लास वेगास एल्गोरिदम का उपयोग करके बीपीपी का सबसे तेजी से ज्ञात सिमुलेशन क्या है?

$\mathsf{BPP}$ और दो बुनियादी संभाव्यता जटिलता वर्ग हैं। $\mathsf{ZPP}$

$\mathsf{BPP}$ -टाइम ट्यूरिंग एल्गोरिदम द्वारा तय की गई भाषाओं की श्रेणी है जहाँ एल्गोरिथ्म की गलत उत्तर देने की संभावना होती है, अर्थात त्रुटि प्रायिकता अधिकांश (हाँ और दोनों के लिए कोई उदाहरण नहीं)। $\frac{1}{3}$

दूसरी ओर, एल्गोरिदम को उन संभाव्य एल्गोरिदम के रूप में देखा जा सकता है जो कभी भी गलत उत्तर नहीं देते हैं, जब भी वे कोई उत्तर देते हैं तो वह सही होता है। हालाँकि, उनके चलने का समय एक बहुपद से घिरा नहीं है, वे बहुपद में चलते हैं। $\mathsf{ZPP}$

Let शून्य त्रुटि संभावना और अपेक्षित रनिंग-टाइम साथ संभाव्य एल्गोरिदम द्वारा तय की गई भाषा का वर्ग हो । इन्हें लास वेगास एल्गोरिदम और । $\mathsf{ZPTime}(f)$ $f$ $\mathsf{ZPP} = \mathsf{ZPTime}(n^{O(1)})$

मेरा सवाल यह है कि लास वेगास एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए एल्गोरिदम का सबसे अच्छा पता सिमुलेशन क्या है ? क्या हम उन्हें उपसमुच्चय के अपेक्षित समय में अनुकरण कर सकते हैं? क्या तुच्छ जानवर-बल सिमुलेशन पर कोई ज्ञात सुधार है जो घातीय समय लेता है? $\mathsf{BPP}$

अधिक औपचारिक रूप से, क्या हम जानते हैं कि अगर या कुछ ? $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{O(n^{\epsilon})})$ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{n-n^{\epsilon}})$ $\epsilon>0$

— echuly
स्रोत

N, इनपुट की लंबाई क्या है? हम में क्यों स्वीकार कर सकते हैं ?

2^{n}

$2^n$

— डोमटॉर्प

2^{p o l y (n) - n^{ϵ}}

$2^{\mathrm{poly}(n)-n^\epsilon}$ रूप में एक ही बात है ।

2^{p o l y (n)}

$2^{\mathrm{poly}(n)}$

— एमिल जेकाब

मुझे सवाल काफी रोचक लगा। मैंने इसे अधिक पठनीय और सटीक बनाने के लिए प्रश्न संपादित किया। आगे संपादित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। पीएस: मैं अनुमान लगा रहा हूं कि आप शायद बीपीपी एल्गोरिथ्म द्वारा सिमुलेशन समय के लिए एक पैरामीटर के रूप में इस्तेमाल किए जाने वाले बहुपद में कई यादृच्छिक बिट्स को ध्यान में रखना चाहते थे लेकिन जैसा कि एमिल ने लिखा है कि आप । यदि आप चाहते हैं कि आपको बीपीपी को बाउंड एरर प्रोबेबिलिस्टिक एल्गोरिदम के विशेष वर्ग के साथ बदलना है, जिसमें एल्गोरिदम द्वारा उपयोग किए जाने वाले यादृच्छिक बिट्स की संख्या के लिए एक पैरामीटर है।

2^{p o l y (n)}

$2^{poly(n)}$

— केव

आप पूछ सकते हैं कि हम एक बीपीपी एल्गोरिथ्म जो का उपयोग करता है अनुकरण कर सकते हैं यदि में यादृच्छिक बिट्स जानवर के बाद से -फोर्स सिमुलेशन समय में चलता है ।

r (n)

$r(n)$

Z P T i m e (2^{r (n) - n^{ϵ}} n^{O (1)})

$\mathsf{ZPTime}(2^{r(n)-n^\epsilon}n^{O(1)})$

2^{r (n)} n^{O (1)}

$2^{r(n)}n^{O(1)}$

— केव

जवाबों:

सबसे पहले, देख सकते हैं कि अगर $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{c}}]$ कुछ निरंतर के लिए $c$ , तो $\mathsf{BPP} \neq \mathsf{NEXP}$ । (सबूत के द्वारा nondeterministic समय पदानुक्रम।) इसलिए इस तरह के समावेश को साबित करना महत्वपूर्ण होगा, न केवल इसलिए कि यह एक बेहतर सिमुलेशन है, बल्कि दशकों में यादृच्छिक समय कम सीमा पर पहली प्रगति प्राप्त करेगा।

इसके बाद, क्लास $\mathsf{PromiseBPP}$ , जिसके लिए निम्नलिखित समस्या है " $\mathsf{PromiseBPP}$ -hard":

सर्किट सन्निकटन संभावना समस्या (CAPP): एक सर्किट को देखते हुए $C$ , उत्पादन की स्वीकृति संभावना $C$ एक के भीतर करने के लिए $1/6$ additive कारक।

$2^{n^{\varepsilon}}$ $n$ $C$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $C$ $k$ $n$ $2^{k-\omega(\log k)}\mathrm{poly}(n)$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ । यही है, दो-तरफा-त्रुटि यादृच्छिकता के साथ निश्चित रूप से समस्याएं होती हैं, जिसके लिए शून्य-त्रुटि एल्गोरिदम जो कि हल्के ढंग से थकावट वाली खोज को हरा देते हैं, वह कम सीमा को सर्किट कर देगा। मेरा मानना है कि इसे निचली सीमा साबित करने के लिए एक संभावित विधि के रूप में व्याख्या की जानी चाहिए; आपकी माइलेज भिन्न हो सकती है।

ध्यान दें कि यहां तक कि भी खुला है, और यह भी साबित कर रहा है कि Kabanets और Impagliazzo 2004 के अनुसार, यदि बहुपद की पहचान है परीक्षण (एक समस्या) in सभी , तो हमारे पास स्थायी या दोनों के लिए कम । हाल ही में (STOC'13 में आगामी), मैंने बिना शर्त साबित कर दिया कि या तो या में $\mathsf{RP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^{\varepsilon}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$ $n^c$ आकार सर्किट, काबनेट की "आसान गवाह" विधि पर निर्माण। इसका तात्पर्य दो चीजों से है:

एक ऐसा जो सभी , बिना शर्त के - यह सबसे अच्छी बिना शर्त के है में का जिसे हम अब तक जानते हैं। $c$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{RP}$ $\mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^c$ $\mathsf{RP/BPP}$ $\mathsf{ZPP}$
दिलचस्प उपसंचाई सिमुलेशन प्राप्त करना शुरू करने के लिए , आपको "केवल" को निश्चित-बहुपद-आकार सर्किट नहीं है। $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$

— रेयान विलियम्स
स्रोत

मेरी प्रतिक्रिया को सुपाठ्य बनाने के लिए समय निकालने के लिए निएल को धन्यवाद :)

— रयान विलियम्स

रयान, मुझे लगता है कि मैं एक बहुत ही बेवकूफ सवाल पूछने वाला हूं, लेकिन यहां मैं जाता हूं: आपके पहले वाक्य में, आपको "सभी " की आवश्यकता क्यों है ? क्या RTP (2 ^ (n ^ c)) और इसलिए NTIME (2 ^ (n ^ c)) के कुछ निश्चित बीपीपी सबसेट के लिए ZPTIME (2 ^ (n ^ c)) का बीपीपी उपसमूह नहीं है, इसलिए बीपीपी है NEXP या अन्यथा NTIME के बराबर नहीं (2 ^ (2n ^ c)) NTIME का एक सबसेट है (2 ^ (n ^ c))?

ϵ

$\epsilon$

— साशो निकोलेव

बिल्कुल भी बेवकूफ नहीं है - वास्तव में, कुछ लिए लिए पर्याप्त है , जो बाहर इशारा करने के लिए धन्यवाद। हालांकि अन्य परिणामों के लिए Subexponential समय के एल्गोरिदम आवश्यक हैं।

B P P \subseteq N T I M E (2^{n^{c}})

$BPP \subseteq NTIME(2^{n^c})$

c

$c$

B P P \neq N E X P

$BPP \neq NEXP$

— रयान विलियम्स

रयान: अगर मैं आपके पेपर को समझना चाहता था कि सर्किट जटिलता पर कौन सी किताब / पेपर से आप परिचित हैं?

— टी ....

हाय अरुल, सौभाग्य से बिल गैसार्च ने मुझसे कुछ समय पहले यह सवाल पूछा था, और लिंक के निम्नलिखित वेबपेज को रखा: cs.umd.edu/~gasarch/ryan/ryan.html

— रयान विलियम्स

यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किन धारणाओं को बनाने के इच्छुक हैं।

निश्चित कठोरता मान्यताओं, अर्थात् के तहत , आप प्राप्त है कि । इसका विशेष रूप से तात्पर्य यह है कि , और इसलिए कि हर भाषा को लास वेगास मशीन द्वारा स्वीकार किया जाता है (देखें "P = BPP जब तक E में Subexponential सर्किट नहीं है: Derorizing the XOR Gemma", Impagliazzo द्वारा और विगडरसन)। $E \not\subseteq SIZE(2^{\varepsilon n})$ $P = BPP$ $BPP = ZPP$ $L \in BPP$

तुम भी एक मामूली कठोरता धारणा बना सकते हैं, अर्थात्, कि , और पाने कि ( "में लेम्मा 46 देखना एक की तलाश में आसान गवाह: घातीय समय बनाम संभाव्य बहुपद समय "इम्पेग्लियाज़ो, काबनेट्स और विगेरसन द्वारा)। $ZPE \not\subseteq \rm{io-DTIME}(2^{\varepsilon n})$ $BPP = ZPP$

— या मीर
स्रोत

व्युत्पन्नता में किसी भी प्रगति को रोकते हुए, यह मुझे ऐसा लगता है जैसे कि आवश्यकता है कि लास वेगास मशीन कोई गलती नहीं करती है, इसलिए यह आवश्यक है कि इस मामले में यादृच्छिकता होने का कोई लाभ नहीं है।

एक के लिए बीपीपी भाषा एक उपयुक्त एल्गोरिथ्म द्वारा निर्णय लिया जो आदानों पर कार्य करता है, और एक यादृच्छिक स्ट्रिंग अपने यादृच्छिक विकल्प का प्रतिनिधित्व करने, शून्य त्रुटि कसौटी का तात्पर्य कि लास वेगास मशीन को दो मामलों में से कुछ के लिए यह पता लगाना चाहिए कि $L$ $A$ $x \in \{0,1\}^n$ $r \in \{0,1\}^{N(n)}$ रखती है। हम के बारे में कोई अधिक जानकारी के लिए दिया जाता है, तोहै, तो यह अनिवार्य रूप से एक दैवज्ञ वादा समस्या है: एक दैवज्ञ दियाकंप्यूटिंग, और वादा है कि दिए गएपैदावार एक उत्पादनविपरीत उत्पादन के रूप में कई आदानों के रूप में कम से कम के लिए दो बार, जो निर्धारित उत्पादन अधिक आम है।

\underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩾ \frac{2}{3} or \underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩽ \frac{1}{3}

$\Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \geqslant \tfrac{2}{3} \quad\text{or}\quad \Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \leqslant \tfrac{1}{3}$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} (r) = A (x, r)

$A'(r) = A(x,r)$

A^{'}

$A'$

a \in {0, 1}

$a \in \{0,1\}$

1 - a

$1-a$

हालांकि लास वेगास मशीन यादृच्छिक तकनीकों का प्रयोग कर सकते हैं अगर हम वास्तव में इलाज करने के लिए मजबूर कर रहे हैं एक दैवज्ञ के रूप में, हम देख सकते हैं एक लास वेगास मशीन के लिए एक ही रणनीति उपलब्ध एक अपेक्षाकृत पूरी तरह से (हालांकि नहीं संपूर्ण) के सर्वेक्षण में भाग लेने के लिए है कि रैंडम स्ट्रिंग्स , यह देखने के लिए कि प्रत्येक के लिए क्या उत्तर दिया गया है। यह केवल तभी सुनिश्चित हो सकता है जब इसे $A'$ $r$ अलग तार जो सभी एक ही आउटपुट को जन्म देते हैं; अन्यथा, छोटे (लेकिन गैर-शून्य!) संभावना के साथ, यह अशुभ हो सकता है और संभावित आउटपुट का गैर-प्रतिनिधि नमूना प्राप्त कर सकता है। शून्य त्रुटि प्राप्त करने के लिए, इसे कम से कम नमूना लेना चाहिए $2^{N(n)}\!/3$ $r$ इनपुट । $2^{N(n)}\!/3$ $r$

क्योंकि लास वेगास मशीन को सभी संभावित यादृच्छिक स्ट्रिंग्स कम से कम एक निरंतर अंश का निरीक्षण करना चाहिए , इसलिए कि अगर हम निर्धारक रूप से सभी संभावित यादृच्छिक स्ट्रिंग्स का परीक्षण करते हैं तो हम बेहतर नहीं हैं। हमें एक शून्य-त्रुटि सेटिंग में यादृच्छिक रूप से बीपीपी एल्गोरिदम का अनुकरण करने में कोई विषमतापूर्ण लाभ नहीं मिलता है , इससे परे कि हम जानवर-बल द्वारा निश्चित रूप से क्या कर सकते हैं। $r$

ध्यान दें कि यह वही तर्क के बीच एक दैवज्ञ जुदाई को जन्म देता है बीपीपी और ZPP , यानी वहाँ एक दैवज्ञ है ऐसी है कि क्योंकि ZPP , एल्गोरिथ्म घातीय समय लगता है, जबकि एक बीपीपी एल्गोरिथ्म के बारे में सवाल हल कर सकते हैं एक ही प्रश्न में ओरेकल और बंधी हुई त्रुटि के साथ सफल होता है। हालाँकि, यह आपको पहले से ही किसी भी संदेह से अधिक नहीं बताता है (कि सिमुलेशन ओवरहेड बहुपद से भी बदतर हो सकता है) और न ही यह कि स्पर्शोन्मुखता केवल एक भोले निर्धारक सिमुलेशन के रूप में खराब हैं। $A$

{Z P P}^{A} ⫋ {B P P}^{A}

$\mathsf{ZPP}^A \subsetneqq \mathsf{BPP}^A$

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

मुझे सही करें अगर मैं गलत हूं: आप कुछ सहज तर्क दे रहे हैं कि व्युत्पन्नता असंभव क्यों लगती है, लेकिन हम जानते हैं कि कुछ उचित मान्यताओं के तहत बीपीपी, जेडपीपी और पी सभी समान हैं। ताकि अंतर्ज्ञान जरूरी अच्छा न हो

— साशो निकोलेव

हर्गिज नहीं। व्युत्पत्ति संभवतः पी द्वारा बीपीपी का अनुकरण करने के लिए एक अंतर्दृष्टि होगी, है ना? मैं सिर्फ यह बता रहा हूं कि कैसे, अगर वह बिना शर्त परिणाम चाहता है जो एल्गोरिथम की संरचना का शोषण नहीं करता है, तो वह एक शून्य त्रुटि के रूप में एक निर्धारक सिमुलेशन को यादृच्छिक रूप से निष्पादित कर सकता है। या इस स्पष्टीकरण में कुछ गड़बड़ है?

— नील डी ब्यूड्रैप

मुझे लगता है कि आप सभी कह रहे हैं कि ZPP द्वारा BPP के भोले जानवर बल अनुकरण, BP. के भोले जानवर बल अनुकरण की तुलना में बहुत तेज नहीं है। लेकिन मैं यह नहीं देख सकता कि जो दिखाना है वह है। मेरे लिए यह किसी से पूछ रहा है कि 'अधिकतम मिलान पाने के लिए सबसे तेज़ एल्गोरिथम क्या है' और एक उत्तर के रूप में 'अच्छी तरह से, मैचिंग की संरचना में किसी भी अंतर्दृष्टि को विफल करते हुए, यह घातीय समय है।' सवाल पूछ रहा है कि क्या BPP की संरचना में कुछ ज्ञात अंतर्दृष्टि है जो कुशल ZPP सिमुलेशन को संभव बनाती है

— Sasho Nikolov

@ साशिकोइकोलोव: यह वास्तव में गहरी अंतर्दृष्टि का मतलब नहीं था। प्रश्न के शब्दों से यह मुझे CS.SE की ओर पलायन की सीमा रेखा प्रतीत हो रही थी। मैंने इसका काफी शाब्दिक उत्तर देने का फैसला किया, बुद्धि के लिए: जहाँ तक हम जानते हैं , लास वेगास मशीन का सबसे कुशल अपेक्षित समय जो एक भाषा को स्वीकार करता है, LceptsBPP एक नियतात्मक मशीन की तुलना में बहुत बेहतर नहीं है जो संभावनाओं को बल प्रदान करती है। उत्तर जो कहते हैं कि यह कुछ बहुपद ऊपरी बाध्य हो सकता है यदि कुछ शर्तें उत्कृष्ट और सूचनात्मक हों, और मैं उन्हें इसके लिए वोट देता हूं; लेकिन मैं वास्तविक प्रश्न को संबोधित करता हूं।

— नील डी ब्यूड्रैप

मुझे लगता है कि यह एक अच्छा जवाब है (संपादित करने के बाद अब और भी पठनीय)। हमारे पास "P = ZPP का तात्पर्य P = BPP" या "ZPP = BPP का तात्पर्य P = BPP" से नहीं है, इसलिए यह अभी भी संभव है कि हम निर्धारित एल्गोरिथ्म की तुलना में तेजी से ZP एल्गोरिदम द्वारा BPP का अनुकरण कर सकें। हालाँकि रिलेटिवाइजेशन रिजल्ट का अर्थ यह लगता है कि यह किसी रीलेटिव सिचुएशन से नहीं हो सकता है, क्या मैं सही तरीके से समझ पा रहा हूं?

— केव