विभाज्यता के लिए सबसे कुशल एल्गोरिदम क्या है?

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$a$ $b$ $a$ $b$ $a$ $b$ $O(m\log m\log\log m)$ $m$ $\max\{a,b\}$ $\Omega(m\log m\log\log m)$ इस समस्या की निचली सीमा है?

धन्यवाद और का संबंध है, और खेद है अगर यह इस तरह के एक भोली सवाल है।

— लिएंड्रो ज़ेट्सको
स्रोत

AFAIK वहाँ कोई गैर तुच्छ कम सीमा ज्ञात कर रहे हैं। मेरा मानना है कि न्यूटन की विधि के माध्यम से गुणन और विभाजन को अनिवार्य रूप से एक ही जटिलता (हालांकि यह संभवतः लॉग लॉग कारक तक हो सकता है) के लिए जाना जाता है, और चूंकि गुणन पर कोई ज्ञात नाइलिनियर निचला ज्ञात नहीं है, इसलिए मुझे लगता है कि फॉर्म का कोई भी निचला भाग आप कह रहे हैं कि एक प्रमुख परिणाम होगा।

— स्टीवन स्टैडनिक

(वास्तव में, अब इसे देखकर मुझे लगता है कि लॉग लॉग फैक्टर दूर चला जाता है क्योंकि जब आप कई गुणा संख्या में असंबद्ध कर रहे होते हैं, तो वे सभी समान लंबाई के नहीं होते हैं, इसलिए सुपरलाइनियर कारकों को उसी तरह से अवशोषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अभी भी में रैखिक है, भले ही इसमें 'रैखिक' कारकों की संख्या न हो।)

\sum_{k = 1}^{⌊ \lg n ⌋} \frac{n}{2^{k}}

$\sum_{k=1}^{\lfloor\lg n\rfloor} \frac{n}{2^k}$

n

$n$

— स्टीवन स्टैडनिक जू

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Fleshing ने एक उत्तर में मेरी टिप्पणियों को बाहर किया: चूंकि विभाजन (तुच्छ रूप से) विभाजन के लिए reducible है, और चूंकि विभाजन न्यूटन के तरीके की तरह दृष्टिकोण के माध्यम से गुणा (निरंकुश) से गुणा करने के लिए है, तो आपकी समस्या में पूर्णांक गुणन के समान समय की जटिलता होनी चाहिए। AFAIK, तुच्छ रैखिक एक की तुलना में गुणा के लिए कोई ज्ञात कम सीमा नहीं है, इसलिए वही आपकी समस्या का सच होना चाहिए - और विशेष रूप से, गुणन के लिए जाना जाता है (अनिवार्य रूप से) एल्गोरिदम, कम बाउंड के लिए आपकी उम्मीदें लगभग निश्चित रूप से व्यर्थ हैं। $O(n\log n\log^* n)$ $n\log n\log\log n$

कारण यह है कि विभाजन जटिलता में सटीकता को कई गुना कम कर देता है - जैसा कि मैं इसे समझता हूं - यह है कि न्यूटन की विधि विभिन्न एस्केलेटिंग आकारों के गुणन का एक क्रम करेगी; इसका अर्थ है कि यदि जटिलता साथ गुणन के लिए एक एल्गोरिथ्म है, तो एक मध्यवर्ती चरण के रूप में इस गुणन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके विभाजन एल्गोरिथ्म की जटिलता की पंक्तियों के साथ होगी। - और चर्चा के तहत सभी जटिलता वर्गों के लिए यह सिर्फ । $\Theta(f(n))$ $\Theta\left(\sum_{k=0}^{\lg n} f(\frac{n}{2^k})\right)$ $\Theta(f(n))$

— स्टीवन स्टैडनिक
स्रोत

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नाइटपिक: मैं यह नहीं देखता कि आप इस तरह के तर्क से कैसे कम हो सकते हैं, भले ही हम यह मान लें कि वर्तमान में सबसे अच्छे लोगों की तुलना में गुणन के लिए कोई बेहतर एल्गोरिदम नहीं हैं। आपकी कमी का मतलब यह है कि विभाज्यता गुणा से अधिक कठिन नहीं है। लेकिन अभी भी संभावना है कि विभाजन की तुलना में विभाज्यता आसान हो सकती है और गुणन की तुलना में आसान हो सकती है, क्योंकि विभाजन के लिए केवल संख्या के बजाय हां / नहीं उत्तर की आवश्यकता होती है। (कम से कम, आप जो उल्लेख करते हैं, वह ऐसा प्रतीत नहीं होता है कि बाहर शासन करने के लिए।)

— DW

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@ डीडब्ल्यू सहमत हैं, और यह एक उत्कृष्ट बिंदु है; लेकिन मैं कम बाउंड पाने की कोशिश नहीं कर रहा था। बल्कि, मुद्दा यह है कि विभाज्यता पर कोई भी निचली सीमा, गुणन पर संबंधित निचली सीमा का अर्थ है, और चूंकि ऐसी कोई सीमा तुच्छ रैखिक सीमा से परे नहीं जानी जाती है, तो विभाजन पर कोई भी बेहतर-से-कम रैखिक सीमा प्राप्त करना (जो कि क्या का हिस्सा है) ओपी ने पूछा) की संभावना नहीं है।

— स्टीवन स्टैडनिक 21

@DW मैं विभाजन पर एक रैखिक ऊपरी सीमा के बारे में जानने के लिए पूरी तरह से चौंक नहीं होगा , और जैसा कि आप कहते हैं कि विशेष रूप से गुणन पर ऊपरी सीमा के बारे में कुछ भी मतलब नहीं होगा, लेकिन उस दिशा में कोई विशेष परिणाम नहीं हैं AFAIK।

— स्टीवन स्टैडनिक 21

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मुझे लगता है कि 3,7 आदि में समाप्त होने वाले कुछ नंबरों के लिए वैदिक प्रकार के हैक हैं या आधार 2 ^ एन डिवाइडर ...

लेकिन आम तौर पर, सबसे तेज डिवीजन एल्गोरिथ्म आदर्श लगता है।

बिना देखे सबसे अच्छा मुझे पता है कि नुथ के सेमिनुमेरिकल तरीकों का एलगोरिदम डी है ... कभी भी इसकी शुद्धता की जांच नहीं की। यह अधिक या कम O (mn-n ^ 2) में चलता है जहाँ m और n लाभांश और भाजक होते हैं ... बिना गुणन जटिलता के ...

एक कम बाध्य हालांकि आश्चर्यजनक रूप से कम हो सकता है क्योंकि आपका प्रश्न केवल निर्णय की समस्या से संबंधित है।

— फिल
स्रोत