एक ग्राफ की औसत दूरी की गणना करने की जटिलता

Question

Let कनेक्टेड ग्राफ की औसत दूरी हो$\rm{ad}(G)$$G.$

एक तरीका यह गणना करने के लिए के तत्वों संक्षेप द्वारा होता है की दूरी मैट्रिक्स और उचित रूप से योग स्केलिंग।$\rm{ad}(G)$$D(G),$$G$

यदि आउटपुट ग्राफ एक पेड़ है तो यह ज्ञात है कि औसत दूरी की गणना रैखिक समय में की जा सकती है (देखें। बी। मोहर, टी। पिंस्की - एक ग्राफ के वीनर इंडेक्स की गणना कैसे करें)। वहाँ के रूप में अच्छी तरह से घिरा पेड़ की चौड़ाई के साथ रेखांकन के लिए तेजी से एल्गोरिदम प्रतीत होता है।

एक दिलचस्प सवाल यह है कि क्या यह को जानने में मदद करता हैदूसरे शब्दों में$D(G).$

क्या उप-द्विघात समय में गणना करना संभव है ?$\rm{ad}(G)$

मुझे यह जानने में दिलचस्पी है कि क्या कोई सैद्धांतिक निचली सीमा है क्योंकि यह संभव क्यों नहीं होगा।

Comments

बंधे हुए ट्रेविदथ परिणाम के साथ-साथ आप (कैबेलो और कन्नूर का उल्लेख करते हैं, "ऑर्थोगोनल रेंज खोज के माध्यम से बंधे ट्रेविद के ग्राफ के लिए एल्गोरिदम", कॉम्प। जियोम। 2009) यह ज्ञात है कि ग्राफ के लिए यह कैसे गणना की जाती है पेड़ों के कार्टेसियन उत्पादों में isometrically एम्बेड। जो रासायनिक ग्राफ एल्गोरिदम के लिए प्रासंगिक हो जाता है) - ये और गुटमैन को देखें, "समग्र ग्राफ़ में सभी दूरी के योग पर", असतत गणित। 1994, और चेओपी और कल्लुवर, "वीनर इंडेक्स और रैखिक समय में बेंजीनॉयड सिस्टम का स्वेज्ड इंडेक्स", जेसीआईसीआईएस 1997।

— डेविड

Answer 1

कम्प्यूटिंग विज्ञापन में (G) निरंतर के लिए समय δ > 0 भी साथ रेखांकन में ~ हे ( एन ) किनारों और एन कोने अर्थ होगा कि मजबूत घातीय समय हाइपोथीसिस (सेठ) गलत है। (सेठ Impagliazzo, Paturi और Zane'01 द्वारा परिभाषित किया गया था और संकेत मिलता है कि CNF-सैट पर n चर नहीं है हे ( 2 ( 1 - ε ) n ) । समय एल्गोरिदम)$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$$\tilde{O}(n)$$n$$n$$O(2^{(1-\varepsilon)n})$

यह साबित करने के लिए, ध्यान दें कि हमने हाल ही में साबित किया है (विरल ग्राफ्स के व्यास और त्रिज्या के लिए फास्ट सन्निकटन एल्गोरिदम, लियाम रोडीटी, वी। वासिलिवस्का विलियम्स। STOC'13।) कि अगर कोई उप-क्रमिक में व्यास 2 और 3 के ग्राफ़ में अंतर कर सकता है। समय, तब SETH गलत है। सबूत CNF-SAT से कमी के माध्यम से जाता है। उसी कमी का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि उप-क्रमिक समय में कंप्यूटिंग विज्ञापन (G) से पता चलता है कि SETH गलत है, क्योंकि कमी में रेखांकन में औसत दूरी (जहां और कटौती उदाहरण में नोड्स और किनारों की संख्या हैं) अगर CNF-SAT उदाहरण संतोषजनक नहीं है, और इससे अधिक है कि अगर कोई संतोषजनक असाइनमेंट है।$2-M/{N\choose 2}$$N$$M$