में प्रमाण

Question

रेज़बोरोव द्वारा एक बातचीत में, एक जिज्ञासु थोड़ा बयान पोस्ट किया गया है।

यदि FACTORING कठिन है, तो Fermat की छोटी प्रमेय में सिद्ध नहीं है $S_{2}^{1}$।

क्या है $S_{2}^{1}$और वर्तमान सबूत में क्यों नहीं हैं $S_{2}^{1}$?

Answer 1

$S^1_2$ बंधे हुए अंकगणित का एक सिद्धांत है, जो कि एक कमजोर स्वयंसिद्ध सिद्धांत है जो किपीनो अंकगणितके प्रेरण के स्कीमा को गंभीर रूप से प्रतिबंधित करता है। यह उनकीथीसिसमें सैम बुस द्वारा परिभाषित सिद्धांतों में से एक है, अन्य सामान्य संदर्भों मेंप्रथम क्रम के अंकगणितीय केअध्याय V Hájek और Pudlák केमेटामैटमैटिक्स शामिल हैं, Krajíček के "बाउंड अंकगणितीय, प्रस्ताव तर्क और जटिलता सिद्धांत",हैंडबुककेहैंडबुक केBuss के अध्याय II।प्रूफ थ्योरी के, और कुक और न्गुयेन कीलॉजिकल प्रूफरीडिटी की नींव।

$S^1_2$

फ़र्मेट लिटिल प्रमेय के सभी ज्ञात प्रमाण या तो घातीय-आकार की वस्तुओं का उपयोग करते हैं, या वे बंधे हुए सेटों के आकार की सटीक गणना पर भरोसा करते हैं (जो कि संभवतः टोडा प्रमेय के कारण, बहुपद पदानुक्रम में, एक बाध्य सूत्र द्वारा निश्चित नहीं है)।

$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$a$$p$$p$$k$$a^k\equiv1\pmod p$ ।

यह सच है कि यह एफएलटी का परिणाम है, लेकिन वास्तव में यह एफएलटी की तुलना में बहुत, बहुत कमजोर बयान है। विशेष रूप से, यह कथन कमजोर कबूतर सिद्धांत से आता है, जिसे बाउंड अंकगणित के एक उपतंत्र में सिद्ध किया जाता है (यद्यपि तुलना में अधिक मजबूत )। इस प्रकार, क्राजिक और पुडलक का तर्क दिखाता है कि कमजोर कबूतर सिद्धांत को साबित नहीं करता है जब तक कि फैक्टरिंग आसान नहीं है, और इस तरह से अंकगणितीय पदानुक्रम के दूसरे स्तर से का सशर्त अलगाव प्रदान करता है , कहते हैं ।$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$T^2_2$

इसके विपरीत, वास्तविक FLT भी पूर्ण बाउंड अंकगणितीय में साबित नहीं होता है , लेकिन यह क्रिप्टोग्राफी से संबंधित नहीं है। आप कमजोर अंकगणित में मेरे पेपर एबेलियन समूहों और द्विघात अवशेषों में कुछ प्रासंगिक चर्चा पा सकते हैं ।$S_2=T_2$

Comments

हाय एमिल: पूरे जवाब के लिए थैंक्यू। मुझे फिर से पूछने के लिए क्षमा करें। आप लिखते हैं "फेटरम लिटिल प्रमेय के सभी ज्ञात प्रमाण या तो घातीय-आकार की वस्तुओं का उपयोग करते हैं, या वे बंधे हुए सेटों के आकार की सटीक गणना पर निर्भर करते हैं (जो कि संभवत: टोडा के कारण बहुपद पदानुक्रम में, एक बाध्य सूत्र द्वारा निश्चित नहीं है) प्रमेय)। " लेकिन flt मोडुलो और अपने आप में एक घातीय वस्तु है? $a^{k}$$p$$a^{k}$

— T ....

यह सही है, लेकिन आपको वास्तव में Fermat की छोटी प्रमेय बनाने के लिए आवश्यकता नहीं है। बाइनरी में , , और को देखते हुए , आप बार-बार करके बहुपद समय में गणना कर सकते हैं , और परिणाम मैंने इस बहुपद-समय फ़ंक्शन का उपयोग करके FLT के एक सूत्रीकरण की चिंता का उल्लेख किया है। $a^k$$a$$k$$p$$a^k\bmod p$

— एमिल जेकाबेक

Factorial अनुमान कहता है कि समान उत्पादों को कुशलता से गणना करने योग्य नहीं होना चाहिए , विशेष रूप से कंप्यूटिंग फैक्टरिंग जितना ही कठिन है , इसलिए यह मदद करने की संभावना नहीं है। ध्यान दें कि भले ही उत्पाद एक बहुपद-काल एल्गोरिथ्म द्वारा गणना योग्य था और आप इसे में औपचारिक रूप दे सकते हैं , यह अभी भी गैर-स्पष्ट है कि कैसे साबित किया जाए कि ऐसे घातीय लंबे उत्पाद बहुपदों के क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं (जो कि है) विकी प्रमाण में प्रयुक्त मुख्य संपत्ति)। $m!\bmod n$$n$$S^1_2$

— एमिल जेकाबेक

नहीं, यह पर्याप्त नहीं होगा। कम्यूटिविटी केवल आपको बताती है कि दो शब्दों के उत्पाद को अनुमति दी जा सकती है। लंबे समय तक उत्पादों के लिए, आपको इंडक्शन द्वारा किसी प्रकार के तर्क को स्थापित करना होगा, जिसमें मूल उत्पाद में प्रयुक्त मॉड्यूलर अंकगणितीय अनुक्रमों (जैसे कि तुलना में अधिक जटिल संरचना वाले उत्पादों को शामिल करना होगा। या इस तरह का कुछ)। यदि यह आपकी कल्पना में मदद करता है, जबकि उत्पाद परिमित दिखते हैं , तो अंकगणित के गैर-मानक मॉडल में वास्तव में अनंत है, ... $$\prod_{i=1}^{p-1}\begin{cases}ia&\text{if }(ia\bmod p)<k\\1&\text{otherwise}\end{cases}$$ $[1,p-1]$

— एमिल जेकाबेक

... और यह एक सुव्यवस्थित क्रम भी नहीं है (इसमें की एक प्रति शामिल है )। $\mathbb Q$

— एमिल जेकब