एक मैट्रिक्स के साइन रैंक का अनुमान लगाना

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एक मैट्रिक्स एक के हस्ताक्षर रैंक के साथ + 1, -1 प्रविष्टियों कम से कम रैंक (reals से अधिक) एक मैट्रिक्स बी जो एक (यानी, के रूप में एक ही हस्ताक्षर पैटर्न है की है सभी के लिए )। यह धारणा संचार जटिलता और सीखने के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है। $A_{ij}B_{ij}>0$ $i,j$

मेरा प्रश्न यह है: क्या कोई ज्ञात (उप-प्रादेशिक समय) एल्गोरिदम हैं जो एक कारक भीतर मैट्रिक्स के साइन-रैंक को अनुमानित करते हैं ? $o(n)$

(मैं वर्णक्रमीय मानदंड के मामले में फ़ॉर्स्टर के निचले स्तर पर साइन रैंक के बारे में जानता हूं, लेकिन यह सामान्य रूप से से बेहतर सन्निकटन अनुपात नहीं देता है।) $\Omega(n)$

— मोरित्ज़
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मेरा मानना है कि यह एक खुला प्रश्न है।

ली और श्राइबमैन ने "एन एंबेडेशन एल्गोरिथ्म फॉर एंबेडेशन रैंक" से पता चलता है कि पॉलिनेशन टाइम एल्गोरिथ्म द्वारा एंबेडेशन रैंक को एक स्थिर फैक्टर के लिए अनुमानित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, वे एक semidefinite प्रोग्रामिंग मात्रा संबंधित सन्निकटन रैंक, जहां के लिए से 1. लेते हुए कुछ परिमित पैरामीटर अधिक है अनंत की सीमा तक पैदावार साइन-रैंक लेकिन उनके परिणाम इस में कुछ भी नहीं देता है सेटिंग। $\gamma_2^\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— अर्नाब
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अलोन, मोरन और येहुदायॉफ़ द्वारा हालिया काम एक सन्निकटन एल्गोरिदम देता है। Let एक संकेत मैट्रिक्स के वीसी आयाम हो । विचार यह है कि $O(n/\log n)$ $d$ $S$

एक कुशलता से गणना कर सका मैट्रिक्स वहां मौजूद संकेत पैटर्न के साथ ऐसी है कि ; $M$ $S$ $\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
का साइन रैंक कम से कम । $S$ $d$

$M$ $O(n^{1-1/d}/d)$ $d = \Theta(\log n)$

— साशो निकोलोव
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