मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है कि विकिपीडिया लेख के लिए कौन सा स्तर उपयुक्त है (अलग-अलग लेख विशेषज्ञता के विभिन्न स्तरों पर लक्षित होते हैं) या वास्तव में आप क्या देख रहे हैं। तो यहाँ एक कोशिश है, लेकिन मैं प्रतिक्रिया के लिए खुला हूँ।
ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत कंप्यूटिंग कार्यों (जैसे, बहुपद) की कम्प्यूटेशनल जटिलता का अध्ययन जटिलता में निहित समरूपता और अध्ययन किए जा रहे कार्यों के किसी भी अतिरिक्त समरूपता का अध्ययन करने का प्रस्ताव करता है।
पिछले कई दृष्टिकोण के साथ के रूप में, अंतिम लक्ष्य दो जटिलता वर्गों को अलग करने के लिए है दिखा एक बहुपद है कि वहाँ से पी जो कार्यों लेता च आदानों (जैसे कि, उनके गुणांक वैक्टर द्वारा) ऐसा है कि के रूप में पी हर कार्य पर गायब हो जाती है च ∈ सी ई एक रों y लेकिन कुछ समारोह पर गायब नहीं है जी ज एक आर डी ∈ सी एच एक आर डी ।सीई एक रों y, सीज एक आर डीपीचपीच∈ सीई एक रों yजीज एक आर डी∈ सीज एक आर डी
पहली कुंजी विचार (सीएफ [GCT1, GCT2]) नहीं कार्यों स्वयं को संगठित करने समानताएं उपयोग करने के लिए है, लेकिन (व्यवस्थित करने के लिए है algebro-ज्यामितीय के रूप में इस तरह के रूप बहुआयामी पद द्वारा कब्जा कर लिया,) इन कार्यों के गुण ऊपर। यह इस तरह के एक पी को खोजने के प्रयास में प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करने में सक्षम बनाता है । प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति से संबंधित समान विचार पहले भी बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किए गए थे, लेकिन मेरे ज्ञान में इस तरह से कभी नहीं थे।पीपी
दूसरा मुख्य विचार (cf. [GCT6]) परिणामी प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी समस्याओं के लिए कॉम्बीनेटरियल (और बहुपद-काल) एल्गोरिदम खोजना है, और फिर इन-एल्गोरिदम को रिवर्स-इंजीनियर दिखाना है कि ऐसा मौजूद है। यह कुछ विशुद्ध रूप से दहनशील बयानों को साबित करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग (एक एल्गोरिथ्म) का उपयोग करने की भावना में लिया जा सकता है ।पी
वास्तव में, [GCT6] इंटगर प्रोग्रामिंग समस्याओं के ऊपर प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी समस्याओं को कम करने का सुझाव देता है, फिर यह दर्शाता है कि परिणामी आईपी उनके एलपी आराम द्वारा हल किए जाते हैं, और अंत में परिणामी एलपी के लिए दहनशील एल्गोरिदम दे रहे हैं। [जीसीटी 6] में अनुमान लिटवुड-रिचर्डसन गुणांकों के लिए रिवर्स-इंजीनियरिंग ज्ञात परिणामों से प्रेरित हैं, जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक अनुरूप लेकिन आसान समस्या है। एलआर गुणांक के मामले में, लिटलवुड-रिचर्डसन कॉम्बिनेटरियल शासन पहले आया था। बाद में बेरेनस्टाइन और ज़ेल्विंस्की [बीजेड] और नॉटसन और ताओ [केटी] (एक दोस्ताना अवलोकन के लिए [केटी 2] देखें) ने एलआर गुणांक के लिए एक आईपी दिया। नॉटसन और ताओ ने संतृप्ति अनुमान भी साबित किया, जिसका तात्पर्य है कि आईपी अपने एलपी छूट (cf. [GCT3, BI]) द्वारा हल किया गया है।
[GCT5] के परिणाम बताते हैं कि स्पष्ट रूप से Noether 's Normalization Lemma को आरेखित करना अनिवार्य रूप से बहुपद पहचान परीक्षण के ब्लैक-बॉक्स आरेख के जटिलता सिद्धांत में कुख्यात खुली समस्या के बराबर है । मोटे तौर पर कैसे बड़ा कार्यक्रम में इस फिट कि कार्यों के लिए एक स्पष्ट आधार नहीं पाया है कि (नहीं) पर गायब सी ई एक रों y (इस मामले में, वर्ग, जिसके लिए निर्धारक पूरा हो गया है) प्राप्त एक करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वांछित समस्या के लिए दहनशील नियम, जैसा कि बीजीय ज्यामिति में अन्य सेटिंग्स में हुआ है। यहां एक मध्यवर्ती कदम उन पी के लिए एक आधार खोजने के लिए होगापीसीई एक रों yपी(नहीं) को सामान्य पर गायब हो कि दूसरे शब्दों में, DET के लिए नोथेर के सामान्यीकरण लेम्मा derandomize करने के लिए - है, जो निर्माण के द्वारा एक अच्छे बीजीय विविधता है।सीई एक रों y
जटिलता और कार्यों के समरूपता के उदाहरण
उदाहरण के लिए, एक समारोह की जटिलता - जटिलता के सबसे स्वाभाविक विचार के लिए - अपरिवर्तित अगर हम चर दूसरे स्थान पर रखना है च ( एक्स π ( 1 ) , ... , एक्स π ( n ) ) द्वारा कुछ क्रमचय π । इस प्रकार क्रमपरिवर्तन स्वयं जटिलता के सममिति हैं। जटिलता की कुछ धारणाओं के लिए (जैसे बीजगणितीय सर्किट जटिलता में) चर के सभी इनवर्टेबल रैखिक परिवर्तन सहानुभूति हैं।च( x)1, ... , एक्सn)च( x)π( 1 ), ... , एक्सπ( एन ))π
det ( A X B ) = det ( X T ) = det ( X ) A , B det ( A B ) = 1हिरासत ( एक्स))det ( ए एक्स)बी ) = डिटेल ( एक्सटी) = डिटेल ( एक्स)ए , बीdet ( A B ) = 1
कुछ हालिया प्रगति [यह अनुभाग निश्चित रूप से अधूरा और अधिक तकनीकी है, लेकिन एक पूर्ण खाता दसियों पृष्ठों को ले जाएगा .... मैं अभी हाल के दिनों को उजागर करना चाहता था]
Burgisser और Ikenmeyer [BI2] ने जीसीटी प्रोग्राम के बाद मैट्रिक्स गुणा पर एक कम दिखाया है जहाँ तक शून्य बनाम गैर-अक्षीय गुणकों के साथ अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है। लैंड्सबर्ग और ओटावियानी [एलओ] ने बीजगणितीय गुणों को व्यवस्थित करने के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करते हुए मैट्रिक्स गुणन की सीमा रैंक पर अनिवार्य रूप से का सबसे अच्छा ज्ञात निचला भाग दिया , लेकिन प्रतिनिधित्व गुणकों और न ही दहनशील नियमों का उपयोग नहीं किया।2एन232n22 एन2
लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के बाद अगली समस्या है क्रोनकर गुणांक । ये दोनों समस्याओं की एक श्रृंखला में दिखाई देते हैं, जो अंततः GCT में उत्पन्न होने वाली प्रतिनिधित्व-सिद्धांत संबंधी समस्याओं तक पहुंचने के लिए संदिग्ध होती हैं, और अधिक सीधे मैट्रिक्स गुणन और स्थायी बनाम निर्धारक के लिए GCT दृष्टिकोण में बहुलता पर सीमा के रूप में। क्रोनकर गुणांक के लिए एक संयोजन नियम खोजना प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक लंबे समय से खुली समस्या है; ब्लाशियाक [बी] ने हाल ही में एक हुक आकार के साथ क्रोनकेर गुणांक के लिए इस तरह के एक संयोजन नियम दिया।
कुमार [के] ने दिखाया कि कुछ निरूपण निर्धारक गुणक के समन्वित वलय में दिखाई देते हैं, स्तंभ लैटिन वर्ग अनुमान (cf. हुआंग-रोटा और अलोन-तारसी को मानते हुए; यह अनुमान भी संयोगवश ही है, [BI2] में दिखाई देता है; ])। इसलिए इन निरूपणों का उपयोग शून्य बनाम गैर-अक्षीय बहुलताओं के आधार पर निर्धारक से स्थायी रूप से अलग करने के लिए नहीं किया जा सकता है, हालाँकि बहुसंख्यकों के बीच अधिक सामान्य असमानता द्वारा स्थायी से अलग करने के लिए उनका उपयोग करना अभी भी संभव हो सकता है।
संदर्भ
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