ग्राफ मिलान की समस्या का इतिहास और स्थिति

Question

इस समस्या के बारे में अधिक पता लगाने की कठिनाई का एक हिस्सा यह है कि ग्राफ मिलान की समस्या इसके अधिक प्रसिद्ध चचेरे भाई, मिलान समस्या से अलग है, लेकिन खोज इंजन का उपयोग करते समय इसे से अलग किया जाना कठिन है।

यह देखते हुए दो रेखांकन $G=(V,E)$ और $G'=(V',E')$ ऐसा है कि $|V| = |V'|$, काम के लिए एक द्विभाजन को मिल रहा है $\pi : V \rightarrow V'$ ऐसी है कि यह द्विभाजन के किनारों के बीच काफी पत्राचार के रूप में स्थापित करता है $G$ और $G'$ संभव के रूप में।

दूसरे शब्दों में, अगर $M$ और $M'$ adjascency मैट्रिक्स हैं, तो हम अधिकतम करना चाहते हैं

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

इस समस्या में स्पष्ट रूप से एक विशेष मामले के रूप में ग्राफ समरूपता शामिल है, और एक (गैर-बहुपद!) कमी के तहत द्विदलीय मिलान के लिए कम किया जा सकता है।

किस तरह के एल्गोरिदम मौजूद हैं, और इसकी जटिलता के बारे में क्या पता है?

Answer 1

कागज से अनुमानित ग्राफ़ समरूपता :

$G_1,G_2$$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$$α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$अरोड़ा एट अल का समय योगात्मक त्रुटि सन्निकटन एल्गोरिदम। [मठ। कार्यक्रम।, 92, 2002] एक साधारण औसत एल्गोरिथ्म के साथ। हम इसी न्यूनतम समस्या (बेमेल चीजों की ) पर भी विचार करते हैं और यह साबित करते हैं कि यह किसी भी स्थिर कारक लिए -approximate के लिए NP-कठिन है । इसके अलावा, हम बताते हैं कि 0.94 के कारक से परे किनारों पर मैप की गई किनारों की अधिकतम संख्या को अनुमानित करना भी एनपी-कठिन है।$α$$α$

Answer 2

मुझे आपकी समस्या के बारे में कोई जानकारी नहीं है। लेकिन मुझे पीडीएफ के साथ ग्राफ मिलान एल्गोरिदम से संबंधित कागजात का एक महान (स्था) संग्रह पता है । सेठ पेटी के लिए तालियाँ!

Comments

यह एक भयानक संग्रह है। इस पर ध्यान दिलाने के लिए धन्यवाद !

— सुरेश वेंकट

यह संग्रह उस समस्या का उल्लेख नहीं करता है जिसका मैंने वर्णन किया है।

— शुहलो

Answer 3

@Austin बुकानन ने जिस पेपर की ओर इशारा किया था, वह लगभग ग्राफ ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के लिए पूछे गए संस्करण के अनुरूप नहीं है। मैं यह मान रहा हूं कि आसन्न मैट्रिक्स में प्रविष्टियां हैं, जिस स्थिति में उद्देश्य केवल मिलान किए गए किनारों को माप रहा है। अनुमानित ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म मॉडल दोनों को एक बेजोड़ किनारों से मापता है जो कि अनुमान के दृष्टिकोण से इसे थोड़ा आसान बनाता है।$0,1$

ऐसा प्रतीत होता है समस्या से पूछा कि कम से कम मुश्किल के रूप में है -dense-subgraph समस्या जो वर्तमान में केवल एक बहुपद-सन्निकटन मानते हैं। अधिक जानकारी और एल्गोरिदम और कठोरता के संदर्भ में वर्तमान स्थिति के लिए http://arxiv.org/abs/1001.2891 और http://arxiv.org/abs/1110.1360 देखें ।$k$

अब कमी के लिए। मान लीजिए कि हम एक ग्राफ में -dense-subgraph समस्या को हल करना चाहते हैं ; हम नोड्स का एक उपसमूह खोजना चाहते हैं जो प्रेरित ग्राफ में किनारों की संख्या को अधिकतम करता है । आप को -vertices और आइसोलेटेड वर्जन पर एक क्लिच से मिलकर एक ग्राफ होने के लिए सेट करके अपनी समस्या को कम कर सकते हैं , और होने के लिए सेट है ।$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$$n-k$$G'$$H$