--लैंबडा-कैलकुलस के विस्तार में बनाम बनाम रूपांतरण

Question

मैं अक्सर η-रूपांतरण और विलुप्त होने के बीच के संबंध से भ्रमित हूं।

संपादित करें: टिप्पणियों के अनुसार, ऐसा लगता है कि मैं भी समतुल्य समानता और अवलोकन संबंधी तुल्यता के बीच के संबंध के बारे में उलझन में हूं। लेकिन कम से कम अगड़ा में फ़ंक्शंस के लिए बहुआयामी समानता के साथ (एक पद के रूप में), और बस-टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस के लिए (जिसमें एक पूरी तरह से सार शब्दार्थ है, अगर मैं गलत नहीं हूं), तो डीनोटेशनल तुल्यता अवलोकन अवलोकन के समान है। टिप्पणी या उत्तर में मुझे सही करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें; मैंने इन मामलों पर कभी व्यवस्थित शिक्षा नहीं दी है।

Untyped लैम्ब्डा-कलन में, ईटा-शासन extensionality नियम के रूप में एक ही सबूत प्रणाली, के रूप में Barendregt द्वारा सिद्ध (में उद्धृत देता है एक जवाब के लिए इस सवाल का )। मैं समझता हूं कि इसका मतलब यह है कि एटा-नियम के साथ प्रूफ सिस्टम अवलोकन संबंधी तुल्यता के लिए पूरा है (अन्य उत्तरों से, जिसे might-रूल नियम की आवश्यकता हो सकती है, अर्थात IIUC के तहत कटौती; मुझे उस नियम को जोड़ने में भी कोई समस्या नहीं है) ।

हालाँकि, अगर हम टाइप किए गए कैलकुलस पर स्विच करते हैं और अतिरिक्त बेस प्रकार और संबंधित परिचय और उन्मूलन रूपों के साथ इस कैलकुस को बढ़ाते हैं तो क्या होता है? क्या हम अभी भी पर्यवेक्षणीय तुल्यता के लिए एक पूर्ण प्रमाण प्रणाली लिख सकते हैं? मैं एक अक्षीय शब्दार्थ के रूप में प्रूफ सिस्टम के बारे में बात करूंगा, जो मिशेल की नींव प्रोग्रामिंग भाषाओं (एफपीएल) के बाद है; प्रमाण प्रणाली / स्वयंसिद्ध शब्दार्थ कार्यक्रम की समता को परिभाषित करता है।

प्रश्न 1 : क्या बेंड्रिजेर्ट का प्रमेय STLC तक विस्तृत है? क्या उस संदर्भ में equivalent-तुल्यता समानता के बराबर है?

मैं पीसीएफ की एफपीएल चर्चा को ब्राउज़ कर रहा हूं (लेकिन अभी तक अनुभाग समाप्त नहीं हुआ था), और ऐसा लगता है कि एक बार जोड़े जोड़ने के बाद, अतिरिक्तता के लिए एक अतिरिक्त नियम की आवश्यकता होती है, अर्थात् सर्जिकल जोड़ी pair (Proj1 P, Proj2 P) = P:। दिलचस्प बात यह है कि यह नियम ठीक जोड़े के परिचय और उन्मूलन से संबंधित है, जैसे rule-नियम कार्यों के परिचय और उन्मूलन से संबंधित है।

प्रश्न 2 : क्या जोड़े के साथ बस-टाइप किए गए λ-पथरी में अतुलनीयता साबित करने के लिए सुरजनात्मक युग्मन स्वयंसिद्ध जोड़ना पर्याप्त है? संपादित करें : प्रश्न 2 बी : सरोगैसिव युग्मन एक:-कानून है , क्योंकि इस पत्र में उल्लिखित 2-कानून , संरचनात्मक समानता के कारण हैं जिनका मैं उल्लेख करता हूं?

अब पीसीएफ के लिए सभी तरह से चलते हैं। मैंने जो समानताएं देखी हैं उनके उदाहरणों से यह साबित होता है कि अपरिमेयता प्रेरण द्वारा प्रमाण के एक नियम का अर्थ है, लेकिन वे यह नहीं कहते कि क्या यह पर्याप्त है। चूंकि पीसीएफ ट्यूरिंग-पूर्ण है, अतुलनीय समानता अपरिहार्य है । लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि कोई पूर्ण सबूत प्रणाली नहीं है, क्योंकि साक्ष्यों की लंबाई अनबाउंड है। अधिक प्रासंगिक रूप से, इस तरह की एक सबूत प्रणाली शायद गोडेल की अपूर्णता प्रमेयों का विरोध करेगी। और यह तर्क बिना पीसीएफ के भी लागू हो सकता है fix, और गोडेल के सिस्टम टी के लिए भी।

प्रश्न 3 : क्या पीसीएफ में पर्यवेक्षणीय तुल्यता के लिए एक पूर्ण प्रमाण प्रणाली है? पीसीएफ के बिना क्या fix?

अद्यतन: पूर्ण अमूर्त

मैं पूरी टिप्पणी पर यहाँ जवाब देता हूँ। मुझे लगता है कि पीसीएफ दो अलग-अलग प्रकार की समस्याओं से ग्रस्त है: इसमें गैर-समाप्ति (फिक्स के माध्यम से) होती है, जो पूर्ण अमूर्तता की हानि का कारण बनती है, लेकिन इसमें प्राकृतिक संख्याएं भी हैं। दोनों समस्याओं का इलाज करने के लिए अवलोकन समतुल्यता कठिन है, लेकिन मैं एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से विश्वास करता हूं।

एक तरफ, पीसीएफ पूर्ण अमूर्तता खो देता है क्योंकि समानांतर या अर्थ डोमेन (प्लॉटकिन 1977) में रहता है, और ऐसा लगता है कि गैर-संचय के साथ करना है। राल्फ लोडर (2000, "फिनिटरी पीसीएफ डिसिडेबल नहीं है") से पता चलता है कि फाइनेंशियल पीसीएफ (भीलों के बिना, लेकिन नॉनटर्मिनेशन के साथ) पहले से ही अनिर्दिष्ट है; इसलिए, (अगर मैं सही तरीके से योग करता हूं) एक पूरी तरह से अमूर्त शब्दार्थ, कम्प्यूटेशनल संचालन वाले डोमेन तक सीमित नहीं हो सकता है।

दूसरी ओर, गोडेल का सिस्टम टी लें, जिसमें नॉनटर्मिनेशन नहीं है। (मुझे यकीन नहीं है कि यह एक पूरी तरह से सार शब्दार्थ है, लेकिन मैं हाँ अनुमान लगा रहा हूं, क्योंकि समस्या केवल पीसीएफ के लिए उल्लिखित है; डोमेन में उच्च-क्रम के आदिम पुनरावर्ती कार्य शामिल होने चाहिए)। प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए हार्पर की व्यावहारिक नींव इस भाषा के लिए अवलोकन संबंधी तुल्यता पर चर्चा करती है; सेक। 47.4 का शीर्षक "समानता के कुछ कानून" है, और अवलोकन संबंधी तुल्यता के लिए कुछ स्वीकार्य प्रमाण नियमों को दर्शाता है। कहीं नहीं यह कहता है कि क्या सबूत प्रणाली पूरी है, इसलिए मुझे लगता है कि यह नहीं है, लेकिन यह भी कहीं नहीं चर्चा है कि क्या इसे पूरा किया जा सकता है। मेरा सबसे अच्छा अनुमान गोडेल की अपूर्णता के प्रमेय से जोड़ता है।

Comments

मुझे लगता है कि मैं इसका कुछ उत्तर दे सकता हूं, लेकिन मैं उलझन में हूं कि यह आप क्या पूछ रहे हैं। आप जिस प्रश्न का उल्लेख करते हैं, वह प्रोग्राम तुल्यता के बारे में नहीं है। क्या आपका मतलब है अवलोकन संबंधी तुल्यता? किस परिचालन शब्दार्थ के लिए? इसलिए, अनिवार्य रूप से, यदि आप ठीक से समझाते हैं कि प्रश्न 1 में "प्रमाण" क्या है, तो मुझे लगता है कि मैं अनुमान लगा सकता हूं कि क्या चल रहा है। मेरा अब तक का सबसे अच्छा अनुमान है: आप एक ऐसे समसामयिक सिद्धांत को पसंद करेंगे, जो अवलोकन संबंधी तुल्यता के लिए पूरा हो, और आप हमसे पूछ रहे हैं कि क्या -Rules पर्याप्त है। क्या यही है? $\eta$

— लेडी बाउर

@AndrejBauer: आपका अनुमान सही है, मैं प्रश्न को अपडेट करना शुरू करूँगा।

— १

मैं परिचालन शब्दार्थों के बारे में निश्चित नहीं हूं - क्या इससे मूल प्रमेयों के लिए कोई फर्क पड़ता है?

— १

मैंने प्रश्न को और परिष्कृत करने का प्रयास किया। लेकिन मुझे अभी भी लगता है कि आपका सबसे अच्छा अनुमान सही है।

— Blaisorblade

वहाँ एक छोटी सी समस्या यहाँ है: यह वास्तव में स्पष्ट नहीं कर रहा है क्या प्राकृतिक संख्या के लिए है! तुम सिर्फ सिर्फ समारोह और उत्पाद प्रकार है, तो आप स्पष्ट में हैं: मामले observationally बराबर iff वे कर रहे हैं कर रहे हैं β η बराबर है। अधिक सामान्यतः, मुझे लगता है कि यह पूर्ण अमूर्तता की समस्या से संबंधित है । $\eta$$\beta\eta$

— कोड़ी

Answer 1

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके प्रश्न का पूरी तरह से उत्तर दे सकता हूं, लेकिन मैं इसे एक शॉट दूंगा, और अपने स्वयं के कुछ प्रश्न पूछूंगा जो इस विषय पर कुछ और चर्चा कर सकते हैं।

मेरा पहला बिंदु यह है: दो शब्दों में untyped λ -calculus होने के लिए कहा जाता है observably बराबर हर शब्द के लिए iff एम : एम टी  समाप्त  ⇔ एम टी '  समाप्त  कहाँ समाप्त अर्थ है "एक है β -normal फार्म"$t, t'$ $\lambda$$M$

$$M\ t \mbox{ terminates } \Leftrightarrow M\ t' \mbox{ terminates }$$ $\beta$

मैं इसे और अधिक प्राकृतिक "छेद" या के साथ शर्तों पर विचार करने के लिए संदर्भों बस शर्तों के बजाय एम और लिखने ई [ टी ] के बजाय एम टी । दो विचार निश्चित रूप से समतुल्य हैं (यदि चर संदर्भ से बंधे हुए नहीं हैं), क्योंकि अमूर्त आपको संदर्भ E [ _ ] को λ x शब्द में बदलने की अनुमति देता है । ई [ एक्स ] ।$E[\_]$$M$$E[t]$$M\ t$$E[\_]$$\lambda x.E[x]$

अब यह एक तथ्य यह है कि untyped पथरी में अवलोकन समानता है पर कब्जा कर लिया नहीं द्वारा -equality! वास्तव में शर्तों का एक पूरा वर्ग है, जो दोनों को समाप्त नहीं करते हैं और जिनके पास कोई सामान्य रूप नहीं है और इसलिए वे सभी समान रूप से समान हैं। इन्हें कभी-कभी शाश्वत शब्द या असंगत शब्द कहा जाता है , और यहाँ दो ऐसे शब्द हैं: ( λ x । X x ) ( λ x । X x ) और ( λ x । X x x ) ( λ x ) $\beta\eta$

$$(\lambda x. x\ x)(\lambda x. x\ x)$$ यह पता चलता है कि इन शर्तों नहीं हैं काफी आसान है बीटा η -equal। $$(\lambda x. x\ x\ x)(\lambda x. x\ x\ x)$$ $\beta\eta$

यदि सभी स्थायी शब्दों की पहचान की जाती है, तो एक क्लासिक परिणाम द्वारा अवलोकन संबंधी समानता पूरी तरह से कब्जा कर ली जाती है (देखें Barendregt प्रमेय 16.2.7)।

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$\lambda$$t_1\downarrow t_2$$t_1$$t_2$$A$$c_A, c_A', c''_A,\ldots$$c_x$प्रत्येक चर अनुरूप करने के लिए उपयुक्त प्रकार ।$x$

1. आधार प्रकार पर , iff की -head सामान्य रूप है और उस के है और और अपने संबंधित प्रकारों पर।$B$$t_1\downarrow t_2$$\beta$$t_1$$c\ u_1\ldots u_n$$t_2$$d\ v_1\ldots v_n$$c=d$$u_1\downarrow v_1,\ldots, u_n\downarrow v_n$

2. तीरों के प्रकार पर, iff दोनों शर्तों -प्रूव्ड टू a -abstraction।$t_1\downarrow t_2$$\beta$$\lambda$

ध्यान दें कि मैं केवल इस परिभाषा में -conversion का उपयोग करता हूं ।$\beta$

अब मैं संदर्भों को परिभाषित करता हूं: क्रमशः सिर संदर्भ, आवेदन, अमूर्तता और प्रतिस्थापन (बंद शर्तों द्वारा) के साथ।

$$[\_]\mid E[\_]\ u\mid t\ E[\_]\mid \lambda x.\ E[\_]\mid E[\_]\theta$$

हम तब और को परिभाषित कर सकते हैं , टाइप का अच्छी तरह से अवलोकन किया जा सकता है यदि केवल और केवल हर संदर्भ के लिए जैसे कि अच्छी तरह से टाइप और बंद हो । हम इस मामले में लिखेंगे।$t$$t'$$T$$E[\_]$$E[t],E[t']$

$$E[t]\downarrow E[t']$$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$

अब यह देखना आसान है कि यदि तो । दूसरी दिशा कम तुच्छ है, लेकिन यह भी रखती है: वास्तव में, अगर , तो हम दिखा सकते हैं कि टाइप पर इंडक्शन द्वारा लिए शब्द समान हैं :$t=_{\beta\eta}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$\beta\eta$

1. आधार प्रकार, केवल अपने पसंदीदा लेने के होने के लिए , के साथ प्रतिस्थापन भेजता है को । हमारे पास और । हमारे पास और । हमारे पास फिर और इसलिए । अब हम उस तुरंत समाप्त नहीं कर सकते । वास्तव में, अगर और हैं , तो तुच्छता -abstractions$E[\_]$$[\_]\theta$$\theta$$x$$c_x$$E[t]=t\theta$$E[t']=t'\theta$$t\theta\rightarrow_\beta c_x\ u_1\theta\ldots u_n\theta$$t'\theta\rightarrow_\beta c_{x'}\ v_1\theta\ldots v_n\theta$$c_x=c_{x'}$$x=x'$$u_i\theta=_{\beta\eta}v_i\theta$$u_i$$v_i$$\lambda$$u_i\theta\downarrow v_i\theta$ ! यहां ट्रिक यह है कि को और इसे आवश्यक रूप से कई बार दोहराएं। मैं यहाँ विवरणों पर थोड़ा सा फजी हूँ, लेकिन यह विचार बॉम के प्रमेय ( बारड्रेगेट के रूप में फिर से १०.१.२.२) के समान है।$x$

   $$\lambda \vec{y}.\tilde{c_x}\ (y_1\vec{c_1})\ldots (y_n\vec{c_n})$$

2. तीर प्रकार में ले होने के लिए , यानी करने के लिए आवेदन साथ और में नहीं या । इंडक्शन परिकल्पना के अनुसार हमारे पास: और इसलिए जो और अंत में eta-असमानता द्वारा : $E[\_]$$[\_]\ c_y$$c_y$$c_y$$y$$t$$t'$

   $$t\ c_y \ =_{\beta\eta}\ t'\ c_y$$ $$t\ y \ =_{\beta\eta}\ t'\ y$$ $\lambda y.t\ y\ =_{\beta\eta}\ \lambda.t'\ y$$\eta$ $$t\ =_{\beta\eta}\ t'$$

उम्मीद से ज्यादा कठिन था!

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ठीक है, चलो सिस्टम T से निपटते हैं। आइए मिक्स, कंस्ट्रक्टर्स और के लिए एक टाइप जोड़ें , और प्रत्येक टाइप लिए एक " -rules" $\mathbb{N}$$0$$S$$\mathrm{rec_T}$$T$$\beta$

$$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ 0\rightarrow_{\beta} u$$ $$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ (S\ n)\rightarrow_{\beta} v\ n\ (\mathrm{rec_T}\ u\ v\ n)$$

हम ऊपर के रूप में एक ही प्रमेय साबित करना चाहते हैं। यह समतुल्य साबित करने के लिए " -rules" जोड़ने का प्रलोभन दे रहा है : जैसे जहां दाईं ओर शब्द "बेवकूफ पहचान" है जो उत्तराधिकारियों को केवल उन्हें फिर से जोड़ने के लिए छीलता है।$\eta$

$$\lambda x.x\ =_{\beta\eta}\ \mathrm{rec_{\mathbb{N}}}\ 0\ (\lambda k\ m.S\ m)$$ $m$

उदाहरण के लिए आइए इस नियम को जोड़ते हैं: जहां सामान्य नियम के रूप में एक ताजा चर है । अब ध्यान दें कि यह नियम पुनरावृत्ति करने योग्य है (आप लिए हर संभव प्रयास कर सकते हैं )।

$$\frac{f\ (S\ x)\ =_{\beta\eta}\ h\ x\ (f\ x)}{f\ t\ =_{\beta\eta}\mathrm{rec_T}\ (f\ 0)\ h\ t}$$ $x$$\eta$$h$

क्या हम ऊपर की तरह ही प्रमेय साबित कर सकते हैं? दुर्भाग्य से, जैसा कि आपको संदेह था, आप कुछ गॉडल नेस्टनेस में दौड़ने जा रहे हैं, या बल्कि क्लेन वेरिएंट ( विकिपीडिया देखें )। प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन , सिस्टम में एक टर्म का निर्माण करना आसान है, जैसे कि ( es के साथ) रिटर्न यदि अधिकांश चरणों में समाप्त होता है और अन्यथा।${\cal M}$$t_{\cal M}$$T$$t_{\cal M}\ (S\ldots\ S\ 0)$$n$ $S$$1$${\cal M}$$n$$0$

तो अब अगर समाप्त नहीं होता है, तो आप पूछ सकते हैं कि क्या सच (सत्य) समीकरण ऊपर दिए गए नियमों का उपयोग करने योग्य है। लेकिन लेने के लिए मशीन है कि iff समाप्त करता है प्रणाली (उपरोक्त नियमों के साथ) में सिद्ध है , आप मुसीबत में चलाने जा रहे हैं, यानी समीकरण सच है लेकिन साबित नहीं है (या पीनो अंकगणित असंगत है!)।टी एम = λ एक्स .0 बीटा η एम 0 = बीटा η एस 0 टी टी एम = λ एक्स ${\cal M}$

$$t_{\cal M}\ = \lambda x.0$$ $\beta\eta$${\cal M}$ $$0\ =_{\beta\eta}\ S\ 0$$ $T$$t_{\cal M}=\lambda x.0$

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! मेरा पहला सवाल है: क्या यह सामान्य रूप से अवलोकन के लिए संदर्भों में प्रतिस्थापन है? कम से कम प्लॉटकिन का एलसीएफ पेपर (1997) ऐसा नहीं करता है (हालांकि मैं कुछ ऐसा सोच सकता हूं कि कुछ क्लोजर कैलकुलस में समझ में आता है, जहां कुछ विकल्प जैसे वाक्यविन्यास का हिस्सा है)। लेकिन मैं आसानी से प्रत्येक "प्रतिस्थापन" संदर्भ के लिए देख सकता हूं कि कोई भी अधिक (मेरे लिए) "मानक" संदर्भ को परिभाषित कर सकता है, जो सिर्फ लैंबडा-एब्स्ट्रक्शन और एप्लिकेशन का उपयोग करता है, (λx। []) C_x; इसलिए मुझे लगता है कि ऊपर दी गई अवलोकन समतुल्यता उस परिभाषा के बराबर है जिसका उपयोग मैं करता हूं।

— ब्लेज़ोरब्लाड

"सही लेकिन सही साबित नहीं होने वाला" समीकरण (मेरा मानना ​​है) , न कि , right? निर्माण करने के लिए , मुझे लगता है कि आपको केवल किसी एक को खोजने के लिए प्रमाण की आवश्यकता होगी । हालाँकि, मैं अभी भी हार गया हूँ क्यों 0 = 1 कठिन है - वास्तव में, यह साबित करना आसान होना चाहिए कि क्योंकि वे दोनों सामान्य रूप हैं, और मैं अगर पीनो अंकगणित पर्याप्त मजबूत नहीं थे तो मुझे आश्चर्य नहीं होना चाहिए। 0 = बीटा η एस 0 एम 0 = बीटा η एस 0 0 ≠ बीटा η एस $t = \lambda x.0$$0 =_{\beta\eta} S 0$${\cal M}$$0 =_{\beta\eta} S 0$$0 \not=_{\beta\eta} S\ 0$

— ब्लिसोरब्लाड

इसके बजाय यह कहें कि अंकगणित की विसंगति के प्रमाण के लिए खोज करता है । आपके पास अभी भी क्योंकि अंकगणित सुसंगत है, लेकिन दूसरी अपूर्णता प्रमेय द्वारा, यह साबित करने के लिए पीनो अंकगणित (या जिन नियमों पर हमने चर्चा की है) की तुलना में अधिक मेटाथोरेटिक शक्ति की आवश्यकता होती है, इसलिए हमारे सरल नियम इस पर्यवेक्षणीय समानता का प्रमाण नहीं दे पाएंगे। इसका कोई मतलब भी है क्या? मैंने विकिपीडिया को देखा है, लेकिन गोडेल के परिणाम के क्लेन के संस्करण पर यह बहुत विशिष्ट नहीं है; शायद अगर मुझे वह सबूत बेहतर पता होता तो मैं भी आपके सबूत को समझ पाता। (इस बीच, आप को वैसे भी उभारते हुए)। टी = λ एक्स । ${\cal M}$$t = \lambda x . 0$

— २२:५२ पर ब्लिसोरब्लेड

3. ध्यान दें कि साबित कर सकते हैं , लेकिन नहीं " ताकि आप हमेशा के लिए है कि सबूत की तलाश में कोशिश कर सकते हैं",। मैंने में एक अवलोकन समानता खोजने के लिए ऊपर उसी तरह की चाल का उपयोग किया है जिसे किसी भी "उचित" समानता नियम द्वारा कब्जा नहीं किया जा सकता है। आप हमेशा नियम जोड़ सकते हैं, लेकिन यह गैर-प्रभावी (() होगा पूर्ण!)। मुझे लगता है कि आप के लिए क्या देख रहे हैं, हालांकि नहीं है। $\mathrm{PA}$$0\neq 1$$\mathrm{PA}\not\vdash 0=1$$T$ $$\frac{f\ 0=g\ 0\quad f\ (S\ 0)=g\ (S\ 0)\ldots}{f=g}$$

— कोड़ी

ये सही है! हालांकि यह कभी-कभी सबूत-सैद्धांतिक उद्देश्यों (जैसे क्रमिक विश्लेषण) के लिए इस तरह के "इन्फिनिटिक" सिस्टम पर विचार करने के लिए समझ में आता है।

— कोडी