न्यूनतम कटौती को अधिकतम करने की क्षमता बढ़ाना

Question

इकाई क्षमता वाले सभी किनारों के साथ एक ग्राफ पर विचार करें। एक बहुपद समय में न्यूनतम कटौती पा सकते हैं।

मान लीजिए मुझे किसी की क्षमता बढ़ाने की अनुमति है $k$अनन्तता तक किनारों (किनारे के दोनों ओर नोड्स को मर्ज करने के बराबर)। का एक इष्टतम सेट का चयन करने का इष्टतम तरीका क्या है$k$ न्यूनतम कटौती करने के लिए किनारों (जिनकी क्षमता अनंत तक बढ़ जाएगी)?

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मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके प्रश्न को समझता हूं: "न्यूनतम कट को अधिकतम करने के लिए कश्मीर के किनारों का चयन करने का इष्टतम तरीका क्या है?", आपका मतलब है 1 का न्यूनतम कटौती) एकात्मक क्षमताओं वाला ग्राफ या 2) सामान्य क्षमताओं वाला एक ग्राफ ?

— जेरेमी

Answer 1

प्रमेय। पोस्ट में समस्या एनपी-हार्ड है।

"पोस्ट में समस्या" से, मेरा मतलब है, एक ग्राफ दिया $G=(V,E)$ और पूर्णांक $k$, चुनना $k$ संशोधित ग्राफ में न्यूनतम कटौती को अधिकतम करने के लिए किनारों को बढ़ाना।

मैक्स कट से कम करने का विचार है। मोटे तौर पर, एक दिया गया ग्राफ$G=(V,E)$ अधिकतम कट आकार है $s$ अगर और केवल अगर आप की क्षमता बढ़ा सकते हैं $n-2$ किनारों ताकि परिणामी ग्राफ में न्यूनतम कट आकार हो $s$। विचार यह है कि$n-2$ किनारों के परिणामस्वरूप परिणामी ग्राफ को केवल एक परिमित-क्षमता में कटौती के लिए बाध्य करने के लिए पर्याप्त है, और यह आपके द्वारा चुने गए किसी भी कटौती हो सकती है।

दिए गए कट को प्राप्त करने के लिए यह विचार काफी काम नहीं करता है $(C, V\setminus C)$, आप से प्रेरित उपसमूहों की जरूरत है $C$ तथा $V\setminus C$प्रत्येक को जोड़ा जाना है। लेकिन आप इसके आसपास उचित गैजेट के साथ काम कर सकते हैं।

सबूत। जुड़ा हुआ ग्राफ दिया$G=(V,E)$एक कट होने के लिए कनेक्टेड कट को परिभाषित करें$(C,V\setminus C)$ इस तरह के उपसमूहों से प्रेरित है $C$ और द्वारा $V\setminus C$प्रत्येक जुड़े हुए हैं। मैक्स कनेक्टेड कट को परिभाषित करें कटे हुए कट को पार करने वाले किनारों की संख्या को अधिकतम करने के लिए कनेक्टेड कट (किसी दिए गए जुड़े ग्राफ में) को खोजने की समस्या।

हम दिखाते हैं कि मैक्स कनेक्टेड कट पोस्ट में समस्या को कम करता है। फिर हम दिखाते हैं कि अनवीटेड मैक्स कट मैक्स कनेक्टेड कट को कम करता है।

लेम्मा 1. मैक्स कनेक्टेड कट पॉली टाइम में पोस्ट में परिभाषित समस्या को कम करता है।

सबूत। एक मैक्स-कनेक्टेड-कट उदाहरण दिया$G=(V,E)$, चलो $k=|V|-2$। लेम्मा सिद्ध करने के लिए, हम निम्नलिखित सिद्ध करते हैं:

दावा 1: किसी के लिए$s>0$, जुड़ा हुआ कट है $(C,V\setminus C)$ में $G$ कम से कम की क्षमता $s$, IFF इसे उठाना संभव है $k$ में धार क्षमता $G$ अनंत तक ताकि परिणामी ग्राफ में न्यूनतम कट क्षमता हो $s$।

केवल IF: मान लीजिए कि कोई जुड़ा हुआ कट है $(C,V\setminus C)$ कम से कम की क्षमता $s$। चलो$T_1$ तथा $T_2$ क्रमशः फैले हुए उप-योग होते हैं, $C$ तथा $V\setminus C$, फिर किनारों की क्षमता बढ़ाएं $T_1$ तथा $T_2$। (ध्यान दें कि$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$।) ग्राफ में बची एकमात्र परिमित क्षमता है $(C, V\setminus C)$कम से कम क्षमता के $s$, इसलिए परिणामी ग्राफ में न्यूनतम कट की क्षमता है $s$।

IF: मान लीजिए कि इसे उठाना संभव है $k$ में धार क्षमता $G$ ताकि परिणामी ग्राफ में न्यूनतम कट की क्षमता हो $s$। द्वारा गठित उपसमूह पर विचार करें$k$किनारों को उठाया। व्यापकता के नुकसान के बिना, मान लें कि यह उपसमूह चक्रीय है। (अन्यथा, उठाए गए किनारों के एक चक्र से एक किनारे को "हटाएं" और इसके बजाय कुछ अप्रकाशित बढ़त को बढ़ाएं जो कि उपसमूह से दो जुड़े हुए घटकों को जोड़ता है। यह केवल परिणामस्वरूप ग्राफ में न्यूनतम कटौती को बढ़ाता है।)$k=n-2$उप-किनारों को ऊपर उठाने के दो जुड़े घटक हैं, कहते हैं $C$ तथा $V\setminus C$, इसलिए परिणामी ग्राफ में एकमात्र परिमित क्षमता में कटौती है $(C,V\setminus C)$। और इस कटौती में कम से कम क्षमता है$s$, जैसा कि उसने मूल ग्राफ में किया था।

यह दावा (और लेम्मा) साबित करता है। (QED)

पूर्णता के लिए, हम दिखाते हैं कि मैक्स कनेक्टेड कट एनपी-पूर्ण है, बिना कटे हुए मैक्स कट से घटाकर।

लेम्मा 2. अनवीटेड मैक्स कट पॉली टाइम में मैक्स कनेक्टेड कट में कम हो जाता है ।

सबूत। किसी भी पूर्णांक के लिए$N\ge 1$, ग्राफ को परिभाषित करें $P(N)$ दो रास्तों से मिलकर $A$ तथा $B$लंबाई के प्रत्येक $N$प्रत्येक शीर्ष से किनारों के साथ $A$ में प्रत्येक शीर्ष पर $B$। हम इसे सत्यापित करने के लिए पाठक के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ देते हैं कि अधिकतम में कटौती$P(N)$ ($A$ एक तरफ, $B$ दूसरे पर) का आकार है $N^2$, और कोई अन्य कट आकार से बड़ा है, कहते हैं, $N^2-N/100$।

यहाँ कमी है। किसी भी अनकवर्ड मैक्स कट उदाहरण को देखते हुए$G=(V,E)$एक ग्राफ का निर्माण करें $G'=(V',E')$निम्नलिखित नुसार। चलो$n=|V|$। चलो$N = 100(n^2 + 2n)$। में जोड़े$G$ लेखाचित्र $P(N)$ ऊपर परिभाषित किया गया (इसके दो रास्तों के साथ) $A$ तथा $B$)। प्रत्येक शीर्ष से$v\in V$ में एक शीर्ष करने के लिए एक बढ़त जोड़ें $A$ और एक किनारे से दूसरे किनारे तक $B$। यह कमी को परिभाषित करता है। समाप्त करने के लिए, हम इसे सही साबित करते हैं:

दावा २: किसी के लिए भी$s\ge 0$, एक कटौती है $(C,V\setminus C)$ में $G$ कम से कम की क्षमता $s$, IFF में एक जुड़ा हुआ कट है $G'$ कम से कम आकार का $s+N^2+n$।

केवल आईएफ: किसी भी कटौती को देखते हुए $(C,V\setminus C)$ में $G$ कम से कम की क्षमता $s$, जुड़े कट पर विचार करें $(A\cup C, B\cup V\setminus C)$ में $G'$। इसमें कनेक्टेड कट$G'$ कम से कम $s$ किनारों से $C$ सेवा $V\setminus C$, प्लस $N^2$ किनारों से $A$ सेवा $B$, प्लस $n$ का $2n$ किनारों से $V$ सेवा $A\cup B$।

यदि: मान लीजिए कि कोई जुड़ा हुआ कट है $G'$ कम से कम आकार का $s+N^2+n$। $A$ तथा $B$कटौती के विपरीत पक्ष में हैं। (अन्यथा, दूसरे सबसे बड़े कटौती के बाद से$P(N)$ ज्यादातर पर कटौती $N^2-N/100$ में किनारों $P(N)$किनारों की कुल संख्या में कटौती सबसे अधिक है $N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$।) चलो $C$ में कोने को निरूपित करें $V$ के साथ कटौती की ओर $A$। फिर हैं$N^2$ से कटौती में किनारों $A$ सेवा $B$, तथा $n$ से $V$ सेवा $A\cup B$, इसलिए कम से कम होना चाहिए $s$ से $C$ सेवा $V\setminus C$।

यह दावा और लेम्मा 2 साबित करता है (QED)

Lemmas 1 और 2 के बाद से, अनवीटेड मैक्स कट एनपी-हार्ड है, पोस्ट में समस्या एनपी-हार्ड भी है।

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इससे यह भी पता चलता है कि "वेतन वृद्धि को बढ़ाने के लिए k किनारों को बढ़ाने के लिए" समस्या दी गई है $s$ तथा $t$ एनपी-पूर्ण (पिक) है $s$ तथा $t$ में सीधा होना $A$ तथा $B$क्रमशः)।

— डेनियलो