ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत की विकिपीडिया-शैली की व्याख्या

क्या कोई गैर-विशेषज्ञों द्वारा मुल्मुले के जीसीटी दृष्टिकोण को समझने का संक्षिप्त विवरण प्रदान कर सकता है? एक स्पष्टीकरण जो इस विषय पर विकिपीडिया पृष्ठ के लिए उपयुक्त होगा (जो इस समय स्टब है)।

प्रेरणा: मैं स्कॉट एरोनसन की पुस्तक "क्वांटम कम्प्यूटिंग" का सह-पाठ कर रहा हूं क्योंकि डेमोक्रिटस मेरे एक दोस्त के साथ है जो स्ट्रिंग थ्योरी में शोधकर्ता है। पुस्तक की प्रस्तावना में, आरोनसन ने जीसीटी को "कंप्यूटर विज्ञान का कठोर सिद्धांत" कहा है। एक स्ट्रिंग सिद्धांतकार होने के नाते, मेरे मित्र इस दावे के बारे में उत्साहित हो गए और मुझसे पूछा कि जीसीटी क्या है। उस समय मुझे शर्म की बात है कि मुझे उनके सवाल का विकिपीडिया-तैयार उत्तर नहीं मिला।

cc.complexity-theory gct

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो
स्रोत

शायद जवाब एक बनाने के लिए है :)। या कम से कम इसे शुरू करें।

— सुरेश वेंकट

एक स्टब बनाएं - आपको पूरी बात खुद नहीं लिखनी है :)।

— सुरेश वेंकट

@ केव: बेशक दोनों क्षेत्रों के बीच कोई सीधा संबंध नहीं है! वास्तव में स्कॉट यह भी बताता है कि जीसीटी किस अर्थ में TCS का स्ट्रिंग सिद्धांत है (उनकी सैद्धांतिक भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में लोग क्रमशः उन विचारों के बारे में कैसे - बिल्कुल अलग सवालों के लिए!) पर एक मेटा-तर्क है। मैंने कहानी को केवल यह बताने के लिए बताया कि मेरे प्रश्न का क्या मतलब है, मेरा मतलब यह नहीं था कि दोनों क्षेत्र संबंधित हैं।

— एलेसेंड्रो कॉसेंटिनो

संबंधित प्रश्न: Mulmuley के GCT कार्यक्रम

— कावेह

यह भी देखें कि ज्ञात जटिलता अलगाव दिखाने के लिए मुल्मुले-सोहोनी जीसीटी दृष्टिकोण का उपयोग करना कितना मुश्किल है ? और मुल्मूली-सोहोनी ज्यामितीय निम्न सीमा के निर्माण के लिए प्राकृतिक प्रमाण (रज़ोरोव-रूडीच अर्थ में) के उत्पादन से कैसे बचती है? और प्राकृतिक सबूत और ज्यामितीय जटिलता में निर्माण

— vzn

जवाबों:

मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है कि विकिपीडिया लेख के लिए कौन सा स्तर उपयुक्त है (अलग-अलग लेख विशेषज्ञता के विभिन्न स्तरों पर लक्षित होते हैं) या वास्तव में आप क्या देख रहे हैं। तो यहाँ एक कोशिश है, लेकिन मैं प्रतिक्रिया के लिए खुला हूँ।

ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत कंप्यूटिंग कार्यों (जैसे, बहुपद) की कम्प्यूटेशनल जटिलता का अध्ययन जटिलता में निहित समरूपता और अध्ययन किए जा रहे कार्यों के किसी भी अतिरिक्त समरूपता का अध्ययन करने का प्रस्ताव करता है।

पिछले कई दृष्टिकोण के साथ के रूप में, अंतिम लक्ष्य दो जटिलता वर्गों को अलग करने के लिए है दिखा एक बहुपद है कि वहाँ से जो कार्यों लेता आदानों (जैसे कि, उनके गुणांक वैक्टर द्वारा) ऐसा है कि के रूप में हर कार्य पर गायब हो जाती है लेकिन कुछ समारोह पर गायब नहीं है । $\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$ $p$ $f$ $p$ $f \in \mathcal{C}_{easy}$ $g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

पहली कुंजी विचार (सीएफ [GCT1, GCT2]) नहीं कार्यों स्वयं को संगठित करने समानताएं उपयोग करने के लिए है, लेकिन (व्यवस्थित करने के लिए है algebro-ज्यामितीय के रूप में इस तरह के रूप बहुआयामी पद द्वारा कब्जा कर लिया,) इन कार्यों के गुण ऊपर। यह इस तरह के एक को खोजने के प्रयास में प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करने में सक्षम बनाता है । प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति से संबंधित समान विचार पहले भी बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किए गए थे, लेकिन मेरे ज्ञान में इस तरह से कभी नहीं थे। $p$ $p$

दूसरा मुख्य विचार (cf. [GCT6]) परिणामी प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी समस्याओं के लिए कॉम्बीनेटरियल (और बहुपद-काल) एल्गोरिदम खोजना है, और फिर इन-एल्गोरिदम को रिवर्स-इंजीनियर दिखाना है कि ऐसा मौजूद है। यह कुछ विशुद्ध रूप से दहनशील बयानों को साबित करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग (एक एल्गोरिथ्म) का उपयोग करने की भावना में लिया जा सकता है । $p$

वास्तव में, [GCT6] इंटगर प्रोग्रामिंग समस्याओं के ऊपर प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी समस्याओं को कम करने का सुझाव देता है, फिर यह दर्शाता है कि परिणामी आईपी उनके एलपी आराम द्वारा हल किए जाते हैं, और अंत में परिणामी एलपी के लिए दहनशील एल्गोरिदम दे रहे हैं। [जीसीटी 6] में अनुमान लिटवुड-रिचर्डसन गुणांकों के लिए रिवर्स-इंजीनियरिंग ज्ञात परिणामों से प्रेरित हैं, जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक अनुरूप लेकिन आसान समस्या है। एलआर गुणांक के मामले में, लिटलवुड-रिचर्डसन कॉम्बिनेटरियल शासन पहले आया था। बाद में बेरेनस्टाइन और ज़ेल्विंस्की [बीजेड] और नॉटसन और ताओ [केटी] (एक दोस्ताना अवलोकन के लिए [केटी 2] देखें) ने एलआर गुणांक के लिए एक आईपी दिया। नॉटसन और ताओ ने संतृप्ति अनुमान भी साबित किया, जिसका तात्पर्य है कि आईपी अपने एलपी छूट (cf. [GCT3, BI]) द्वारा हल किया गया है।

[GCT5] के परिणाम बताते हैं कि स्पष्ट रूप से Noether 's Normalization Lemma को आरेखित करना अनिवार्य रूप से बहुपद पहचान परीक्षण के ब्लैक-बॉक्स आरेख के जटिलता सिद्धांत में कुख्यात खुली समस्या के बराबर है । मोटे तौर पर कैसे बड़ा कार्यक्रम में इस फिट कि कार्यों के लिए एक स्पष्ट आधार नहीं पाया है कि (नहीं) पर गायब (इस मामले में, वर्ग, जिसके लिए निर्धारक पूरा हो गया है) प्राप्त एक करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वांछित समस्या के लिए दहनशील नियम, जैसा कि बीजीय ज्यामिति में अन्य सेटिंग्स में हुआ है। यहां एक मध्यवर्ती कदम उन लिए एक आधार खोजने के लिए होगा $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ $p$ (नहीं) को सामान्य पर गायब हो कि दूसरे शब्दों में, DET के लिए नोथेर के सामान्यीकरण लेम्मा derandomize करने के लिए - है, जो निर्माण के द्वारा एक अच्छे बीजीय विविधता है। $\mathcal{C}_{easy}$

जटिलता और कार्यों के समरूपता के उदाहरण

उदाहरण के लिए, एक समारोह की जटिलता - जटिलता के सबसे स्वाभाविक विचार के लिए - अपरिवर्तित अगर हम चर दूसरे स्थान पर रखना है द्वारा कुछ क्रमचय । इस प्रकार क्रमपरिवर्तन स्वयं जटिलता के सममिति हैं। जटिलता की कुछ धारणाओं के लिए (जैसे बीजगणितीय सर्किट जटिलता में) चर के सभी इनवर्टेबल रैखिक परिवर्तन सहानुभूति हैं। $f(x_1, \dotsc, x_n)$ $f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$ $\pi$

$\det(X)$ $\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$ $A,B$ $\det(AB) = 1$

कुछ हालिया प्रगति [यह अनुभाग निश्चित रूप से अधूरा और अधिक तकनीकी है, लेकिन एक पूर्ण खाता दसियों पृष्ठों को ले जाएगा .... मैं अभी हाल के दिनों को उजागर करना चाहता था]

Burgisser और Ikenmeyer [BI2] ने जीसीटी प्रोग्राम के बाद मैट्रिक्स गुणा पर एक कम दिखाया है जहाँ तक शून्य बनाम गैर-अक्षीय गुणकों के साथ अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है। लैंड्सबर्ग और ओटावियानी [एलओ] ने बीजगणितीय गुणों को व्यवस्थित करने के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करते हुए मैट्रिक्स गुणन की सीमा रैंक पर अनिवार्य रूप से का सबसे अच्छा ज्ञात निचला भाग दिया , लेकिन प्रतिनिधित्व गुणकों और न ही दहनशील नियमों का उपयोग नहीं किया। $\frac{3}{2}n^2$ $2n^2$

लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के बाद अगली समस्या है क्रोनकर गुणांक । ये दोनों समस्याओं की एक श्रृंखला में दिखाई देते हैं, जो अंततः GCT में उत्पन्न होने वाली प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी समस्याओं तक पहुंचने के लिए संदिग्ध होती हैं, और अधिक सीधे मैट्रिक्स गुणन और स्थायी बनाम निर्धारक के लिए GCT दृष्टिकोण में बहुलता पर सीमा के रूप में। क्रोनकर गुणांक के लिए एक संयोजन नियम खोजना प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक लंबे समय से खुली समस्या है; ब्लाशियाक [बी] ने हाल ही में एक हुक आकार के साथ क्रोनकेर गुणांक के लिए इस तरह के एक संयोजन नियम दिया।

कुमार [के] ने दिखाया कि कुछ निरूपण निर्धारक गुणक के समन्वित वलय में दिखाई देते हैं, स्तंभ लैटिन वर्ग अनुमान (cf. हुआंग-रोटा और अलोन-तारसी को मानते हुए; यह अनुमान भी संयोगवश ही है, [BI2] में दिखाई देता है; ])। इसलिए इन निरूपणों का उपयोग शून्य बनाम गैर-अक्षीय बहुलताओं के आधार पर निर्धारक से स्थायी रूप से अलग करने के लिए नहीं किया जा सकता है, हालाँकि बहुसंख्यकों के बीच अधिक सामान्य असमानता द्वारा स्थायी से अलग करने के लिए उनका उपयोग करना अभी भी संभव हो सकता है।

संदर्भ [ख] जे। ब्लासीक। एक हुक आकार के लिए क्रोनक गुणांक। arXiv: 1209.2018, 2012।

[बीआई] पी। बर्गिसर और सी। इकेनमेयर। लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक की सकारात्मकता के लिए एक अधिकतम-प्रवाह एल्गोरिथ्म। FPSAC 2009।

[बी २] पी। बर्गिसर और सी। इकेनमेयर। ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत के माध्यम से स्पष्ट निचली सीमाएं। arXiv: 1210.8368, 2012।

[BZ] ई। बेरेनस्टीन और एवी ज़ेलेवेन्स्की। लिए ट्रिपल गुणा और निकटवर्ती प्रतिनिधित्व के बाहरी बीजगणित के स्पेक्ट्रम। $\mathfrak{sl}(r+1)$ जे। बीजीय कंघी। 1 (1992), नहीं। 1, 7–22।

[GCT1] केडी मुल्मुले और एम। सोहोनी। ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत I: एक दृष्टिकोण पी बनाम एनपी और संबंधित समस्याओं के लिए। सियाम जे। कम्प्यूट। 31 (2), 496-526, 2001।

[GCT2] केडी मुल्मुले और एम। सोहोनी। ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत II: कक्षा किस्मों के बीच एंबेडिंग के लिए स्पष्ट अवरोधों की ओर। एसआईएएम जे। कॉम्पुट।, 38 (3), 1175–1206, 2008।

[GCT3] केडी मुल्मुले, एच। नारायणन, और एम। सोहोनी। जियोमेट्रिक जटिलता सिद्धांत III: लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के गैर-गायब होने पर निर्णय लेना। जे। बीजीय कंघी। 36 (2012), नहीं। 1, 103–110।

[GCT5] केडी मुलमुले। ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत V: बहुपद पहचान परीक्षण के ब्लैकबॉक्स व्युत्पन्नकरण और नोथर के सामान्यीकरण लेम्मा के व्युत्पन्नकरण के बीच समानता। एफओसीएस 2012, भी arXiv: 1209.5993।

[GCT6] केडी मुलमुले। ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत VI: सकारात्मकता के माध्यम से फ्लिप। , तकनीकी रिपोर्ट, कंप्यूटर विज्ञान विभाग, शिकागो विश्वविद्यालय, जनवरी 2011।

[के] एस। कुमार निर्धारक की कक्षा बंद करके समर्थित अभ्यावेदन का अध्ययन। arXiv: 1109.5996, 2011।

[एलओ] जेएम लैंड्सबर्ग और जी। ओटावियानी। मैट्रिक्स गुणन की सीमा रैंक के लिए नए निचले सीमा। arXiv: 1112.6007, 2011।

[केटी] ए। नॉटसन और टी। ताओ। टेंसर उत्पादों का छत्ते वाला मॉडल । I. संतृप्ति अनुमान का प्रमाण। $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ जे। आमेर। गणित। समाज। 12 (1999), नहीं। 4, 1055–1090।

[केटी 2] ए। नॉटसन और टी। ताओ। हनीकॉम्ब और हर्मिटियन मेट्रिसेस की रकम। नोटिस आमेर। गणित। समाज। 48 (2001), नहीं। 2, 175–186।

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

विकिपीडिया के लिए कौन सा स्तर उपयुक्त है, इसके बारे में अपने शुरुआती वाक्य को फिर से लिखें: संक्षिप्त उत्तर जितना संभव हो उतना सरल है, लेकिन कोई सरल नहीं है। एक विकिपीडिया लेख की शुरुआत, विशेष रूप से, व्यापक दर्शकों के लिए लिखी जानी चाहिए क्योंकि इसे (विषय का हैश किए बिना) लिखा जा सकता है; बाद के हिस्से अधिक तकनीकी बन सकते हैं। अधिक जानकारी के लिए विकिपीडिया गाइडलाइन en.wikipedia.org/wiki/WP:TECHNICAL देखें (और शायद यह कहे बिना जाना चाहिए कि सभी लेख इन लक्ष्यों में सफल नहीं होते हैं।)

— डेविड एप्पस्टीन

एक अच्छा विचार en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory के समान स्तर के लिए लक्ष्य करना हो सकता है जो कुछ हद तक धीरे से शुरू होता है लेकिन फिर बहुत अधिक तकनीकी हो जाता है।

— मुगीज़ी रिवाबंगिरा

मैं सीएस में गैर-विशेषज्ञों द्वारा समझने योग्य स्पष्टीकरण की तलाश में था, जो अभी भी किसी अन्य क्षेत्र (विशेष रूप से भौतिकी) में वैज्ञानिक हैं। आपका उत्तर इस आवश्यकता को पूरी तरह से पूरा करता है। धन्यवाद!

— एलेसेंड्रो कॉसेंटिनो

इसे विकिपीडिया पृष्ठ पर क्यों नहीं जोड़ा गया?

— सादतमाे

मैंने हाल ही में Mathoverflow https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-theory पर संबंधित प्रश्न का उत्तर दिया

चूँकि यह साइट शायद एक बेहतर स्थान है, मुझे बस उस उत्तर को नीचे दोहराना है। जोस या टिमोथी के संदर्भ उस एमओ प्रश्न के अन्य पदों के बारे में हैं।

चलो एक सामान्य होना मैट्रिक्स और डिग्री सजातीय बहुपद निर्धारक द्वारा दिए गए। आज्ञा दें जो लेता है का स्थायी $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$ $n\times n$ $F_1(X)={\rm det}(X)$ $n$

{एफ}_{2} (एक्स) = ({एक्स}_{n n})^{n - म} \times पी इ आर म [({एक्स}_{मैं जे})_{1 \leq मैं, जे \leq म}]

$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$

m \times m

$m\times m$ submatrix और पलता एक की पसंदीदा रैखिक रूप से आदेश की डिग्री के एक और सजातीय बहुपद बनाने के लिए

(एक भी प्रविष्टि इस्तेमाल कर सकते हैं

के बजाय

)। इस संशोधन को पैडिंग कहा जाता है । फिर संख्या

जहां

है

n

$n$

X_{11}

$X_{11}$

X_{n n}

$X_{nn}$

सी (म) = मिनट {n | n \geq म ए n घ \bar{जी \cdot {एफ}_{2}} \subset \bar{जी \cdot {एफ}_{1}}}

$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$

G

$G$

आयाम की affine अंतरिक्ष पर अभिनय

, जहां

जीवन और

कक्षाओं के Zariski बंद कर रहे हैं। क्षेत्र या बहादुर की परिकल्पना (की एक जटिल संस्करण में बड़ा अनुमान

) वह यह है कि

तेजी से किसी भी बहुपद से बढ़ता

।

G L (n^{2})

$GL(n^2)$

n^{2}

$n^2$

X

$X$

\bar{G \cdot F_{i}}

$\overline{G\cdot F_i}$

P \neq N P

${\rm P}\neq{\rm NP}$

c (m)

$c(m)$

m

$m$

अब अगर , तो एक है एक surjective -equivariant नक्शा डिग्री के बीच समन्वय के छल्ले के कुछ हिस्सों इन ऑर्बिट क्लोजर में से। तो खेल यह दिखाने की कोशिश करने के लिए है कि ऐसा नहीं होता है, अपर्याप्त रूप से बड़े सापेक्ष , एक गुणन बाधा के अस्तित्व को साबित करके $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$ $G$

C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d} ⟶ C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}

$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$

d

$d$

n

$n$

m

$m$ , यानी, एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व

जिसके लिए multiplicities संतुष्ट

या आदर्शों के स्तर पर

λ

$\lambda$

{म यू एल टी}_{λ} (सी [\bar{जी \cdot {एफ}_{1}}]_{घ}) < {म यू एल टी}_{λ} (सी [\bar{जी \cdot {एफ}_{2}}]_{घ})

${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$

{म यू एल टी}_{λ} (मैं [\bar{जी \cdot {एफ}_{1}}]_{घ}) > {म यू एल टी}_{λ} (मैं [\bar{जी \cdot {एफ}_{2}}]_{घ}) ।

${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$

$\lambda$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$ । टिमोथी द्वारा उल्लिखित बर्गिसर, इकेनमेयर और पैनोवा के काम में इस उम्मीद को तोड़ दिया गया है। हालांकि, बहुलता अवरोधों की संभावना अभी भी खुली है।

मुझे लगता है कि मुल्मुले का दृष्टिकोण इन बहुलताओं की गणना के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत से उपलब्ध सभी साधनों का लाभ उठाकर इस तरह के बहुलता अवरोधों के अस्तित्व को साबित करने की कोशिश करना है। निजी तौर पर, मैं कभी इस दृष्टिकोण का प्रशंसक नहीं रहा। कुछ गहराई में 19 वीं शताब्दी के अपरिवर्तनीय सिद्धांत का अध्ययन करने के बाद, उस युग के स्पष्ट औजारों का उपयोग करके कक्षा की पृथक्करण समस्या का दृष्टिकोण करना मेरे लिए अधिक स्वाभाविक लगता है। गोरोचो का यह लेख भी एक समान दिशा में इंगित करता है (मुझे संदेह है कि जोसेफ द्वारा उल्लिखित तीसरा लेख उसी नस में है)। शास्त्रीय भाषा में ( टर्नबुल या लिटिलवुड देखें ), एक को स्पष्ट रूप से एक मिश्रित सहवर्ती का निर्माण करना होगा जो पर गायब हो जाता है $F_1$ $F_2$ $m$ $G$ $\lambda$ $n^2$ $X$

$F_1$ $F_2$ $G=SL(2)$

{एफ}_{1} (एक्स, y) = {एक्स}^{4} + 8 {एक्स}^{3} y + 24 {एक्स}^{2} y^{2} + 32 एक्स y^{3} + 16 y^{4}

$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$

{एफ}_{2} (एक्स, y) = 16 {एक्स}^{4} - 24 {एक्स}^{3} y + 12 {एक्स}^{2} y^{2} - 2 एक्स y^{3} ।

$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$

F

$F$

एच (एफ) (एक्स, y) = \frac{\partial^{2} एफ}{\partial {एक्स}^{2}} \frac{\partial^{2} एफ}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} एफ}{\partial एक्स \partial y})}^{2} ।

$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$

x, y

$x,y$

F = F_{1}

$F=F_1$

F = F_{2}

$F=F_2$

तो जीसीटी के लिए एक संभावित सुपरोप्टिमिस्टिक "योजना" में चरणों का निम्नलिखित अनुक्रम शामिल है।

1) सहवर्ती के टन उत्पन्न करने का एक तरीका खोजें।

$F_1$

$F_2$

$GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $GL(n^2)$ $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $SL(n(n+1)/2)$ $SL(n)$

${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$ $F_1$

$F_1$ भी)। मेरी राय में, किसी को वैलेंट के अनुमान से पहले कौएमैन और बार-नेटन के कारण कमी के माध्यम से उस तरह के प्रश्न ( फोर कलर प्रमेय भी इस प्रकार का है) पर प्रगति करने की आवश्यकता है ।

$c(m)$

(\begin{matrix} 2 म \\ म \end{matrix}) - 1 ।

$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$

पुनश्च: मुझे यह जोड़ना चाहिए कि मेरा निराशावाद वैलेंट हाइपोथीसिस के लिए विशिष्ट है जो क्षेत्र में `रीमैन हाइपोथीसिस 'है। बेशक, एक बच्चे को स्नान के पानी के साथ नहीं फेंकना चाहिए और जीसीटी को बदनाम करना चाहिए क्योंकि यह अभी तक इस अनुमान को साबित करने में विफल रहा है। इस क्षेत्र में बहुत अधिक स्वीकार्य समस्याएं हैं जहां प्रगति हुई है और अधिक प्रगति की उम्मीद है। विशेष रूप से उपर्युक्त लेख ग्रूचो द्वारा देखें और लैंड्सबर्ग द्वारा समीक्षा करें।

— अब्देलमलेक अब्देसेलम
स्रोत

-4

जीसीटी जटिलता सिद्धांत सीमा साबित करने के लिए एक शोध कार्यक्रम है और एक तरह से अपने भारी अमूर्तता के कारण विकिपीडिया-शैली सार / सारांश को परिभाषित करता है, लेकिन टीसीएस भीड़ के लिए अच्छे सर्वेक्षण उपलब्ध हैं। [२] [३] [४] (और निश्चित रूप से विकिपीडिया विकिपीडिया प्रविष्टियों के लिए सबसे अच्छी जगह है)। यह मुल्मुले द्वारा 2000 के दशक के प्रारंभ में तैयार किया गया था और यह अपेक्षाकृत गणित में बहुत नया है और उन्नत गणित (बीजीय ज्यामिति) का उपयोग और उपयोग करता है जो TCS / जटिलता सिद्धांत में उत्पन्न नहीं हुआ था।

दृष्टिकोण को कुछ अधिकारियों द्वारा आशाजनक माना जाता है लेकिन संभवतः अन्य अधिकारियों द्वारा भी जटिल है अर्थात यह सिद्ध नहीं है और इसलिए विवादास्पद है कि क्या यह मानक ज्ञात "बाधाओं" को पार कर सकता है। (इस अर्थ में यह तथाकथित कुह्नियन "प्रतिमान पारी" के कुछ संकेतों को प्रदर्शित करता है।) यहां तक कि मुलुमेली का प्रस्ताव है कि यह वास्तविक रूप से सफल नहीं हो सकता (आगे की विकास के दशकों के बाद प्रमुख जटिलता वर्ग अलगाव साबित करने में)। यहाँ फोर्टेव द्वारा एक संशयवादी राय है, जो जटिलता सिद्धांत के क्षेत्र में एक प्रमुख प्राधिकरण है: [१]

एक विशाल पर्वत पर विचार करें और आप पर्वत तक पहुँचना चाहते हैं। केतन साथ आता है और कहता है कि वह आपको सिखाएगा कि पहाड़ पर चढ़ने के लिए आवश्यक उपकरण कैसे बनाए जाएं। यह अध्ययन का एक कठिन महीना लगेगा और वास्तव में ये उपकरण पहाड़ पर चढ़ने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। उन्हें सुधारने की आवश्यकता है और ये सुधार आपके जीवनकाल में नहीं होंगे। लेकिन क्या आप यह नहीं सीखना चाहते हैं कि दूसरे लोग अब से पहाड़ की चढ़ाई कैसे करेंगे?

[१] एन फोर्ट पी ब्लॉग से अलग कैसे साबित करें

[२] मुल्मुले-सोहोनी दृष्टिकोण को समझना बनाम पी। एनपी रेगन

[३] पी बनाम एनपी और जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी मुल्मुले पर

[४] P बनाम NP समस्या की ओर GCT कार्यक्रम मुल्मुले

— vzn
स्रोत

GEOMETRIC COMPLEXITY थ्योरी भी देखें : GEOMETERS JM लैंड्सबर्ग के लिए एक परिचय

— vzn