एक अमूर्त पदानुक्रम का औपचारिक प्रतिनिधित्व

Question

परिचय

मैं एब्सट्रैक्ट डेल्टा मॉडलिंग (एडीएम) पर पीएचडी थीसिस लिख रहा हूं , संशोधनों का सार बीजगणितीय विवरण ( डेल्टास के रूप में जाना जाता है ) उत्पादों पर काम करने में सक्षम ('सॉफ्टवेयर उत्पादों' के रूप में)। इसका उपयोग संबंधित उत्पादों के एक सेट ('उत्पाद लाइन') को एक साधारण कोर उत्पाद और सशर्त रूप से लागू किए गए डेल्टास के सेट के रूप में व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है, और इस प्रकार अंतर्निहित कलाकृतियों के अधिक से अधिक पुन: उपयोग को सक्षम बनाता है।

डेल्टा मॉडलिंग का विवरण वास्तव में मेरे प्रश्न के लिए महत्वपूर्ण नहीं है , लेकिन एडीएम इस मुद्दे को समझाने के लिए एक अच्छा उदाहरण के रूप में कार्य करता है, इसलिए मैं सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं का परिचय दूंगा।

पृष्ठभूमि

ब्याज की मुख्य संरचना डेल्टा है $(\mathcal P, \mathcal D, \cdot, \epsilon, \mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]})$। उत्पाद एक सार्वभौमिक सेट से आते हैं$\mathcal P$। डेल्टास एक मोनोइड से आते हैं$(\mathcal D, \cdot, \epsilon)$ रचना संचालक के साथ $\cdot : \mathcal D \times \mathcal D \to \mathcal D$ और तटस्थ तत्व $\epsilon \in \mathcal D$। सिमेंटिक मूल्यांकन ऑपरेटर$\mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]} : \mathcal D \to 2^{\mathcal P \times \mathcal P}$ 'सिंटेक्टिक' डेल्टा को रूपांतरित करता है $d \in \mathcal D$ एक रिश्ते में $\mathbf{[\kern-1pt[}\,d\,\mathbf{]\kern-1.5pt]} \subseteq \mathcal P \times \mathcal P$ जो तय करता है कि कैसे $d$ एक उत्पाद को संशोधित कर सकते हैं।

सवाल

जैसा कि ADM एक अमूर्त बीजगणित है, मेरे अधिकांश काम उत्पादों और डेल्टास की ठोस प्रकृति से सार हैं, और कई परिणाम एक अधिक ठोस स्तर तक उतरे बिना साबित होते हैं। उन परिणामों को एक अधिक ठोस डोमेन पर ले जाने की उम्मीद है, लेकिन मैंने अभी तक इसे औपचारिक रूप नहीं दिया है।

ऐसे उदाहरण और केस स्टडी हैं जो एक ठोस डोमेन में काम करते हैं: ऑब्जेक्ट ओरिएंटेड सोर्स-कोड, $\small\mathrm{\LaTeX}$कोड, प्राकृतिक संख्या, मोबाइल फोन प्रोफाइल आदि, अमूर्त के कुछ मध्यवर्ती चरण भी हैं जैसे नेस्टेड कुंजी-मूल्य जोड़े। प्रत्येक के लिए मैं फिर से परिभाषित (या 'परिष्कृत)$(\mathcal P, \mathcal D, \cdot, \epsilon, \mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]})$।

मैं इस पदानुक्रम को स्पष्ट करना चाहता हूं: (1) पाठक के लिए अधिक स्पष्टता प्रदान करना और (2) औपचारिक रूप से अधिक अमूर्त स्तरों से परिणामों का उपयोग करने का औचित्य साबित करना।

मेरा प्रश्न: मुझे अमूर्तता के इन स्तरों को औपचारिक रूप से कैसे व्यवस्थित करना चाहिए?

मैं एक साधारण शोधन संबंध के साथ तर्क करने में सक्षम होने की उम्मीद कर रहा हूं $\sqsubseteq$deltoids पर। और मुझे ऐसा लगता है कि इसे केवल उपसमुच्चय के संबंध में अपील करके परिभाषित किया जा सकता है$\mathcal P$ तथा $\mathcal D$। लेकिन मुझे अभी तक यकीन नहीं है। क्या मैं जिस तरह की समस्या का वर्णन कर रहा हूं, उसके लिए मौजूदा दृष्टिकोण हैं? प्रकाशन मुझे पढ़ना चाहिए?

द डेल्टोइड पदानुक्रम

आपको मेरा क्या मतलब है, इसका बेहतर अंदाजा देने के लिए, यहाँ मेरे मन में भ्रांति पदानुक्रम है:

• Abstract Deltoid : यह मूल डेल्टा है जिसमें उत्पाद और डेल्टा अभी भी कुछ भी हो सकते हैं। अधिकांश सिद्धांत इस एक पर आधारित हैं और अधिकांश परिणाम इसी स्तर पर सिद्ध होते हैं।
  • रिलेशनल डेल्टॉइड : यहां, डेल्टास संबंध हैं$\mathcal P$ तथा $\mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]}$ पहचान समारोह है।
    • फंक्शनल डेल्टॉइड : यहां, डेल्टास कार्यात्मक (या 'नियतात्मक') हैं।
  • प्राकृतिक संख्या Deltoid : यह सबसे सरल कंक्रीट डेल्टॉइड है, जो केवल deltoid शोधन को चित्रित करने के लिए बनाया गया है। यहाँ, उत्पादों$\mathcal P = \mathbb N$ प्राकृतिक संख्या और डेल्टा हैं $\mathcal D = \mathbb N^+$ बहुपद संचालन का प्रतिनिधित्व करने वाले सरल संख्या क्रम हैं।
  • नेस्टेड की-वैल्यू पेयर डेल्टॉइड : किसी भी पदानुक्रम के लिए अमूर्त का एक मध्यवर्ती स्तर जिसमें कुंजियों को मानों या उप-पदानुक्रमों में मैप किया जाता है। डेल्टास किसी भी गहराई पर इस 'पेड़' में संशोधन कर सकता है।
    • OOP डेल्टॉइड : ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड प्रोग्राम्स के अमूर्त अभ्यावेदन के लिए। वे मूल रूप से नेस्ट-वैल्यू पेयर होते हैं, क्योंकि प्रोग्राम कक्षाओं के सेट के लिए मॉड्यूल-नामों को मैप करते हैं, जो क्लास-नेम को विधियों के सेट पर मैप करते हैं, जो मेथड-नेम से मेथड-इंप्लीमेंटेशन तक मैप करते हैं।
      • ABS Deltoid : ABS एक वास्तविक वस्तु उन्मुख प्रोग्रामिंग भाषा है।
    • फोन प्रोफाइल डेल्टॉइड : यहां, एक उत्पाद संबंधित डोमेन से मूल्यों के लिए सेटिंग्स (जैसे वॉल्यूम, स्क्रीन चमक, आदि) का एक फ्लैट मानचित्रण है।
  • $\small\mathrm{\LaTeX}$Deltoid : उत्पाद हैं$\small\mathrm{\LaTeX}$ दस्तावेज़ और डेल्टास मैक्रोज़ को फिर से परिभाषित करके उन्हें संशोधित करते हैं।

ठीक है, जो आपको मेरे मन में एक उचित विचार देना चाहिए। नोट, वैसे, कि किसी भी deltoid के लिए,$\mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]}$ से एक एकरूप समरूपता है $\mathcal D$ को $\mathcal D'$ संबंधित रिलेशनल deltoid से संबंधित है।

वास्तविक पदानुक्रम बड़ा हो सकता है। यह अलग तरह से व्यवस्थित भी हो सकता है, जो इस बात पर आधारित होगा कि मैं किस प्रकार के शोधन सिद्धांत का उपयोग करूंगा। उदाहरण के लिए, अगर मैं एक साधारण सबसेट-रिलेशन पर जाता हूं$\mathcal P$ तथा $\mathcal D$ABS डेल्टॉइड नेस्टेड-वैल्यू पेयर डेल्टॉइड के तहत फिट नहीं होगा, क्योंकि इसके उत्पाद और डेल्टा वास्तव में सादे पाठ (स्रोत-कोड) हैं। लेकिन दिए गए पदानुक्रम अभी भी काम कर सकते हैं अगर मैं होमोमोर्फिम्स का उपयोग करता हूं।

Comments

क्या आप इसे और अधिक स्पष्ट कर सकते हैं कि अमूर्त पदानुक्रम क्या है? किन चीजों का सार है?

— डेव क्लार्क

हाय दवे! मैंने अपना प्रश्न अपडेट किया। मुझे उम्मीद है कि इससे चीजें थोड़ी स्पष्ट होंगी।

— mhelvens

प्रत्येक प्रकार के डेल्टॉइड के लिए श्रेणियों के निर्माण के बारे में कैसे, और फिर उनके बीच बाएं और दाएं सहायक उपकरण (यदि कोई हो) का अध्ययन करें?

— मार्टिन बर्जर

मुझे डर है कि मैं श्रेणी के सिद्धांत से अच्छी तरह वाकिफ नहीं हूं। :-(

— mhelvens

Answer 1

मेरा मानना ​​है कि आपके लिए अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत को देखना फायदेमंद होगा, जो कि जाली-आधारित कार्यक्रम विश्लेषण के थोड़े अलग क्षेत्र में इसी तरह के सवालों के बहुत गहन उत्तर प्रदान करता है।

यह मुझे प्रतीत होता है कि आप बीजगणित पर आधारित एक रूपरेखा का उपयोग कर रहे हैं। मैं यहाँ बीजगणित शब्द का उपयोग सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में कर रहा हूँ, जहाँ मैं मानता हूँ कि बीजगणित की संरचना में आने वाली बाधाओं को शब्दों के बीच समानता द्वारा दिया जाता है। दो अलग-अलग इंद्रियां होती हैं जिसमें अमूर्त (या पदानुक्रम) चित्र में प्रवेश करते हैं।

1. दो विशिष्ट बीजगणितों के बीच एक संबंध के रूप में अमूर्त। आप यह कहना चाह सकते हैं कि एक बीजगणित में दूसरे बीजगणित की तुलना में अधिक समृद्ध संरचना होती है, या यह कि हर समस्या आप एक बीजगणित से हल कर सकते हैं जिसे आप दूसरे के साथ हल कर सकते हैं। इस तरह के रिश्ते को औपचारिक रूप से होमोमोर्फिज्म, या बीजगणित के बीच कुछ अन्य मानचित्रण खरीदना होगा।
2. बीजगणित के परिवारों के रूप में अमूर्त पदानुक्रम। आपके मामले में, ये कुछ संपत्तियों के साथ deltoids के परिवार होंगे। अधिक सामान्य उदाहरण के रूप में, सभी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों पर विचार करें। हम उप-परिवारों के एक अनुक्रम के रूप में लैटिस, डिस्ट्रिब्यूटिव लैटिस और बुलियन लैटिट्स के बारे में सोच सकते हैं, जिनमें समृद्ध गुण होते हैं।

दो धारणाएं निकट से संबंधित हैं लेकिन अलग-अलग हैं।

दो संरचनाओं के बीच अमूर्तता

अमूर्त व्याख्या की अंतर्दृष्टि यह है कि यह उन संरचनाओं को समाप्त करने के लिए उपयोगी है जिन्हें आप आदेश की धारणा के साथ मानते हैं। दो संरचनाओं पर विचार करें

$(M, f_M)$ तथा $(N, f_N)$, साथ में $f_M: M \to M$ तथा $f_N:N \to N$ ब्याज के संचालन के रूप में।

सार्वभौमिक बीजगणित अर्थ में एक समरूपता कुछ इस तरह दिखाई देगी:

$h:M \to N$ समानता को संतुष्ट करने वाला एक कार्य है $h(f_M(a)) = f_N(h(a))$।

हम उपरोक्त दो संरचनाओं को पूर्व-आदेशित संरचनाओं के रूप में देख सकते हैं

$(M, =, f_M)$ तथा $(N, =, f_N)$

और समरूपता हम एक समारोह संतोषजनक होने के लिए फिर से लिख सकते हैं

1. अगर वह $a = b$ फिर $h(a) = h(b)$, तथा
2. सबके लिए $a$ में $M$, $h(f_M(a)) = f_N(h(a))$।

अब, मान लीजिए कि आपके पास सन्निकटन की कुछ अन्य धारणा उपलब्ध है जो समझ में आती है। उदाहरण के लिए, जब हम प्रोग्राम वेरिफिकेशन में राज्यों के सेट से निपटते हैं, तो सब्सेट इंक्लूजन कुछ एप्लिकेशन के लिए मायने रखता है, या स्वचालित कटौती में फॉर्मूले से निपटने पर, निहितार्थ समझ में आता है। अधिक आम तौर पर, हम विचार कर सकते हैं

$(M, \preceq, f_M)$ तथा $(N,\sqsubseteq, f_N)$, कहाँ पे $\preceq$ तथा $\sqsubseteq$ सीमाएं हैं।

अब, होमोमोर्फिज्म के बजाय, हम एक अमूर्त कार्य कर सकते हैं

$\alpha: M \to N$ जो है

1. मोनोटोन, जिसका अर्थ है कि जब भी $a \preceq b$ हमारे पास है $\alpha(a) \sqsubseteq \alpha(b)$, तथा
2. संचालन के साथ अर्ध-आवागमन: $\alpha(f_M(a)) \sqsubseteq f_N(\alpha(a))$ सबके लिए $a$ में $M$।

अमूर्त समारोह स्पष्ट विचार बनाता है कि अगर संरचना खत्म हो गई है $N$ संरचना का एक अमूर्त ओवर है $M$, तो में एक शब्द का मूल्यांकन $N$ अधिक सटीक परिणाम नहीं दे सकते हैं (सन्निकटन की धारणा के संबंध में) $N$) में एक ही शब्द का मूल्यांकन करने से $M$ और फिर इसे मैप करना $N$।

अब हम पूछ सकते हैं कि क्या शोधन के विपरीत समस्या को अमूर्तता के संदर्भ में समझना आवश्यक है। मतलब, क्या हम ऐसा नहीं कह सकते$M$ का परिशोधन है $N$और शर्तों के संदर्भ में शर्तों को तैयार करें। यह वास्तव में एक संकेतन समारोह क्या करता है।

एक अवकास कार्य $\gamma: N \to M$है एक लय और संतुष्ट असमानता$f_M(\gamma(b)) \preceq \gamma(f_N(b))$।

अमूर्त व्याख्या में अमूर्तता और संक्षिप्तता की स्थिति को ध्वनि की स्थिति कहा जाता है। विशेष मामले में है कि$\alpha$ तथा $\gamma$एक गैलिसियस कनेक्शन का निर्माण करें, अमूर्तता और संघनन की स्थिति समतुल्य है। सामान्य तौर पर, वे समकक्ष नहीं हैं।

हमने अब तक जो कुछ भी किया है वह केवल एक जोड़ी संरचनाओं के बीच अमूर्तता की धारणा को औपचारिक बनाता है। मैंने जो बातें कही हैं, उन्हें श्रेणी के सिद्धांत की भाषा में कहीं अधिक संक्षेप में संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है। मैंने आपकी टिप्पणी के कारण श्रेणियों को टाला है।

अमूर्त पदानुक्रम

मान लीजिए कि हमारे पास एक संरचना है $\mathcal{M}$एक प्रीऑर्डर और कुछ ऑपरेशन के साथ संपन्न। हम सभी संरचनाओं पर विचार कर सकते हैं$\mathcal{N}$ ऐसा है कि $\mathcal{N}$ का एक अमूर्त है $\mathcal{M}$ऊपर के अर्थ में। अगर हमारे पास ऐसा है$\mathcal{N}_1$ का एक अमूर्त है $\mathcal{N}_2$ और दोनों का सार है $\mathcal{M}$, हम पदानुक्रम के तीन तत्व हैं। संबंध ` संरचनाओं का एक अमूर्त हिस्सा है जो हमें संरचनाओं के बीच एक प्रवृत्ति को परिभाषित करने की अनुमति देता है। आइए हम एब्सट्रैक्शन द्वारा क्रमबद्ध संरचनाओं के एक परिवार को एक पदानुक्रम कहते हैं ।

यदि मैं आपके उदाहरण पर विचार करता हूं, तो ऐसा प्रतीत होता है कि आपका सार डेल्टा कुछ पदानुक्रम में अधिकतम तत्व के लिए एक उम्मीदवार हो सकता है। मुझे पूरी तरह से यकीन नहीं है क्योंकि अमूर्त डेल्टा एक विशिष्ट डेल्टा के बजाय deltoids का परिवार प्रतीत होता है।

अब आप क्या कर सकते हैं विभिन्न पदानुक्रमों पर विचार करें। सभी deltoids के पदानुक्रम। उप-पदानुक्रम आपके द्वारा ऊपर दिए गए विभिन्न विचारों पर आधारित है। अमूर्त व्याख्या प्रसंग में एक विशिष्ट उदाहरण पूर्ण अक्षांशों का एक पदानुक्रम है जो एक गैल्विस कनेक्शन में एक दिए गए शक्तियां जाली के साथ हैं, और उप-पदानुक्रम में केवल वितरण या केवल बूलियन लैटिटिस शामिल हैं।

जैसा कि मार्टिन बर्जर टिप्पणियों में बताते हैं, पदानुक्रमों के बीच अमूर्तता की यह धारणा श्रेणियों के बीच सहायक द्वारा कब्जा कर ली गई है।

एक श्रेणीबद्ध परिप्रेक्ष्य

श्रेणियों पर अधिक टिप्पणियों के लिए एक टिप्पणी का अनुरोध किया गया था। वह टिप्पणी अब नहीं है, लेकिन मैं वैसे भी प्रतिक्रिया दूंगा।

चलो पीछे हटते हैं और यह देखते हैं कि आप डेल्टोइड्स को डिजाइन करने में क्या कर रहे हैं और मैंने ऊपर और अधिक सामान्य दृष्टिकोण से क्या वर्णन किया है। हम उन संस्थाओं की आवश्यक संरचना को समझने में रुचि रखते हैं जिन्हें हम एक सॉफ्टवेयर संदर्भ और इन संस्थाओं के बीच संबंध में हेरफेर करते हैं।

पहला महत्वपूर्ण अहसास यह है कि हम केवल तत्वों के एक समूह में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन उन कार्यों में जो हम उन तत्वों और उन कार्यों के गुणों पर कर सकते हैं। यह अंतर्ज्ञान ऑब्जेक्ट ओरिएंटेड प्रोग्रामिंग और बीजगणितीय संरचनाओं की परिभाषा में कक्षाओं के डिजाइन को संचालित करता है। आपने पहले से ही इस अंतर्ज्ञान को स्पष्टता की परिभाषा में स्पष्ट कर दिया है जिसने ब्याज के कुछ कार्यों की पहचान की है। अधिक आम तौर पर, यह बीजगणितीय विवरणों की अंतर्निहित प्रक्रिया है। हमें यह पहचानने की आवश्यकता है कि हमारे संचालन क्या हैं और उनके पास क्या गुण हैं। यह चरण हमें उस प्रकार की संरचना बताता है जिसके साथ हम काम कर रहे हैं।

दूसरी प्रतीति यह है कि हम केवल तत्वों के एक समूह में नहीं बल्कि अमूर्त रिश्तों में रुचि रखते हैं। अमूर्तता की सबसे सरल औपचारिकता मैं एक पूर्व निर्धारित सेट पर विचार करना है। हम एक पूर्व निर्धारित सेट के बारे में सोच सकते हैं जो सेट के सख्त सामान्यीकरण के रूप में कुछ के लिए आता है जो कि बेक किए गए सन्निकटन की धारणा के साथ आता है।

हम आदर्श रूप से एक ऐसी सेटिंग में काम करना चाहते हैं जहाँ ऊपर दी गई दोनों जानकारियां प्रथम श्रेणी के नागरिक हों। मतलब, हम एक बीजगणित की तरह एक टाइपिंग सेटिंग चाहते हैं, लेकिन यह भी एक प्रीऑर्डर के बारे में पता लगाना सेटिंग है। इस दिशा में एक पहला कदम एक जाली पर विचार करना है। एक जाली एक वैचारिक रूप से दिलचस्प संरचना है क्योंकि हम इसे दो समान तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं।

1. हम सेट के रूप में समान रूप से एक जाली को परिभाषित कर सकते हैं $(L, \sqcap, \sqcup)$एक बैठक और एक ऑपरेशन में शामिल होने के साथ सुसज्जित है। हम तो परिभाषित करके आंशिक आदेश प्राप्त कर सकते हैं$a \sqsubseteq b$ जब भी धारण करना है $a \sqcap b = a$।
2. एक विकल्प एक जाली को आंशिक रूप से आदेशित सेट के रूप में परिभाषित करना है $(L, \sqsubseteq)$ संतुष्ट है कि तत्वों की हर जोड़ी में $L$एक अद्वितीय सबसे बड़ी निचली सीमा और सबसे ऊपरी ऊपरी सीमा है। फिर हम बैठक को प्राप्त कर सकते हैं और आंशिक आदेश से परिचालन में शामिल हो सकते हैं ।

एक जाली इस प्रकार एक गणितीय संरचना है जिसे बीजगणितीय या सन्निकटन के दृष्टिकोण से देखा जा सकता है। यहां कमी यह है कि एक जाली के तत्वों में स्वयं एक प्रकार की संरचना नहीं होती है जो कि सन्निकटन संबंध में निहित होती है। मतलब, हम कम या ज्यादा संरचना होने की धारणा के आधार पर तत्वों की तुलना नहीं कर सकते।

अपनी समस्या के संदर्भ में, आप श्रेणियों के एक प्राकृतिक सामान्यीकरण के रूप में श्रेणियों के बारे में सोच सकते हैं जो सन्निकटन (आकृति विज्ञान में) की धारणा को पकड़ते हैं और एक बीजीय सेटिंग में संरचना टाइप करते हैं। श्रेणी सिद्धांत की स्थापना हमें विभिन्न अनावश्यक अंतरों से दूर करने और उन संरचनाओं की संरचना पर ध्यान केंद्रित करने की अनुमति देती है जिनकी आप देखभाल करते हैं और उस संरचना के सन्निकटन की। सार्वभौमिक गुण और सहायक तत्व आपको एक बहुत शक्तिशाली शब्दावली और उपकरण प्रदान करते हैं, ताकि आप जिन संरचनाओं में रुचि रखते हैं, उनके परिदृश्य को समझ सकें और अमूर्त स्तरों के विभिन्न स्तरों जैसे सहज ज्ञान युक्त धारणाओं के कठोर गणितीय उपचार को सक्षम कर सकें।

अमूर्त deltoids के बारे में मेरी टिप्पणी के बारे में, यह प्रतीत होता है कि आप जो चाहते हैं वह एक श्रेणी है। अमूर्त डेल्टा सेट की श्रेणी के अनुरूप एक विशिष्ट श्रेणी है। अन्य श्रेणियां हैं जिन पर आप विचार कर रहे हैं। मैंने शुरू में सोचा था कि आप एक डेल्टॉइड को परिभाषित कर रहे थे कि श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक टर्मिनल (या अंतिम) ऑब्जेक्ट होगा।

आप उस तरह के प्रश्नों का अध्ययन कर रहे हैं जो श्रेणी सिद्धांत के लिए बहुत संतोषजनक उत्तर प्रदान करता है। मुझे आशा है कि आप स्वयं उस निष्कर्ष पर आ सकेंगे।

संदर्भ

1. सार व्याख्या और तर्क कार्यक्रमों के लिए आवेदन , पैट्रिक कूसोट और राधिया कूसोट। इस लेख की पहली छमाही अमूर्त व्याख्या के विषय के लिए एक सामान्य ट्यूटोरियल शैली परिचय है।
2. सार व्याख्या रूपरेखा , पैट्रिक Cousot और राधिया Cousot। इस लेख में उन सभी संभावनाओं की चर्चा की गई है, जिन्हें मैंने विस्तार से अमूर्तता और संक्षेपण कार्यों से संबंधित बताया है।
3. प्रोग्राम एनालिसिस फ्रेमवर्क , पैट्रिक कूसॉट और राधिया कूसॉट का सिस्टेमेटिक डिज़ाइन। यह वह पेपर था जिसने कार्यक्रम विश्लेषण के संदर्भ में सार के पदानुक्रम की धारणा को पेश किया था।
4. अमूर्त व्याख्या , फ्रांसेस्को Ranzato और फ्रांसेस्को Tapparo द्वारा सामान्य रूप से मजबूत संरक्षण । यह पत्र इन विचारों को अलग-अलग संदर्भों में लागू करता है जो लौकिक तर्क सूत्रों को संरक्षित करते हैं। आपको यहां बूलियन और डिस्ट्रिब्यूटिव एब्स्ट्रक्शन के काम के उदाहरण मिलेंगे।
5. सार व्याख्या, तार्किक संबंध और कान एक्सटेंशन , सैमसन अब्रामस्की। उपरोक्त सिद्धांत सिद्धांत सामग्री पर एक श्रेणी सिद्धांत परिप्रेक्ष्य प्रस्तुत करता है।

Comments

आपके गहन उत्तर के लिए धन्यवाद! और श्रेणियों की कमी की सराहना की जाती है। ;-) (मुझे भविष्य में कुछ मध्यवर्ती श्रेणी के सिद्धांत का अध्ययन करना होगा।) मैं आपके संदर्भों पर एक नज़र डालूंगा। - = # = - मतलब समय में, मैं आपके कथन के बारे में एक सवाल है "अमूर्त deltoid एक विशिष्ट deltoid के बजाय deltoids के एक परिवार प्रतीत होता है"। क्या आप बता सकते हैं कि अन्य लोगों की तुलना में अमूर्त डेल्टा किस तरह अलग है? क्या किसी भी बीजीय संरचना को उसके सभी परिशोधनों के परिवार के रूप में नहीं देखा जा सकता है?

— mhelvens

@VijayD सीटी पर अपडेट के लिए धन्यवाद। मैं टिप्पणी करने का दोषी हूं और फिर इसे हटा दिया गया। मैं गहराई से मानता हूं कि ओपी के मुद्दे के लिए सीटी अधिक उपयुक्त है। आपके अपडेट को देखने के बाद मैं और भी आश्वस्त हूं। मुझे लगता है कि अगर ओपी सीटी का उपयोग करके ऐसा नहीं करना चाहता है, तो कोई और करेगा।

— स्काउहू

यह बहुत संभावना है कि श्रेणी सिद्धांत मेरे प्रश्नों के सर्वोत्तम उत्तर प्रदान करता है। और मैं इसका अध्ययन करने और उन उत्तरों को बेहतर ढंग से समझने के लिए उत्सुक हूं। और वास्तव में, श्रेणी सिद्धांत का अध्ययन और आवेदन करने के लिए समय की मेरी कमी इस वेबसाइट पर एक 'हीन' जवाब देने का बहाना नहीं होना चाहिए। - = # = - फिर भी, मैं विजय के विचार की बहुत सराहना करता हूं। मोनॉइड स्तर पर उनका जवाब काफी उपयोगी था। - = # = - इसलिए मैं अभी श्रेणियों का उपयोग नहीं कर सकता। लेकिन मैं भविष्य के काम में विकल्प तलाशूंगा। सबको शुक्रीया!

— mhelvens

आप विषय को लेने के लिए एक उत्कृष्ट स्थिति में हैं क्योंकि आपके सामने एक समस्या है जिसे आप अच्छी तरह समझते हैं और सीधे तौर पर स्पष्ट दृष्टिकोण से विश्लेषण कर सकते हैं। मुझे कुछ सीखने का यह सबसे अच्छा तरीका लगता है और आप से देरी न करने का आग्रह करेंगे क्योंकि श्रेणी के सिद्धांत पर पाठ डराने वाले लगते हैं। मुझे यकीन है कि अध्ययन करने के लिए काटने के आकार के हिस्से हैं। रक्षा के लिए शुभकामनाएँ।

— विजय डी।

Answer 2

आप अपने पीएचडी पर काम कर रहे हैं। यह कहते हुए कि “मैं अच्छी तरह से वाकिफ नहीं हूँ$X$"कोई बहाना नहीं है। और अगर आप अच्छे हैं, तो यह कहना" मेरे सलाहकार को पता नहीं है $X$“कोई बहाना नहीं है।

आप उन श्रेणियों का उपयोग कर रहे हैं जहां आपको श्रेणियों का उपयोग करना चाहिए। आपके मोनॉइड ऑपरेशन निर्धारित करते हैं कि आप किसी को भी जोड़ सकते हैं$\delta$एक साथ हैं। लेकिन क्या यह वास्तव में समझ में आता है, उदाहरण के लिए, आप "प्लास्टिक आवरण जोड़ने" और "धातु आवरण जोड़ने" की रचना कैसे करेंगे? मुझे लगता है कि आपके कुछ$\delta$खाली संबंधों के परिणामस्वरूप, क्योंकि उन्हें कोई मतलब नहीं है। आपको उस तरह की बात पर संदेह होना चाहिए।

एक दिलचस्पी रखने वाले पर्यवेक्षक के रूप में ऐसा लगता है कि मोनॉइड की एक श्रेणी होनी चाहिए, इसलिए हम दो की रचना कर सकते हैं $\delta$केवल तभी अगर यह उनके लिए रचना करने के लिए समझ में आता है। फिर आपका शब्दार्थ मूल्यांकन केवल सेटर्स और संबंधों की श्रेणी में एक फ़नकार है। और फिर आप देखते हैं कि बहुत सी अन्य श्रेणियां हैं जिनका आप उपयोग कर सकते हैं। फ़ंक्शनल डेल्टास एक फ़ंक्टर के अनुरूप होगा जो सेट और फ़ंक्शंस की श्रेणी में मैप करता है, प्राकृतिक नंबर डेल्टॉइड प्राकृतिक संख्याओं (एक श्रेणी के रूप में देखा जाता है), आदि पर बहुपद के मोनॉइड में एक फ़नकार है।

मुझे यकीन नहीं है कि आप सामान्य सिद्धांत में भी LaTeX और नोकिया मोबाइल फोन को गंभीरता से लेना चाहते हैं। लेकिन निश्चित रूप से आपका सिद्धांत इस तरह के उदाहरणों पर लागू होना चाहिए (जब आपको पता चलता है कि आपको पता नहीं है कि मोबाइल फोन वास्तव में एक अच्छी तरह से परिभाषित शब्दार्थ नहीं है)।

आप वास्तव में एक पूर्वनिर्धारित तकनीक (अपने सलाहकार द्वारा?) के आग्रह पर खुद को छोटा कर रहे हैं ।

Comments

सामान्य तौर पर मैं आपसे सहमत हूं। और मैंने कभी भी किसी बहाने के रूप में उपयोग नहीं किया है। :-) लेकिन इस मामले में, मेरी अधिकांश थीसिस पहले से ही लिखी गई है और मेरे सभी प्रकाशनों में मोनॉइड का उपयोग किया गया है। - = # = - यह कहा जा रहा है, आप एक उत्कृष्ट बिंदु बनाते हैं। प्लास्टिक / धातु आवरण उदाहरण में, मैं अब इसे संरचना की अनुमति देकर संभालता हूं, लेकिन परिणामी डेल्टा का संबंध खाली संबंध से होता है (जैसा आपने अनुमान लगाया है)। यह सब अच्छी तरह से परिभाषित है, इसलिए यह अभी के लिए पर्याप्त है। लेकिन मैं देख सकता हूं कि आपका सुझाव अधिक सुरुचिपूर्ण है। आपने मुझे श्रेणी सिद्धांत का अध्ययन करने का एक और अच्छा कारण दिया है। धन्यवाद!

— mhelvens

@ म्हेल्वेंस मैं एक सेवानिवृत्त सॉफ्टवेयर इंजीनियर हूं जो लंबे समय से उद्योग में रह रहे हैं। रिटायरमेंट के बाद TCS में वापस आए । मैं आपसे एक वास्तविक जीवन का प्रश्न पूछूंगा। मान लीजिए कि आपने अपने थीसिस में मोनॉइड का उपयोग करके नोकिया फोन उत्पादों को सफलतापूर्वक औपचारिक रूप दिया है, तो आप Apple को नोकिया का अधिग्रहण करने की घोषणा करते हैं, तो आप मौखिक बचाव में क्या कहने जा रहे हैं? क्या वह घोषणा आपके मॉडल को तोड़ देगी? यह मुझे लगता है कि सिद्धांत जितना सामान्य है, उतना ही बेहतर मॉडल होगा।

— स्काउहू

@scaaahu दिलचस्प सवाल। :-) मुझे जवाब देने से शुरू करें: "नहीं, बिल्कुल नहीं।" सिद्धांत डिवाइस के 'प्रकार' से स्वतंत्र है। - = # = - मैं आपको विश्वास दिलाता हूं कि मुझे सामान्यीकरण के लाभों को समझाने की कोई आवश्यकता नहीं है। (वास्तव में, मुझे लगता है कि मैं कभी-कभी इसे अति कर देता हूं।) यह सिर्फ इतना होता है कि मैं अपने पीएचडी कार्य के लिए उपयोगी होने के लिए समय के श्रेणी सिद्धांत में नहीं आया। जैसा कि मैंने कहा, मैं सहमत हूं कि यह एक मूल्यवान दृष्टिकोण हो सकता है। लेकिन मेरी थीसिस की समय सीमा से दो महीने मौलिक रूप से मेरे दृष्टिकोण को बदलने का समय नहीं है।

— mhelvens

स्पष्ट रूप से, आप पोस्टडॉक के लिए तैयार हैं ;-)

— एंड्रेज बॉयर

अनुदान आवेदन पहले ही बाहर भेजा जा चुका है। :-) मुझे आशा है कि मैं इस क्षेत्र में जारी रख सकूंगा।

— mhelvens