एनपी में प्राकृतिक समस्या के लिए सबसे अच्छा ज्ञात नियतात्मक समय जटिलता कम है

Question

यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में प्रमुख अनसुलझी समस्याओं का जवाब है ? सवाल कहा गया है कि यह खुला है अगर एनपी में एक विशेष समस्या की आवश्यकता है $\Omega(n^2)$ समय।

जवाब के तहत टिप्पणियों को देखकर मुझे आश्चर्य हुआ:

पैडिंग और समान तरकीबों के अलावा, एनपी में एक दिलचस्प समस्या (जिसे प्राकृतिक तरीके से कहा गया है ) के लिए सबसे अच्छा ज्ञात समय जटिलता एक नियतात्मक रैम मशीन (या कई-टेप निर्धारणकर्ता ट्यूरिंग मशीन ) पर कम है?

क्या एनपी में कोई प्राकृतिक समस्या है जो एक उचित मशीन मॉडल पर द्विघात नियतात्मक समय में असंगत होने के लिए जानी जाती है?

अनिवार्य रूप से, मैं जो देख रहा हूं वह एक उदाहरण है जो निम्नलिखित दावे को नियंत्रित करता है:

किसी भी प्राकृतिक एनपी समस्या को $O(n^2)$ समय में हल किया जा सकता है ।

क्या हम Karp के 1972 के पेपर या गैरी और जॉनसन 1979 के समान कोई एनपी समस्या जानते हैं जिसके लिए $\Omega(n^2)$ नियत समय की आवश्यकता होती है ? या क्या यह हमारे ज्ञान का सबसे अच्छा संभव है कि सभी दिलचस्प प्राकृतिक एनपी समस्याओं को $O(n^2)$ नियतात्मक समय में हल किया जा सकता है ?

संपादित करें

निचले बाउंड के बीच मिसमैच से उत्पन्न किसी भी भ्रम को दूर करने के लिए स्पष्टीकरण और ऊपरी सीमा नहीं : मैं एक ऐसी समस्या की तलाश में हूं जिसे हम जानते हैं कि हम में हल नहीं कर सकते हैं । यदि कोई समस्या संतुष्ट मजबूत आवश्यकता है कि Ω ( एन 2 ) या ω ( एन 2 ) समय की जरूरत है (सभी बड़े पर्याप्त इनपुट के लिए) तो बेहतर है, लेकिन असीम अक्सर करेंगे।$o(n^2)$$\Omega(n^2)$$\omega(n^2)$

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एनपी में प्राकृतिक समस्याओं के लिए मुझे पता है कि एकमात्र सुपरलाइनियर लोअर बाउंड सैट ( dl.acm.org/citation.cfm?doid=1101821.1101822) के लिए स्पेस स्पेसऑफ़ हैं , और @RyanWilliams के लिए काम जारी है, जो बहुत अधिक जानते हैं) । और वे कहते हैं कि अगर अंतरिक्ष को रैखिक होने दिया जाए तो वे कुछ नहीं करते।

— साशो निकोलेव

@SashoNikolov, समय-स्थान परिणाम SAT के लिए हैं और कई प्राकृतिक एनपी समस्याओं से SAT तक कोई कमी नहीं है जहां आउटपुट का आकार रेखीय रूप से इनपुट के आकार में बंधा हुआ है। एक कुछ प्राकृतिक एनपी समस्या जरूरत SAT के लिए एक मजबूत परिणाम संकेत नहीं वर्तमान में जाना जाता है की तुलना में के लिए कम ही सीमित है। $\Omega(n^2)$

— अनाम

मैं कह रहा हूँ मैं किसी भी अन्य प्राकृतिक एनपी समस्या के लिए किसी भी सुपर रैखिक कम नहीं जानता हूँ

— साशो निकोलेव

आप के साथ एक एनपी में एक कृत्रिम समस्या प्राप्त करने के लिए कैसे padding प्रयोग करते हैं समय जटिलता बाध्य कम? $\Omega(n^2)$

— रॉबिन कोठारी

@RobinKothari, DTIME (में एक समस्या ले ) और पैड यह। सबूत nondeterministic समय पदानुक्रम प्रमेय पर निर्भर करता है और उदाहरण के लिए पैडिंग सही तरीका नहीं था। हम Ntime (में एक एनपी समस्या ले जा सकते हैं Ω ( एन 2 ) ) सीधे। $\Omega(2^n)$$\Omega(n^2)$

— अनाम

Answer 1

अडाची, Iwata, और एक में Kasai 1984 JACM कागज बिल्ली और उस कमी से शो -Mice खेल है एक n Ω ( कश्मीर ) समयबद्ध कम है। समस्या से प्रत्येक के लिए पी में है कश्मीर । समस्या एक निर्देशित ग्राफ़ पर खेली जाती है। चाल बिल्ली से मिलकर बनता है और फिर कश्मीर चूहों में से एक है । चूहे जीत जाते हैं अगर वे बिल्ली की जमीन पर एक निर्दिष्ट पनीर नोड पर उतर सकते हैं। सवाल यह है कि क्या बिल्ली की जबरन जीत होती है। यह वास्तव में एक पूर्ण समस्या है, इसलिए निचली सीमा वास्तव में विकर्ण पर आधारित है जो समय को पदानुक्रम देती है।$k$$n^{\Omega(k)}$$k$$k$

ग्रैजियन ने दिखाया कि पिप्पेन्गेर, पॉल, सजमेरी, और ट्रॉट्टर टाइम लो बाउंड एक सैट एन्कोडिंग पर लागू होता है, हालांकि संथानम का परिणाम इसे कम कर सकता है।

अन्य टिप्पणियों में उल्लिखित सैट के लिए टाइम-स्पेस ट्रेडऑफ़ लोअर बाउंड्स के अलावा, ब्रांचिंग प्रोग्राम लोअर बाउंड्स पर काम का एक निकाय है जो ट्यूरिंग मशीनों के लिए टाइम-स्पेस ट्रेडऑफ़ करता है। FFT जैसी समस्याओं के लिए, सार्वभौमिक हैश फ़ंक्शंस को सॉर्ट करना या कंप्यूटिंग करना बोरोडिन-कुक, अब्राहमसन, मंसूर-निसान-तिवारी के द्विघात ट्रेडऑफ़ कम सीमाएं हैं, लेकिन ये कई आउटपुट वाले फ़ंक्शंस के लिए हैं। पी में निर्णय की समस्याओं के लिए, टाइम-स्पेस ट्रेडऑफ लोअर सीमाएं हैं जो समय सीमा के लिए लागू होती हैं जो लेकिन ये सैट के लिए कमजोर हैं।$O(n \log n)$

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एनपी के लिए बिल्ली और माउस के खेल के संबंध पर कोई विचार?

— vzn

Answer 2

जिस क्लासिक परिणाम के बारे में मुझे पता है, वह पॉल, पिपेनजर, सजेमेरी और ट्रॉटर (1983) के कारण है और निर्धारक को निर्धारक-रैखिक समय से अलग करता है।

फिर, Fortnow, Lipton, van Melkebeek और Viglas (2004) द्वारा हाल ही के परिणाम का उल्लेख किया गया है। इस परिणाम की विशिष्टता यह है कि यह एक समय-स्थान वाला ट्रेडऑफ़ परिणाम है, समय के साथ-साथ अंतरिक्ष को भी सीमित करता है।

हालांकि, मैं भी की वजह से एक परिणाम के बारे में पता कर रहा हूँ संथानम (2001) साबित करता है कि एक के लिए बाध्य निचले । यह परिणाम उपर्युक्त की तुलना में समय के लिए थोड़ा मजबूत है, लेकिन अंतरिक्ष के लिए कोई गारंटी नहीं देता है।$\omega (n \sqrt{ \log ^{*} n} )$

क्षेत्र के अपने ज्ञान के साथ-साथ उपरोक्त को देखते हुए, मैं कहूंगा कि यह साबित करना है कि एक -complete समस्या है जिसे O ( n) में हल नहीं किया जा सकता है$\mathbb{NP}$निर्धारक समय काफी बड़ा कदम होगा। जहां तक ​​मुझे पता है, इस तरह के परिणाम को अत्यधिक nontrivial माना जाता है और नई निचली बाध्य तकनीकों की आवश्यकता होती है।$O(n^{2})$

नोट: अंतिम पैराग्राफ में समस्या का मेरा शब्दांकन आपके प्रश्न से अलग है। मैं नाइट-पिकी हो सकता है (और शायद ज्यादा मदद का नहीं) और आपको बता दूं कि तुच्छ रूप से में अनंत समस्याएं हैं और इस तरह N P में O ( n 2) को हल नहीं किया जा सकता है$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$ नियत समय में, नियतात्मक समय तकपदानुक्रम प्रमेय।$O(n^{2})$

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संपादित करें: आगे की सोच पर, यहां बताया गया है कि आप N P में समस्या कैसे पा सकते हैं$\mathbb{NP}$ आपकी आवश्यकताओं के अनुरूप है:

1. के लिए बाध्य एक कम के साथ किसी भी प्राकृतिक समस्या है, जहां च ( एन ) = Ω ( एन 2 लॉग एन ) । द्वारा DTIME पदानुक्रम प्रमेय लिए ऐसा करना आवश्यक ω ( एन 2 ) समय। मेरा मानना ​​है कि इनमें से कुछ मुट्ठी भर मौजूद हैं।$DTIME ( f(n) )$$f(n) = \Omega ( n^{2} \log n)$$\omega( n^{2} )$
2. के लिए बाध्य एक कम के साथ किसी भी प्राकृतिक समस्या है, जहां च ( एन ) = ω ( एन 2 ) , Ntime पदानुक्रम का उपयोग करके। मैं ऐसी किसी भी प्राकृतिक समस्या से अवगत नहीं हूं।$NTIME ( f(n) )$$f(n) = \omega ( n^{2} )$
3. के लिए बाध्य एक कम के साथ किसी भी प्राकृतिक समस्या है, जहां च ( एन ) = ω ( n 2 / लॉग इन करें n ) । यह टाइम-स्पेस जुदाई द्वारा उचित है। मेरा मानना ​​है कि$SPACE ( f(n) )$$f(n) = \omega ( n^{2} / \log n)$

उपरोक्त निचली सीमा को समस्या की थोड़ी जटिलता के लिए धारण करना चाहिए।

एक बार फिर, यदि आप अपना ध्यान -complete समस्याओं पर रोकते हैं, तो मुझे इस तरह की निचली सीमाओं की जानकारी नहीं है।$\mathbb{NP}$

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सवाल एक प्राकृतिक समस्या के बारे में पूछता है

— सैशो निकोलेव

धन्यवाद, लेकिन मैं नियतात्मक बनाम गैर नियतात्मक समय के बारे में नहीं कह रहा हूँ: आप Ntime (में किसी भी समस्या के ले जा सकते हैं के रूप में यह आवश्यक है) लंबे समय के रूप Ω ( एन 2 ) नियतात्मक समय। न तो दूसरा परिणाम मेरे प्रश्न का उत्तर देता है, क्योंकि यह अंतरिक्ष को प्रतिबंधित करता है, लेकिन क्योंकि यह केवल सैट के लिए है, प्रश्न के नीचे सैशो निकोलोव को मेरा उत्तर देखें। और वहाँ एन पी-सम्पूर्ण समस्याओं कि निर्धारणात्मक में हल नहीं किया जा सकता है Ω ( एन 2 ) गद्दी से, मैं देख रहा हूँ प्राकृतिक उदाहरण। $n^k$$\Omega(n^2)$$\Omega(n^2)$

— अनाम

@ अनाम आप कह रहे हैं कि सैट एक प्राकृतिक समस्या नहीं है?

— साशो निकोलेव

@ सशाओनिकोलोव, सैट एक प्राकृतिक समस्या है। हालाँकि परिणाम मेरे प्रश्न का सकारात्मक उत्तर नहीं देता है। इसलिए मैंने इसकी व्याख्या करते हुए कहा कि मेरे प्रश्न का कोई बेहतर उत्तर ज्ञात नहीं है। ऐसा होने की जरूरत नहीं है। इस अर्थ में यह मेरे प्रश्न का उत्तर नहीं देता है।

— अनाम

मैं एक आखिरी बार कोशिश करूंगा: जब आप सही हैं कि ऐसा कोई निहितार्थ नहीं है, तो मैं काफी हद तक निश्चित हूं कि किसी भी प्राकृतिक एनपी समस्या के लिए नियतात्मक समय के खिलाफ कोई ज्ञात बिना शर्त द्विघात नहीं है। यह सैट परिणामों से पालन नहीं करता है; यह सिर्फ मामलों की स्थिति है

— सैशो निकोलेव

Answer 3

शायद एक काफी प्राकृतिक उदाहरण समयबद्ध कोलमोगोरोव जटिलता से आता है :

$k$$f(n) \leq n$$x$$M$$|M| < f(|x|)$$M$$x$$|x|^k$

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Thank you, it is not completely artificial but I don't find it a satisfying natural example.

— Anonymous

how do you know that your ramsey problem requires $\Omega(n^k)$ time?

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov: I deleted the Ramsey part ... it needs a formal proof :-(

— Marzio De Biasi

Answer 4

This is just reasking the same question of P=NP in the a different way, if you can prove that its unsolvable in quadratic time or find an absolute lower bound, you would be proving P!=NP

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Why would a quadratic lower bound for a natural problem in NP show P != NP?

— Robin Kothari