्ट की जाली यह भी स्पष्ट करती है कि बुलियन मामले के संचालन के कुछ ही दिलचस्प आधार क्यों हैं।

वर्णमाला के आकार 3 या उससे अधिक के लिए क्लोन की जाली बेशुमार है। इसके अलावा, जाली किसी भी जाली जाली पहचान को संतुष्ट नहीं करती है, इसलिए जाली का पूरा विवरण प्रदान करना असंभव लगता है। वर्णमाला के आकार 4 या उससे अधिक के क्लोन के लिए वास्तव में प्रत्येक परिमित जाली में एक उदात्तता होती है। तो वर्णमाला के 3 या अधिक प्रतीकों के होने पर विचार करने के लिए ऑपरेशन के कई संभवतः दिलचस्प आधार हैं।

बुलटोव, आंद्रेई ए।, क्लोन अक्षांशों से संतुष्ट स्थितियां , बीजगणित युनिवर्सलिस 46 237–241, 2001। doi: 10.1007 / PL00000340

स्कॉट ने आगे पूछा: यदि हम स्थिरांक मुफ्त में उपलब्ध हैं, तो क्या क्लोन की जाली बेशुमार है?

जवाब है कि यह करता है, उदाहरण के लिए देखें

ग्रेडिम वोज्वोडिक, जोवांका पंतोविक, और रतको तोसीक, क्लोनों की संख्या जिसमें एक संयुक्त कार्य है , NSJOM 27 83-87, 1997। ( पीडीएफ )
जे। पेंतोविक, आर। टोसिएक, और जी। वोज्वोडीक, तीन तत्व सेट , बीजगणित यूनिवर्सलिस 38 136-140, 1997 पर कार्यात्मक रूप से पूर्ण बीजगणित की कार्डिनैलिटी। doi: 10.1007 / s000120050042

हालांकि जाहिरा तौर पर यह पहले प्रकाशित किया गया था:

एगोस्टोन, आई।, डेमेट्रोनिक्स, जे।, और हॅनक, एल । सभी स्थिरांक वाले कोल की संख्या पर , कोल। गणित। समाज। जानोस बोल्याई 43 21-25, 1983।

एक अच्छा विशिष्ट कथन है:

ए। बुलटोव, ए। क्रॉखिन, के। सफीन और ई। सुखनोव, क्लोन लैटिस की संरचना पर , इन: "जनरल अलजेब्रा एंड डिसक्रीट मैथमेटिक्स", संपादकों: के। डेनेके और ओ। लेयर्डर्स, 27-34। हेल्डरमैन वर्लग, बर्लिन, 1995. ( PS )

कोरोलरी 3 (arygoston et al। As ऊपर) के लिए जिम्मेदार: Let । फिर सभी वाले में क्लोनों की संख्या । $k \ge 3$ $\mathcal{L}_k$ $2^{\aleph_0}$

लपेटने के लिए, मुझे सर्किट कम सीमा के लिए गैर-बूलियन क्लोन का उपयोग करने पर किसी भी काम के बारे में पता नहीं है। यह अधिक गहराई में जांच के लायक लगता है। अपेक्षाकृत कम है कि क्लोनों के जाली के बारे में जाना जाता है, को देखते हुए खोजे जाने की प्रतीक्षा में ऑपरेशन के दिलचस्प आधार हो सकते हैं।

क्लोन सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान के बीच अधिक लिंक शायद सार्वभौमिक बीजगणित में काम करने वाले गणितज्ञों के लिए भी बहुत रुचि रखते हैं। इस तरह की बातचीत का एक पिछला उदाहरण तब आया जब पीटर जेवन्स ने दिखाया कि बीजगणितों को बाधा भाषाओं से जोड़ा जा सकता है, इस तरह से बीजगणित के गुणों में ट्रैक्टबिलिटी के परिणामों का अनुवाद किया जा सकता है। आंद्रेई बुलटोव ने इसका उपयोग डोमेन आकार 3 के साथ सीएसपी के लिए डाइकोटॉमी को साबित करने के लिए किया था। दूसरे तरीके से, कंप्यूटर विज्ञान अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप tame congruence सिद्धांत में रुचि का पुनरुद्धार हुआ है। मुझे आश्चर्य है कि क्लोन सिद्धांत और गैर-बूलियन सर्किट जटिलता के बीच एक लिंक से क्या पालन होगा।

— आंद्रस सलामन
स्रोत

बहुत बहुत धन्यवाद, András! मैं ostgoston एट अल द्वारा पेपर की जांच करूंगा। जब मुझे मौका मिले। इस बीच, मैं Pantović एट अल से 3-तत्व सेट पर अधिकतम प्रीक्लोमेटेड क्लोन की सूची के माध्यम से गया। आपके द्वारा जोड़ा गया कागज, और मुझे नहीं लगता कि उनमें से कोई भी "नए" सर्किट कम सीमा के लिए उम्मीदवार हैं। (उनमें से कुछ के लिए, घातीय निचली सीमाएं रेज़बोरोव के मोनोटोन लोअर बाउंड से तुरंत पीछा करती हैं; दूसरों के लिए, हमें सामान्य सर्किट के लिए या रैखिक सर्किट के लिए निचले सीमा की आवश्यकता होगी।) लेकिन यहां तक कि k = 3 मामले में, क्लोन अधूरा वाले की तुलना में छोटे होते हैं। अभी भी देखने लायक है।

— स्कॉट आरोनसन

जैसा कि सुरेश ने सुझाव दिया था, टिप्पणियों से इसे स्थानांतरित किया गया है।

यदि आप कार्यों पर विचार करते हैं , तो स्थिति रैखिक फाटकों के लिए अधिक शामिल है, क्योंकि गिनती तर्क से पता चलता है कि ऐसे कार्य हैं जिन्हें आवश्यकता है गेट्स की गणना की जानी है, हालांकि किसी फ़ंक्शन के स्पष्ट उदाहरण नहीं हैं जिनमें सुपरलाइनियर आकार के सर्किट की आवश्यकता होती है। $f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$ $\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

संपादित करें। यह भी गिनती तर्क का उपयोग करके दिखाया जा सकता है कि अधिकांश फ़ंक्शंस में कुछ फ़ंक्शनल लिए से बड़ी जटिलता है , इसलिए यदि आप किसी फ़ंक्शन को रैंडमली सेलेक्ट करते हैं तो आपको एक मिलेगा उच्च संभावना के साथ जटिल कार्य। $\frac{n^2}{\log(n) * c}$ $c$

दूसरी ओर, जैसा कि स्कॉट आरोनसन टिप्पणियों में बताते हैं, रैखिक परिवर्तन के लिए उम्मीदवारों के साथ आना मुश्किल नहीं है, जिसके लिए एक्सओआर गेट्स (फूरियर ट्रांसफॉर्मर, "सीरपिन्स्की गैसकेट" मैट्रिक्स की आवश्यकता होनी चाहिए ... ), और ब्रैम कोहेन ने एक उदाहरण समारोह का प्रस्ताव रखा जिसमें XOR गेट्स की आवश्यकता होनी चाहिए । $\Omega(n log n)$ $\Omega(n^{3/2})$

संपादित करें 2. मुख्य बाधा यह है कि हमारे पास रैखिक फाटकों के लिए भी गैर-रैखिक कम सीमा साबित करने के लिए कोई तरीका नहीं है, जहां तक मुझे पता है (रैखिक निचले सीमा के लिए एक गेट उन्मूलन का उपयोग कर सकता है, कि गैर को देने की संभावना नहीं है -लाइनर सीमा)। हालांकि ऐसा लगता है कि रैखिक बीजगणित के कुछ तरीके वास्तव में मददगार होने चाहिए। इसलिए उम्मीदवारों के साथ आना अच्छा है, लेकिन कुछ नए तरीकों की जरूरत है।

— ग्रिगोरी यारोस्लावसेव
स्रोत

दरअसल, तुलना में बड़े डोमेन पर काम करने वाले सर्किट के लिए कम सीमा साबित करने का प्रयास किया गया था । कहो, मास्को विश्वविद्यालय के Tkachov [Vestnik, Nr। 1, 1977, में रूसी] माना इनपुट वैक्टर के साथ काम कर सर्किट में । गेट्स के रूप में उन्होंने और । वह निम्नलिखित समारोह माना जाता: अगर होता है एक या की संख्या 'एस में की संख्या कम से कम है की। वह दिखाता है कि किसी भी सर्किट (उस MIN / XOR) के आधार पर लगभग फाटकों की गणना करने की आवश्यकता $\{0,1\}$ $a$ $Z_3^n=\{0,1,2\}^n$ $\min(x,y)$ $xy\mod{2}$ $f(a)=0$ $a$ $0$ $2$ $a$ $1$ $2^n/\sqrt{n}$ $f$ । लेकिन वह था! मैं आगे के परिणामों के बारे में एक समान पक्ष (बड़े, लेकिन अभी भी परिमित, डोमेन) के बारे में नहीं जानता हूं, सिवाय इसके, अंकगणित सर्किट के सामान। लेकिन केवल सर्किट के लिए - बड़े डोमेन में जाने वाले ब्रांचिंग प्रोग्राम के लिए निचले सीमा के कार्य को कुछ आसान बना देता है।
XOR गेट के साथ सर्किट पर। यहां भी गहराई का मामला व्यापक रूप से खुला है। उच्चतम कम सीमा स्पष्ट रैखिक परिवर्तनों के लिए अधिक के फार्म का । एक निरंतर लिए तरह एक सीमा को साबित करने के लिए , यहां तक कि गहराई और भले ही केवल XOR गेट्स की अनुमति हो, एक चुनौती है। $2$ $y=Ax$ $GF(2)$ $n\log^{3/2}n$ $n^{1+c}$ $c>0$ $2$

— Stasys
स्रोत

प्रिय Stasys, क्या मैं आपको अपना खाता पंजीकृत करने का सुझाव दूंगा ? यह आपको उत्तर देने के लिए उसी उपयोगकर्ता खाते का उपयोग करने और बाद में उन्हें अन्य चीजों के बीच संपादित करने की अनुमति देगा। (मुझे बताएं कि यदि आप पंजीकरण करने का निर्णय लेते हैं और मैं आपके पिछले खातों को इसके साथ विलय कर दूंगा, तो आप अपने पिछले पोस्टों को भी संपादित कर सकते हैं।)

— Kaveh

धन्यवाद, Kaveh, मैंने अभी पंजीकृत किया है। स्कॉट का सुझाव (बड़े डोमेन पर जाएं) "व्यावहारिक" दृष्टिकोण से भी दिलचस्प हो सकता है। कहो, शापेट की क्षमता के साथ सबसेट-सम समस्या के लिए एक सर्किट में अधिकतम / प्लस गेट की सबसे छोटी संख्या क्या है ? मानक गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म अनुकरण करने के लिए यह अतिरिक्त तारों परीक्षण बनाने के लिए अनुमति देने के लिए पर्याप्त है पूर्णांक के लिए हमारे डोमेन। यह एल्गोरिथ्म गेट्स की संख्या पर एक ऊपरी बाध्य भी देता है । समस्या: यह साबित करें कि द्वार आवश्यक हैं। इसका मतलब यह होगा कि DP, Knapsack के लिए बेहतर नहीं कर सकता है।

K

$K$

x_{i} = a

$x_i=a$

a

$a$

n K

$nK$

Ω (n K)

$\Omega(nK)$

— स्टासिस जूल