तेजी से फैले पेड़ों की संख्या गिनें

बता दें कि $t(G)$ ग्राफ के साथ ग्राफ में फैले पेड़ों की संख्या को दर्शाता है । एक एल्गोरिथ्म है जो अंकगणितीय परिचालनों में गणना करता । यह एल्गोरिथ्म गणना करने के लिए है , जहां , का लाप्लासियन है और वह मैट्रिक्स है जो केवल 's से मिलकर बनता है । इस एल्गोरिथ्म के बारे में अधिक जानकारी के लिए Biggs - बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत या यह गणित SE प्रश्न देखें। $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

मुझे आश्चर्य है कि अगर तेजी से गणना करने का कोई तरीका है $t(G)$ । (हां, कंप्यूटिंग निर्धारक के लिए $O(n^3)$ एल्गोरिदम से तेज है लेकिन मुझे कुछ नए दृष्टिकोण में दिलचस्पी है।)

यह ग्राफ़ (प्लानर, शायद?) के विशेष परिवारों पर विचार करने में भी रुचि रखता है।

उदाहरण के लिए, संरेखित रेखांकन के लिए, की पहचान माध्यम से अंकगणितीय संक्रियाओं में की जा सकती है। , जहां मैट्रिक्स के हैं , जिन्हें सर्कुलर ग्राफ़ के लिए जल्दी से गणना की जा सकती है। (एक बहुपद के रूप में पहली पंक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं और फिर इसे एकता की मूल जड़ों पर गणना करते हैं - यह चरण असतत फूरियर रूपांतरण का उपयोग करता है और इसे अंकगणितीय कार्यों में किया जा सकता है ।) $t(G)$ $O(n \lg n)$ $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ $\lambda_i$ $G$ $n$ $O(n \lg n)$

आपका बहुत बहुत धन्यवाद!

— Finsky
स्रोत

सर्गेई, मैंने स्पष्टता में सुधार के लिए आपके प्रश्न को संपादित करने की कोशिश की। कृपया जांच लें कि मैंने आपके प्रश्न को सही ढंग से समझा और किसी त्रुटि का परिचय नहीं दिया।

— टायसन विलियम्स

के लिए अबेलियन समूहों केली रेखांकन: यहाँ ग्राफ परिवारों जहां खोजने जटिलता तेजी से किया जा सकता है में से एक अधिक सामान्य उदाहरण है जनरेटर सेट के साथ , जैसे कि । हम जानते हैं कि इस तरह के मैट्रिक्स के eigenvalues , जहाँ समूह के विभिन्न वर्ण हैं। सभी वर्णों को ढूंढना आसान है (अधिक जानकारी के लिए इस पत्र से परामर्श करें ) उन वर्णों की गणना

-Dimensional FFT है (देखें Form पर Cormen et al Chapter), अर्थात

में किया जा सकता है ।

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— फिन्स्की

केली रेखांकन के बारे में अधिक जानकारी के लिए इस पुस्तक को देखें ।

— फिन्स्की

सामान्य मैट्रिक्स के बजाय लाप्लासियन के साथ रैखिक बीजगणित करना अक्सर आसान होता है। मुझे आश्चर्य है कि क्या यह प्रासंगिक हो सकता है।

— गिल कालै

क्या आप, कृपया, अधिक विशिष्ट हो सकते हैं, यदि संभव हो तो, कुछ उदाहरण प्रदान करें, भले ही यह चर्चा में विषय से सीधे संबंधित न हो। धन्यवाद।

— फिन्सकी

यह है जाना जाता है कि, के लिए घिरे treewidth की, Tutte बहुपद किसी में मूल्यांकन किया जा सकता का उपयोग कर अंकगणितीय आपरेशनों। तो कनेक्ट है, फिर । $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— रादु कर्टिसैपियन
स्रोत