क्या गैप -3SAT NP- 3CNF फॉर्मूलों के लिए भी पूर्ण है, जहाँ कोई भी वैरिएबल औसत से अधिक क्लॉस में दिखाई नहीं देता है?

Question

इस प्रश्न में, एक 3CNF सूत्र का अर्थ है CNF सूत्र जहाँ प्रत्येक खंड में तीन अलग-अलग चर शामिल होते हैं । निरंतर 0 < s <1 के लिए, Gap-3SAT _s निम्नलिखित वादा समस्या है:

गैप-3SAT _रों
उदाहरण : एक 3CNF सूत्र φ।
हां-वादा : φ संतोषजनक है।
कोई वादा : नहीं सच कार्य की तुलना में अधिक संतुष्ट रों φ के खंड के अंश।

प्रसिद्ध PCP प्रमेय [AS98, ALMSS98] को बताने के समान तरीकों में से एक यह है कि इसमें निरंतर 0 < s <1 मौजूद है जैसे कि Gap-3SAT _s NP-complete है।

हम कहते हैं कि एक 3CNF फॉर्मूला युग्मित B- बद्ध है, यदि प्रत्येक जोड़ी अलग-अलग चर सबसे बी खंडों में दिखाई देती है । उदाहरण के लिए, एक 3CNF सूत्र ( एक्स ₁ ∨ एक्स ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (¬ एक्स ₁ ∨¬ एक्स ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( एक्स ₁ ∨ एक्स ₃ ∨¬ एक्स ₅ ) जोड़ो में 2-घिरा है लेकिन 1 जोड़ो में नहीं जैसे कि क्योंकि जोड़ी ( x ₁ , x ₄ ) एक से अधिक खंडों में दिखाई देती है।

प्रश्न । वहाँ स्थिरांक मौजूद है बी ∈ℕ, एक > 0, और 0 < रों <1 ऐसी है कि गैप-3SAT _रों एन पी-सम्पूर्ण यहां तक कि एक 3CNF सूत्र जो जोड़ो में है के लिए है बी -bounded और कम से कम के होते हैं एक ² खंड है, जहां n चरों की संख्या क्या है?

जोड़ीदार सीमा स्पष्ट रूप से इसका तात्पर्य है कि केवल O ( n ² ) खंड हैं। एक साथ चतुष्कोणीय निचले खंडों की संख्या के साथ, यह मोटे तौर पर कहता है कि अलग-अलग चर की कोई जोड़ी औसत से अधिक महत्वपूर्ण खंडों में दिखाई देती है।

गैप-3SAT के लिए, यह ज्ञात है कि विरल मामला कठिन है : एक निरंतर वहां मौजूद 0 < रों <1 गैप-3SAT ऐसी है कि _रों भी एक 3CNF सूत्र जहां प्रत्येक चर वास्तव में पांच बार [Fei98] होता है के लिए एनपी पूरा हो गया है। दूसरी ओर, घने मामला आसान है : मैक्स-3SAT एक पीटीए Ω (के साथ एक 3CNF सूत्र के लिए मानते हैं n ³ ) अलग खंड [AKK99], और इसलिए गैप-3SAT _रों हर लगातार 0 के लिए पी में है इस मामले में < s <१। सवाल इन दो मामलों के बीच के बारे में पूछता है।

उपरोक्त प्रश्न मूल रूप से क्वांटम कम्प्यूटेशनल जटिलता के एक अध्ययन में उत्पन्न हुआ, और विशेष रूप से उलझाऊ प्रोवर्स ( एमआईपी ^* (2,1) सिस्टम) के साथ दो-प्रोवर एक-राउंड इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम । लेकिन मुझे लगता है कि यह सवाल अपने आप में दिलचस्प हो सकता है।

संदर्भ

[AKK99] संजीव अरोड़ा, डेविड करगर, और मारेक कारपिन्स्की। एनपी-हार्ड समस्याओं के घने उदाहरण के लिए बहुपद समय सन्निकटन योजनाएं। जर्नल ऑफ़ कंप्यूटर एंड सिस्टम साइंसेस , 58 (1): 193–210, फरवरी 1999। http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] संजीव अरोड़ा, कार्स्टेन लंड, राजीव मोटवानी, मधु सूदन और मारियो स्वेजेडी। प्रमाण सत्यापन और सन्निकटन समस्याओं की कठोरता। एसीएम की पत्रिका , 45 (3): 501-555, मई 1998. http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] संजीव अरोड़ा और शमूएल सफरा। प्रमाणों की संभावित जांच: एनपी का एक नया लक्षण वर्णन। एसीएम की पत्रिका , ४५ (१): ,०-१२२, जनवरी १ ९९,। http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[फ़ेइ U ९ 98] यूरियल फीज। सेट कवर सन्निकटन के लिए ln n की दहलीज । एसीएम की पत्रिका , ४५ (४): ६३४-६५२, जुलाई १ ९९,। http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

Comments

@ त्सुयोशी: क्या मैं सही मानता हूं कि अन्य मध्यवर्ती मामलों के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है, और m = Ω ( n 3 ) के बीच ? $m = O(n)$$m = \Omega(n^3)$

— एंड्रे सलामोन

@ एंड्रस: मैं मध्यवर्ती मामलों के बारे में किसी भी पूर्व परिणाम से अवगत नहीं हूं, लेकिन मुझे लगता है कि मुझे लगता है कि निम्नलिखित मामलों की एनपी-पूर्णता का प्रमाण है। (1) जोड़ो घिरा, खंड है, लेकिन एक अंतराल के बिना। (2) गैप के साथ, Ω ( n d ) किसी भी स्थिर d <3 के लिए क्लॉस होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि पेयर वाइज बंधे हों। (3) एक अंतर के साथ, घिरा जोड़ो में, Ω ( एन डी ) किसी भी निरंतर घ <2 के लिए खंड। (1) का प्रमाण [Fei98] से एक साधारण कमी है। (2) का प्रमाण Ailon और Alon 2007 के परिणाम का हिस्सा है । (3) का प्रमाण विस्तारकों का उपयोग करता है। $\Omega(n^2)$$\Omega(n^d)$$\Omega(n^d)$

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: अपने पेपर को पढ़ने के लिए उत्सुक।

— एंड्रू सलामोन

एक जवाब नहीं है, लेकिन अगर तरीकों प्रमाणित करने के लिए है कि मीटर खंड के एक यादृच्छिक 3CNF unsatisfiable इस समस्या को दिखाने में यहां सफल होने के कर सकते हैं मैं जाँच करेगा आसान, कम से कम अगर आप सुदृढ़ता की आवश्यकता है 7/8 के करीब होने के लिए। ये कार्य सफल होते हैं जब एक बार n 1.5 से अधिक खंड होते हैं और अर्ध-यादृच्छिक मॉडल तक विस्तारित होते हैं (देखें FeC FOCS 07 को स्मूथ 3CNF का खंडन करते हुए)। हालांकि, ऐसा लगता है कि त्सुयोशी ने दिखाया कि यहां तक ​​कि एन 1.9 का मामला अभी भी एनपी-हार्ड है, इसलिए शायद यह दिखाता है कि ये काम प्रासंगिक नहीं हैं। $s$$n^{1.5}$$n^{1.9}$

— बोअज़ बराक

बोअज, आप हमेशा से हर चर की जगह "घना" कर सकते हैं 3SAT का एक उदाहरण प्रतियां, और उसके बाद से हर खंड की जगह एम 3 खंड, मूल खंड में हर संभव तरीके में प्रतियां द्वारा प्रत्येक चर की जगह। यह आपको एक उदाहरण देता है जिसमें खंडों का समान अंश संतोषजनक है, लेकिन आप n चर और m खंड से nM चर और m M 3 खंड तक जाते हैं, इसलिए, घटनाओं की संख्या पर कोई और बाधा नहीं है, आप रख सकते हैं सुदृढ़ता 7 / 8 + ε साथ सूत्रों में भी एन चर और एन 2.999 खंड। $M$$M^3$$mM^3$$7/8 + \epsilon$$N$$N^{2.999}$

— लूका ट्रेविसन

Answer 1

पूरा जवाब नहीं, लेकिन उम्मीद के करीब। यह ऊपर लुका की टिप्पणियों के बहुत करीब है। मेरा मानना ​​है कि उत्तर यह है कि कम से कम वहाँ स्थिरांक B a, a > 0, और 0 < s <1 मौजूद हैं जैसे कि Gap-3SAT _s , NPC के लिए एक 3CNF सूत्र के लिए भी पूर्ण है जो युग्मित B- भीतर है और इसमें समाहित है कम से कम खंड, किसी भी निरंतर के लिए ε ।$an^{2-\epsilon}$$\epsilon$

प्रमाण इस प्रकार है। एक गैप-3SAT पर विचार करें रों उदाहरण φ पर एन सबसे 5 बार में प्रत्येक चर प्रकट होता है, जिसमें चर। यह एनपी-पूर्ण है, जैसा कि आप प्रश्न में कहते हैं।$_s$$\phi$$N$

अब हम एक नया उदाहरण बनाने इस प्रकार है:$\Phi$

1. प्रत्येक चर के लिए ϕ , Φ में n चर y i j है ।$x_i$$\phi$$\Phi$$n$$y_{ij}$
2. सूचकांक के प्रत्येक सेट के लिए , एक और ख के साथ एक ≠ ख , Φ खंड की एक जोड़ी है y मैं एक ∨ ¬ y मैं ख ∨ ¬ y मैं ख , और y मैं ख ∨ ¬ y मैं एक ∨ ¬ y मैं एक । मैं तुलना खंड के रूप में इन का उल्लेख है, क्योंकि वे यह सुनिश्चित करें कि करेंगे y मैं एक = y मैं ख अगर वे संतुष्ट हैं।$i$$a$$b$$a\neq b$$\Phi$$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$$y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$$y_{ia} = y_{ib}$
3. में हर खंड के लिए चर पर अभिनय x मैं , एक्स जे और एक्स कश्मीर , हर के लिए एक और ख , Φ एक बराबर खंड है, जहां होता है x मैं ने ले ली है y मैं एक , एक्स जे ने ले ली है y जे बी और एक्स कश्मीर y k ( a + b ) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है (यहाँ जोड़ मोडुलो n किया गया है )। मैं इन्हें विरासत में दिए गए खंड के रूप में संदर्भित करूंगा।$\phi$$x_i$$x_j$$x_k$$a$$b$$\Phi$$x_i$$y_{ia}$$x_j$$y_{jb}$$x_k$$y_{k(a+b)}$$n$

चर की कुल संख्या तब । नोट Φ है 2 एन एन 2 तुलना खंड और $m = nN$$\Phi$$2Nn^2$विरासत में मिला, कुल$\frac{5}{3}Nn^2$खंड। N=Nkलेनाहमारे पासm=Nk+1 हैऔर कुल संख्याC=$\frac{11}{3}Nn^2$$n = N^k$$m = N^{k+1}$ । हम लेकश्मीर=ε-1-1, तोसीαमीटर2-ε।$C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$$k = \epsilon^{-1} - 1$$C \propto m^{2-\epsilon}$

इसके बाद, जोड़ो में 8 घिरा (विरासत में मिला खंड से तुलना खंड से 2 और 6 की अधिकतम) है।$\Phi$

अंत में, यदि असंतोषजनक है, तो कम से कम ( 1 - s ) एन क्लॉज असंतुष्ट हैं। अब, अगर y मैं एक ≠ y मैं ख किसी के लिए एक , ख तो कम से कम n - 1 खंड असंतुष्ट हैं। ध्यान दें कि ( 1 - s ) एन असंतुष्ट खंडों को संतुष्ट करने के लिए नियत a , b के सेट के लिए विरासत में दिए गए खंडों का एक सेट है , तब चर y : a , y का कार्यभार $\phi$$(1-s)N$$y_{ia} \neq y_{ib}$$a,b$$n-1$$(1-s)N$$a,b$$y_{:a}$ और y : ( a + b ) कम से कम 1 - s पर अलग होना चाहिए$y_{:b}$$y_{:(a+b)}$स्थिति, कम से कम1-एस कोछोड़कर$\frac{1-s}{5}N$असंतोषजनक खंडों की तुलना करें। के हर चुनाव के लिए यह जरूरी पकड़एकऔरखहै, तो कम से कम≈1-$\frac{1-s}{5}N(n-1)$$a$$b$तुलनात्मक खंडों को संतुष्ट होने के लिए पर्याप्त विरासत वाले खंडों में असंतुष्ट रहना चाहिए। यदि आप अन्य चरम को देखते हैं जहां सभी तुलना खंड संतुष्ट हैं, तो(1-s)Nn2=(1-s)m 2 k + $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$खंड असंतोषजनक हैं। इसलिए एक अंतर बना रहता है (हालांकि कम) के साथरों'=4+$(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ ।$s' = \frac{4+s}{5}$

स्थिरांक को संभवतः दो बार जांचना आवश्यक है।

Comments

धन्यवाद, जो। क्षमा करें यदि यह स्पष्ट नहीं था, लेकिन इस प्रश्न में, मुझे प्रत्येक खंड में तीन चर की आवश्यकता है जो सभी अलग-अलग हैं, और इसलिए खंडों की तुलना के रूप में वे उपयोग नहीं किए जा सकते हैं। मेरे पास एक ही तथ्य (जोड़ीदार बाउंडेड, n (n ^ (2 proof))) क्लॉज, गैप के साथ) का प्रमाण है, जो विस्तारक ग्राफ़ का उपयोग करता है, लेकिन अगर यह विस्तारकों का उपयोग किए बिना साबित हो सकता है, तो मुझे बहुत दिलचस्पी है।

— Tsuyoshi Ito

@ त्सुयोशी: आह मैं देख रहा हूं। दरअसल, मैंने शुरुआत में इसे अलग-अलग वैरिएबल के साथ खुद को साबित किया था, इसलिए इसे अपने इच्छित रूप में प्राप्त करने के लिए बहुत आसान ट्विक है। आप थोड़े अलग तरीके से तुलना खंडों को सरल रूप से असाइन करते हैं। दो खंड के बजाय मैं दे दी है आप की जरूरत 4: , y मैं एक ∨ ¬ y मैं ख ∨ y मैं ( एक + ख ) , ¬ y मैं एक$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$ और ¬ y मैं एक ∨ y मैं ख ∨ y मैं ( एक + ख ) । स्पष्ट रूप से ये पहले की तरह ही 2 वैरिएबल क्लॉस में कमी करते हैं। जाहिर है यह स्थिरांक देता है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। $￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$$￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

— जो फिजिसिमन्स

शायद एक तरह से चारों ओर पाने के लिए नहीं है लेकर कारक कश्मीर = कश्मीर ( एन ) , हालांकि उदाहरणों कि बहुत थोड़ा बढ़ने तेजी polynomially से देता है इस का सबसे अनुभवहीन कार्यान्वयन। $\epsilon$$k = k(n)$

— जो फिजिसिमन्स

मैं बाद में विवरणों को अधिक सावधानी से जांचूंगा, लेकिन ए, बी, और (ए + बी) का उपयोग करने का विचार काम करने लगता है। यह मुझे स्पष्ट रूप से विस्तारकों से निपटने से मुक्त करना चाहिए। धन्यवाद!

— त्सुयोशी इतो

कोई बात नहीं। मैं बहुत खुश हूं कि सहायता की जा सकी।

— जो फिजसिमंस