मुल्मुले-सोहनी ज्यामितीय निचली सीमा के उत्पादन के लिए प्राकृतिक दृष्टिकोण (रज़ोरोव-रूडीच अर्थ में) के उत्पादन से कैसे बचता है?

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आनंद कुलकर्णी (जिन्होंने इस साइट को प्रस्तावित किया है) शीर्षक के कारण शीर्षक का सटीक विवरण है। यह सवाल एक उदाहरण प्रश्न के रूप में पूछा गया था, लेकिन मैं बहुत उत्सुक हूं। मैं बीजगणितीय ज्यामिति के बारे में बहुत कम जानता हूं, और वास्तव में केवल एक सरसरी, अंडरग्रेजुएट समझ है जो पी / पॉली बनाम एनपी प्रश्न में खेलने में बाधा है (गैर-सापेक्ष, गैर-बीजगणित, संभवतः एक प्राकृतिक प्रमाण नहीं होगा) ।

क्या बीजीय ज्यामिति ऐसा लगता है कि यह बाधाओं के इन प्रकार को बायपास कर सकता है? क्या यह सिर्फ क्षेत्र विशेषज्ञ अंतर्ज्ञान है या क्या हमारे पास दृष्टिकोण को पिछले दृष्टिकोण की तुलना में मौलिक रूप से अधिक शक्तिशाली मानने का एक बहुत अच्छा कारण है? इस दृष्टिकोण के क्या कमजोर परिणाम प्राप्त करने में सक्षम हैं?

— रॉस स्नाइडर
स्रोत

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[मैं इस प्रश्न का उत्तर दूंगा जैसा कि शीर्षक में कहा गया है, जीसीटी के बारे में अन्य प्रश्नों के लिटनी को अन्य थ्रेड्स के लिए छोड़ दें।] जीसीटी में उत्पन्न होने वाले अनुमानों को साबित करने से ऐसा लगता है कि यह महत्वपूर्ण रूप से इस तथ्य का उपयोग करेगा कि विचाराधीन कार्य (निर्धारक और स्थायी) और पी / पाली और एनपी के लिए अन्य संबंधित बहुपद उनके समरूपता की विशेषता है। यह आवश्यकता औपचारिक परिणाम नहीं है, लेकिन कई विशेषज्ञों द्वारा व्यक्त अंतर्ज्ञान है। (मूल रूप से समरूपता द्वारा लक्षण वर्णन के अभाव में, बीजगणितीय ज्यामिति और प्रतिनिधित्व सिद्धांत को समझना बहुत कठिन है।)

यह रज़ोरोव-रुडीच को बायपास करना चाहिए क्योंकि बहुत कम कार्यों को उनके समरूपता (प्राकृतिक प्रमाणों की परिभाषा में लारजेनस की स्थिति को दरकिनार) द्वारा विशेषता है। फिर, मैंने इसका कोई प्रमाण नहीं देखा है, लेकिन यह एक अंतर्ज्ञान है जिसे मैंने कई विशेषज्ञों द्वारा व्यक्त किया है।

अब, जटिल संख्याओं पर, यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि रज़बोरोव-रुडीच का एक एनालॉग है। हालांकि वर्तमान में अधिकांश GCT जटिल संख्याओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं, लेकिन परिमित विशेषता में एनालॉग्स हैं (आगामी पेपर GCT AIII में वादा किया गया है)। परिमित विशेषता में, कोई वास्तव में फ़ॉर्म के एक कथन को साबित करने में सक्षम हो सकता है "बहुत कम कार्य उनके समरूपता द्वारा विशेषता हैं।"

[रॉस स्नाइडर की टिप्पणी के जवाब में, यहाँ समरूपता द्वारा लक्षण वर्णन की व्याख्या की गई है।]

सबसे पहले, एक स्पष्टीकरण-द्वारा-उदाहरण। उदाहरण के लिए, एक सहायक फ़ंक्शन को परिभाषित करें । यदि क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है, तो और यदि विकर्ण है, तो (विकर्ण प्रविष्टियों का उत्पाद)। अब, मान लीजिए कि वैरिएबल्स में एक सजातीय डिग्री बहुपद है (जिसे हम मैट्रिक्स की प्रविष्टि के रूप में समझते हैं। $q$ $A$ $q(A)=1$ $A$ $q(A)=det(A)$ $p(X)$ $n$ $n^2$ $n \times n$ $X$ )। यदि में निम्न सममितियाँ हैं: $p$

(स्थानांतरित करें) $p(X) = p(X^t)$
सभी युग्मों के लिए जैसे कि और प्रत्येक या तो क्रमपरिवर्तन मेट्रिसेस या विकर्ण मेट्रिसेस और $p(AXB) = p(X)$ $(A,B)$ $A$ $B$ $q(A)q(B) = 1$

तो के एक निरंतर कई है के लिए सभी मैट्रिक्स । इसलिए हम कहते हैं कि स्थायी इसकी समरूपता की विशेषता है। $p(X)$ $perm(X)$ $X$

आम तौर पर, अगर हम एक (सजातीय) बहुपद है में चर, तो (सभी उलटी के समूह मैट्रिक्स) पर काम करता है द्वारा $f(x_1, ..., x_m)$ $m$ $GL_m$ $m \times m$ $f$ के लिए (जहां हम चर ले जा रहे हैं के लिए एक आधार के रूप में आयामी वेक्टर अंतरिक्ष जिस पर प्राकृतिक रूप से कार्य करता है)। की स्थिरता प्राप्त में है उपसमूह $(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$ $A \in GL_m$ $x_1,...,x_m$ $m$ $GL_m$ $f$ $GL_m$ । हम कहते हैं कि अपने समानताएं की विशेषता है यदि निम्न रखती है: किसी भी सजातीय बहुपद के लिए में के रूप में ही डिग्री के चर , अगर सभी के लिए , तो एक लगातार कई। $\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$ $f$ $f'$ $m$ $f$ $Af' = f'$ $A \in \text{Stab}(f)$ $f'$ $f$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

यह एक महान जवाब की तरह लगता है, लेकिन मुझे डर है कि मैं फ़ंक्शन के समरूपता के बारे में थोड़ा नहीं समझता (जिसका अर्थ है कि मैं प्रतिक्रिया के महत्वपूर्ण विवरणों को याद कर रहा हूं)। क्या आप किसी फ़ंक्शन की समरूपता को अनपैक कर सकते हैं, इसलिए इसकी विशेषता के लिए बहुत कम कार्यों के लिए यह महत्वपूर्ण होगा (उर्फ - क्यों यह एक को रज़बोरोव की लार्जन स्थिति को बायपास करने की अनुमति देगा)? स्पष्ट होने के लिए, आपका उत्तर यह है कि एक मिश्रण है। ऐसे कारण हैं कि दृष्टिकोण आशाजनक दिखता है, लेकिन अंततः इन कारणों के प्रमाण काफी हद तक विशेषज्ञ अंतर्ज्ञान के कारण हैं।

— रॉस स्नाइडर

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मैंने आपके लिए समरूपता द्वारा लक्षण वर्णन का विवरण जोड़ा। यहां तक कि अगर यह मामला है कि बहुत कम कार्यों को उनके समरूपता की विशेषता है, तो हम अभी भी विशेषज्ञों के अंतर्ज्ञान पर भरोसा कर रहे हैं कि समरूपता द्वारा लक्षण वर्णन जीसीटी में उत्पन्न होने वाले अनुमानों को साबित करने में महत्वपूर्ण होगा। यदि यह वास्तव में मामला है, तो उन अनुमानों में उपयोग की जाने वाली प्रूफ तकनीक केवल कार्यों के एक छोटे से अंश के लिए काम करेगी, इस प्रकार लारेंजेस की स्थिति को दरकिनार कर देगी। (या वह नहीं था जो आप के बारे में पूछ रहे थे?)

— जोशुआ ग्रूको

Ooooh। एपिफेनी यहाँ दर्ज की गई। बहुत बहुत धन्यवाद। मैं इस उत्तर को कैसे स्वीकार नहीं कर सकता?

— रॉस स्नाइडर

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जोशुआ ग्रोचो का उत्तर एक अच्छा है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अधिक सामान्य टिप्पणी करने के लायक है। रज़बोरोव-रुडीच परिणाम कहता है कि यदि आप यह साबित करना चाहते हैं कि कुछ बूलियन फ़ंक्शन , तो (यह मानते हुए कि आप उनकी क्रिप्टोग्राफ़िक परिकल्पना मानते हैं) आपको उस फ़ंक्शन की कुछ संपत्ति का उपयोग करना होगा जो या तो गणना के लिए अनौपचारिक है या यह केवल बूलियन कार्यों की एक छोटी संख्या द्वारा साझा किया जाता है। व्यवहार में उपयुक्त गुणों के साथ आना आसान नहीं है; हालांकि, रेज़बोरोव-रुडीच अवलोकन वास्तव में सर्किट लोअर बाउंड्स पर हमले के कई सामान्य योजनाओं को निर्धारित प्रमाण के बारे में ठोस विवरणों की अनुपस्थिति में खारिज नहीं करता है । उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि मैं भोलेपन से कह रहा था कि मेरी योजना सही साबित होगी $P/poly$ शामिल दिखा कि , और कहा कि मैं इस तथ्य है कि का उपयोग करने का इरादा है -Complete। यह भोली "हमले की योजना" लगभग सामग्री-मुक्त है, लेकिन रज़बोरोव-रुडीच ने इसे खारिज नहीं किया है, क्योंकि -कॉमप्लेनेसएक बड़ी संपत्ति नहीं है। $NP\not\subseteq P/poly$ $SAT\notin P/poly$ $SAT$ $NP$ $NP$

इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, रेज़बोरोव-रुडीच आमतौर पर सर्किट लोअर बाउंड्स पर हमले की एक पंक्ति की योजना के शुरुआती चरणों में एक बाधा को पेश नहीं करता है, जब तक कि आप अंततः "विशेष गुण" नियोजित करने के लिए अपनी योजना में कुछ जगह छोड़ देते हैं। अपने उम्मीदवार बूलियन कार्यों के लिए। यह केवल तब होता है जब आप अपनी आस्तीन ऊपर चढ़ाते हैं और तर्क के विवरण को भरने की कोशिश करते हैं कि स्वाभाविकता अवरोधक बयाना में अपना सिर पीछे करना शुरू कर देगा। यह देखते हुए कि जीसीटी अभी भी विकास के एक प्रारंभिक चरण में है, हमें अभी तक प्राकृतिककरण के बारे में ज्यादा चिंता करने की उम्मीद नहीं करनी चाहिए (हालांकि निश्चित रूप से यह जांचने लायक है कि जीसीटी कार्यक्रम तुच्छ कारणों से बर्बाद नहीं हुआ है)।

आप केन रेगन के GCT के निष्कासन की जांच भी कर सकते हैं , जिसमें प्राकृतिकरण बाधा के बारे में कुछ टिप्पणियां शामिल हैं।

— टिमोथी चौ
स्रोत