नमूनाकरण की जटिलता (लगभग) एक बूलियन फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण

एक बात जो क्वांटम कंप्यूटर कर सकते हैं (संभवतः सिर्फ BPP + लॉग-डेप्थ क्वांटम सर्किट के साथ भी) पी में एक बूलियन प्रचलित फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण को अनुमानित-नमूना करना है। $\pm 1$

यहाँ और जब मैं नमूना फूरियर को बदलने मैं के अनुसार एक्स चुनने मतलब के बारे में बात नीचे । (सामान्यीकृत यदि आवश्यक हो और लगभग)। $|\hat f(x)|^2$

क्या हम जटिलता वर्ग का वर्णन कर सकते हैं, जिसे हम पी के फुलियर सैम्पलिंग कह सकते हैं, पी के अनुमानित नमूनाकरण कार्य? क्या ऐसी समस्याएं हैं जो इस वर्ग के लिए पूरी हैं?

बूलियन फ़ंक्शंस की दसवीं कक्षा को देखते हुए कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में क्या कहा जा सकता है, जिसे हम एक्स में कार्यों के फूरियर रूपांतरण के नमूने का नमूना देने के सैमलिंग-एक्स के रूप में संदर्भित कर सकते हैं (मुझे लगता है कि अगर एक्स बीक्यूपी है तो एक्स-सैमप्लिंग है। अभी भी क्वांटम कंप्यूटर की शक्ति के भीतर।)

P में SAMPLING-X कहाँ है? क्या ऐसे दिलचस्प उदाहरण हैं जहां SAMPLING-X एनपी-हार्ड है?

इस समस्या के कई रूप हैं जो दिलचस्प भी हो सकते हैं। फ़ॉयर साइड पर, लगभग-सैंपल के बजाय हम अनुमानित सैंपलिंग द्वारा सक्षम (प्रोबेबिलिस्टीली) एक निर्णय समस्या के बारे में बात कर सकते हैं। मौलिक पक्ष पर, हम प्रायिकता वितरण के दसवीं कक्षा के साथ शुरू कर सकते हैं और पूछ सकते हैं कि एक्स में एक वितरण डी लगभग नमूना करने की क्षमता और (सामान्यीकृत) फूरियर रूपांतरण के नमूने के बीच क्या संबंध है।

संक्षेप में, इस प्रश्न के बारे में क्या ज्ञात है।

अपडेट: मार्टिन श्वार्ज ने कहा कि यदि सभी फूरियर गुणांक स्वयं प्रविष्टियों की एक बहुपद संख्या पर केंद्रित होते हैं तो बीपीपी में इन बड़े गुणांक (और इस तरह भी लगभग नमूने के लिए) लगभग संभव है। यह गोदरिख-लेविन पर वापस जाता है। और कुशिलेवित्ज़-मंसूर। क्या कार्यों के दिलचस्प वर्ग हैं जहां फूरियर पक्ष के लगभग नमूने के लिए एक संभाव्य बहुपद एल्गोरिथ्म है, जहां फूरियर गुणांक बहुपद से कई गुणांक से अधिक में फैले हुए हैं?

बाद में जोड़ा गया: मुझे कुछ ठोस समस्याओं का उल्लेख करना चाहिए।

1) पी में बूलियन कार्यों के फूरियर रूपांतरण को लगभग कितना कठिन है।

क) एक प्रश्न जो स्कॉट आरोनसन ने नीचे टिप्पणी में उल्लेख किया है, यह दिखाने के लिए है कि यह बीपीपी में नहीं है। या लाइनों के साथ कुछ कमजोर है कि अगर यह कार्य बीपीपी में है तो कुछ पतन हो रहा है। (स्कॉट का अनुमान है कि यह मामला है।)

ख) एक अन्य प्रश्न यह दिखाना है कि यह कार्य कुछ क्वांटम-आधारित जटिलता वर्ग के संबंध में कठिन है। उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए कि यदि आप इस कार्य को कर सकते हैं, तो आप लॉग-डेप्थ क्वांटम कंप्यूटरों से सहायता प्राप्त BPP में निर्णय की समस्याओं को हल कर सकते हैं, या उसके बाद कुछ कर सकते हैं।

2) बूलियन फ़ंक्शंस की कौन-सी कक्षाएँ हैं जैसे कि उनके फोरलर ट्रांसफ़ॉर्मिंग का नमूना पी में है। हम जानते हैं कि यही वह स्थिति है जब फूरियर गुणांक बहुपद कई गुणांक पर केंद्रित होते हैं, लेकिन यह बहुत प्रतिबंधित है।

3) क्या पीएच में कुछ जटिलता वर्ग एक्स उच्च है जो एक एक्स-मशीन लगभग हर फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण का नमूना कर सकता है जो एक एक्स-मशीन गणना कर सकता है।

4) मैं विशेष रूप से n हेक्सागोनल ग्रिड द्वारा n पर percolation के लिए क्रॉसिंग घटना के फूरियर रूपांतरण के नमूने की समस्या में रुचि रखता था।

— गिल कलाई
स्रोत

गिल, मामले में यह आपके लिए ब्याज की है: एलेक्स आर्किपोव और इससे पहले कि मैंने बोसोनसम्पलिंग पर काम करना शुरू कर दिया, "मूल" बात जो मैं साबित करना चाहता था कि अनुमानित फूरियर नमूना समस्या - यानी, वास्तव में आपके द्वारा वर्णित समस्या - बीपीपी में जब तक बहुपद पदानुक्रम का पतन नहीं होता है। दुर्भाग्य से, मैं यह साबित करने में सक्षम नहीं था या यहां तक कि इसके लिए अच्छे सबूत भी मिले, जिसने हमें बोसोन और "मजबूत # पी-पूर्ण" स्थायी पर ध्यान देने के लिए प्रेरित किया। हालाँकि, मैं अब अपने अनुमान को दोहराना चाहूँगा कि अनुमानित फूरियर नमूना कठिन है, केवल यह मानते हुए कि PH अनंत है। :-)

— स्कॉट आरोनसन

धन्यवाद, स्कॉट, यह बहुत दिलचस्प है। मैं प्रश्न के अगले संपादन में कुछ अन्य लोगों के साथ आपके अनुमान का उल्लेख करूंगा।

— गिल कलाई

BTW, स्कॉट, स्थायी के माध्यम से तर्क नहीं है जो दिखाता है कि BPP में BOSONSAMPLING से तात्पर्य PH कार्यों के टूटने से भी फ़ॉयर नमूनाकरण के लिए है?

— गिल कलाई

गिल: हाँ, सटीक नमूना एल्गोरिदम के लिए, ठीक उसी तर्क से गुजरता है। लेकिन अनुमानित नमूना एल्गोरिदम के लिए, मुझे यकीन नहीं है: किसी को यह विश्वास करने की आवश्यकता होगी कि फूरियर गुणांक के अनुमानित गणना औसतन # पी-पूर्ण होनी चाहिए, जैसे कि आर्किपोव और मैंने अनुमान लगाया था कि एक आईड गॉसियन मैट्रिक्स के स्थायी को # होना चाहिए पी-औसत पर पूरा।

— स्कॉट एरॉनसन

Kushilevitz-मंसूर , सिद्धांत स्थापित करता सीखने में एल्गोरिथ्म है कि जब भी लगभग विरल है, यानी वहाँ केवल हैं -कई बड़े फूरियर निरपेक्ष मूल्य के गुणांकों , तो हम उनके स्थानों का पता लगा सकते हैं और में उनके जटिल मानों का अनुमान लगा सकते हैं । बेशक आप कुशलतापूर्वक उस सूची से नमूना भी ले सकते हैं। सटीक होना, $\hat{f}(x)$ $O(poly(n))$ $\Omega(1/poly(n))$ $\sf{BPP}$ कुशिलेवित्ज़-मंसूर ने केवल से अधिक फूरियर ट्रांसफॉर्म के बारे में बात की थी , लेकिन सामान्य परिमित एबेलियन समूहों पर एफटी के सामान्यीकरण (उदाहरण के लिए अकाविया की थीसिस ) को जाना जाता है। $\mathbb{Z}_2$

क्वांटम कंप्यूटिंग के इस अनुप्रयोग के रूप में, कोई यह दिखा सकता है कि हैडमर्ड-टोफोली-हैडमर्ड गेट के ब्लॉकों में संरचित क्वांटम सर्किट के आउटपुट राज्य को कुशलता से वादा किया जा सकता है कि कम्प्यूटेशनल आधार में लिखित आउटपुट राज्य लगभग विरल है (देखें मेरी QIP'2010 पोस्टर यहाँ , और पूर्व प्रिंट यहाँ )। यदि स्पार्सिटी की धारणा को गिरा दिया जाता है, तो हम साइमन के एल्गोरिथ्म (या शोर) का अनुकरण कर सकते हैं, जो कि साइमन की समस्या के लिए क्वेरी के निचले हिस्से के विपरीत, बिल्कुल उस संरचना का है। $\Omega(2^{n/2})$

— मार्टिन श्वार्ज
स्रोत

धन्यवाद, मार्टिन! मुझे लगता है कि यह ज्ञात नहीं है कि एसी ^ 0 फ़ंक्शन, यहां तक कि Furiet ट्रांसफ़ॉर्म से नमूना लेना कितना कठिन है? (गहराई -2 के मामले में मंसूर का अनुमान है कि यह बहुपद है (यादृच्छिकता के साथ)।

— गिल कलाई