कार्टेशियन बंद श्रेणी में तीरों और घातीय वस्तुओं के बीच अंतर क्या है?

एक में कार्तीय बंद श्रेणी ( सीसीसी ), वहाँ तथाकथित मौजूद घातीय वस्तुओं , लिखा । जब CCC को बस टाइप किए गए -calculus के मॉडल के रूप में माना जाता है , तो जैसी एक घातीय वस्तु प्रकार से टाइप तक के फंक्शन स्पेस की विशेषता होती है । एक घातीय वस्तु को नामक एक तीर द्वारा पेश किया जाता और एक तीर द्वारा हटा दिया जिसे जाता है (जो दुर्भाग्य से कहा जाता है $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ श्रेणी सिद्धांत पर अधिकांश ग्रंथों में)। यहाँ मेरा प्रश्न है: क्या घातीय वस्तु , और तीर कोई अंतर ? $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— दिन
स्रोत

एक श्रेणी में यह घातीय वस्तु है , लेकिन प्रकार के सिद्धांत में इसे घातीय प्रकार कहा जा सकता है ।

— बालि बाउर

यह एक शोध स्तर का प्रश्न नहीं है। सीएस-एक्सचेंज में स्थानांतरित करें?

— एंड्रिया अस्पररी

एक आंतरिक है और दूसरा बाहरी है ।

एक श्रेणी में ऑब्जेक्ट और मॉर्फिज्म होते हैं। जब हम लिखते हैं का अर्थ है कि , ऑब्जेक्ट से ऑब्जेक्ट । हम से सभी morphisms एकत्र कर सकते हैं करने के लिए एक में morphisms के सेट , "Hom-सेट" कहा जाता है। यह सेट वस्तु नहीं , बल्कि सेट की श्रेणी की वस्तु है। $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

इसके विपरीत, एक घातांक में एक वस्तु । यह " अपने होम-सेट्स के बारे में सोचता है"। इस प्रकार, को की वस्तुओं को जो भी संरचना से सुसज्जित किया जाना चाहिए । $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

एक उदाहरण के रूप में, आइए हम टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी पर विचार करें। फिर , से तक का निरंतर मानचित्र है , और ऐसे सभी निरंतर मानचित्रों का समूह है। लेकिन , अगर यह मौजूद है, तो एक सामयिक स्थान है! आप यह साबित कर सकते हैं कि के बिंदु से तक के निरंतर मानचित्रों के साथ (विशेषण पत्राचार में) हैं । वास्तव में, यह सामान्य रूप से होता है: आकारिकी $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ (जो "के वैश्विक अंक ") morphisms साथ द्विभाजित पत्राचार में कर रहे हैं , क्योंकि $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

कभी-कभी हम विपरीत लिखने के बारे में सुस्त हो जाते हैं । वास्तव में, अक्सर ये दोनों पर्यायवाची होते हैं, इस समझ के साथ कि अर्थ "ओह, जिस तरह से यहाँ मैं अन्य संकेतन से आशय रखता था, इसलिए इसका अर्थ कि , से तक का आकारिकी है ।" उदाहरण के लिए, जब आप currying आकारिता नीचे लिखा तुम सच में लिखा जाना चाहिए था $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

इसलिए हम वास्तव में किसी को यहाँ भ्रमित होने के लिए दोषी नहीं ठहरा सकते हैं। आंतरिक

आंतरिक अर्थों में प्रयोग किया जाता है, और बाहरी में बाहरी।

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

अगर हम केवल टाइप किए गए -calculus में काम करते हैं तो सब कुछ आंतरिक है, इसलिए बोलना है। हमारे पास बस एक मूल टाइपिंग निर्णय है " has type ", जिसे लिखा जाता । क्योंकि यहाँ एक प्रकार है, और प्रकार वस्तुओं के अनुरूप हैं, तो हमें स्पष्ट रूप से आंतरिक अर्थों में में किसी भी घातांक और तीर को इंटरप्ट करना होगा । तो, अगर हम समझते हैं -calculus में एक टाइपिंग निर्णय के रूप में , सभी $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$ तीर आंतरिक हैं, इसलिए यह

के समान है

मुझे उम्मीद है कि अब तक यह स्पष्ट है कि लोग

और

को समानार्थक शब्द के रूप में क्यों उपयोग करते हैं।

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$

A \to B

$A \to B$

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

महान जवाब के लिए धन्यवाद, पूरी तरह से रहस्य को दूर करना।

— दिन

वास्तव में! महान व्याख्या!

— उदय रेड्डी

तो कौन सा आंतरिक है और कौन सा बाहरी है?

— CMCDragonkai