लॉग-रैंक अनुमान अनुमान से अधिक रैंक का उपयोग क्यों करता है?

Question

संचार जटिलता में, लॉग-रैंक अनुमान बताता है कि

$$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$$

जहाँ M ( x , y ) और r k ( M $cc(M)$ की संचार जटिलता है , वह वास्तविक की तुलना में M (एक मैट्रिक्स के रूप में ) की रैंक है ।$M(x,y)$$rk(M)$$M$

हालाँकि, जब आप रैंक-मेथड को लोअर बाउंड उपयोग कर रहे हैं, तो आप सुविधाजनक है कि किसी भी क्षेत्र पर r $cc(M)$ उपयोग कर सकते हैं । लॉग-रैंक अनुमान वास्तविक से अधिक rk तक ही सीमित क्यों है? क्या गैर-शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों में r k के लिए अनुमान का समाधान किया जाता है? यदि नहीं, तो क्या यह रुचि है या R k पर R के बारे में कुछ विशेष है ?$rk$$rk$$rk$$\mathbb{R}$

Comments

BTW मेरा मानना ​​है कि आपको को द्विआधारी होने के लिए प्रतिबंधित करना चाहिए , अन्यथा आप तुच्छ प्रतिपक्ष बना सकते हैं। $M$

— साशो निकोलेव

@SashoNikolov आप तुच्छ जवाबी उदाहरण से क्या मतलब है अगर नहीं है 0 / 1 (मैं तुम्हें reals से अधिक मतलब विश्वास)? $M$$0/1$

— टी ....

उदाहरण के लिए समस्या "मेरी संख्या का अनुमान करें", अर्थात ऐलिस के पास में एक संख्या है और बॉब को इसका उत्पादन करना है। यह देखना आसान है कि संचार जटिलता लॉग एन है लेकिन मैट्रिक्स की रैंक 1 है । $\{1, \ldots, N\}$$\log N$$1$

— साशो निकोलेव

क्या आप मेरी संख्या का अनुमान लगा सकते हैं? मैं विशेषता मैट्रिक्स की कल्पना करने में असमर्थ हूं। ऐलिस के पास और बॉब के पास वाई है , फिर फ़ंक्शन एफ ( एक्स , वाई ) है जिसमें से एम रैंक 1 को परिभाषित किया गया है? $x$$y$$f(x,y)$$M$$1$

— टी ....

समारोह है जहां एक्स और वाई हैं n -बिट वैक्टर। यदि संचार जटिलता की परिभाषा के लिए आवश्यक है कि प्रोटोकॉल ट्रांसक्रिप्ट द्वारा f का मान पूरी तरह से निर्धारित किया जाए (यह कुशिल्वित्ज़-निसान में परिभाषा है), तो स्पष्ट रूप से जटिलता n है । $f(x, y) = x$$x$$y$$n$$f$$n$

— साशो निकोलेव

Answer 1

अनुमान से अधिक विफल रहता है । पर देखो एम ( एक्स , वाई ) = ⟨ एक्स , वाई ⟩ आधुनिक 2 , और एक्स , वाई ∈ { 0 , 1 } एन । संचार जटिलता है Ω ( एन ) , लेकिन के पद एम से अधिक एफ 2 है n , आंतरिक उत्पाद की linearity द्वारा।$\mathbb{F}_2$$M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$$x, y \in \{0, 1\}^n$$\Omega(n)$$M$$\mathbb{F}_2$$n$