3-CNF फॉर्मूला जिसमें रिज़ॉल्यूशन चौड़ाई

याद रखें कि चौड़ाई एक संकल्प निराकरण की एक CNF सूत्र के में होने वाली किसी भी खंड में शाब्दिक की अधिकतम संख्या है । हर के लिए , वहाँ unsatisfiable सूत्रों हैं 3-CNF सेंट में के हर संकल्प निराकरण कम से कम चौड़ाई की आवश्यकता है । $R$ $F$ $R$ $w$ $F$ $F$ $w$

मुझे 3-CNF (जितना संभव हो उतना छोटा और सरल) में एक असंतोषजनक सूत्र के ठोस उदाहरण की आवश्यकता है जिसमें चौड़ाई 4 का कोई संकल्प प्रतिक्षेप नहीं है।

— जान जोहानसन
स्रोत

क्या आपको बिल्कुल चौड़ाई 5 या कम से कम चौड़ाई 5 की आवश्यकता है? बाद के मामले में मुझे लगता है कि कुछ मुट्ठी भर वैरिएबल क्लॉजेज एक मुट्ठी भर चर पर करेंगे। बहुत अच्छा नहीं है और बहुत छोटा नहीं है, हालांकि।

— मासिमालौरिया

लगता है कि अपेक्षाकृत सीधा कंप्यूटर / अनुभवजन्य खोज इस खोज या इसे बाहर शासन करेगा। यह भी सोचो कि यहाँ कुछ और सामान्य / दिलचस्प अस्पष्टीकृत सिद्धांत है। संकल्प प्रमाण में भी देखें , क्या सभी डीएजी संभव हैं? यदि आप सहमत =) संबंधित प्रश्न फिर से देख रहे हैं, तो

-सैट फ़ार्मुलों के लिए, क्या आयाम संभव है?

m \times n

$m \times n$

— vzn

जनवरी, मुझे लगता है कि जैकब को इसका जवाब आसानी से देना चाहिए। वैसे, क्या आप प्रश्न को थोड़ा सामान्य करना चाहेंगे और दिए गए रिज़ॉल्यूशन की चौड़ाई के 3-CNF के साथ आने वाली विधि के बारे में पूछेंगे?

— केव

मास्सिमो, मुझे एक ठोस उदाहरण की आवश्यकता है जिसे मैं वास्तव में ब्लैकबोर्ड पर लिख सकता हूं या समझा सकता हूं। इसलिए यादृच्छिक खंड नहीं चलेगा।

— जान जोहानसेन

मैं गलत समय क्षेत्र में हूं, अब ठीक से सोचने में सक्षम हो सकता हूं, लेकिन शायद कुछ वास्तव में छोटे ग्राफ (जहां आप हाथ से विस्तार की जांच कर सकते हैं) पर एक टेटिटिन सूत्र करेंगे? लेकिन आपको वास्तव में 3-CNF की आवश्यकता है, क्या आपको? 4-सीएनएफ के लिए मैं शायद उपयुक्त आयामों के आयताकार ग्रिड के साथ चारों ओर खेलूंगा और देखूंगा कि क्या होता है। बस कुछ बहुत ही आधे-पके हुए विचार ...

— जैकब नॉर्डस्ट्रॉम

निम्नलिखित उदाहरण कागज से आता है जो कि Atserias और Dalmau ( जर्नल , ECCC , लेखक की प्रति ) द्वारा संकल्प चौड़ाई का एक संयोजन वर्णन करता है ।

कागज कहा गया है कि, एक CNF सूत्र दिया की प्रमेय 2 ज्यादा से ज्यादा, चौड़ाई के संकल्प खंडन के लिए अस्तित्व में बिगाड़ने के लिए रणनीति जीतने के बराबर हैं -pebble खेल। याद रखें कि अस्तित्व के कंकड़ का खेल दो प्रतिस्पर्धी खिलाड़ियों के बीच खेला जाता है, जिन्हें स्पॉयलर और डुप्लिकेटर कहा जाता है, और खेल की स्थिति चर के लिए अधिकांश पर डोमेन आकार के आंशिक असाइनमेंट हैं । में -pebble खेल, खाली असाइनमेंट से शुरू, बिगाड़ने से एक खंड को झूठा साबित करना चाहता है $F$ $k$ $F$ $(k+1)$ $k+1$ $F$ $(k+1)$ $F$ एक समय में अधिकांश बूलियन मानों को याद करते हुए , और डुप्लिकेटर स्पोइलर को ऐसा करने से रोकना चाहता है। $k+1$

उदाहरण कबूतर के सिद्धांत पर (की उपेक्षा) आधारित है।

हर के लिए और , चलो एक प्रोपोज़िशनल कि कबूतर अर्थ परिवर्तनशील हो छेद में बैठता है । हर के लिए और , चलो $i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$ $j \in \{1, \dotsc, n \}$ $p_{i,j}$ $i$ $j$ $i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$ $j \in \{0, \dotsc, n \}$ एक नया प्रस्तावक चर है। निम्नलिखित -CNF सूत्र व्यक्त करता है कि कबूतर कुछ छेद में बैठता है: $y_{i,j}$ $3$ ${EP}_i$ $i$
${E P}_{i} \equiv \neg y_{i, 0} \land ⋀_{j = 1}^{n} (y_{i, j - 1} \lor p_{i, j} \lor \neg y_{i, j}) \land y_{i, n} .$ ${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$ अंत में, -CNF सूत्र डब्बों में सिद्धांत का निषेध व्यक्त सभी के संयोजन के रूप है और सभी खंड के लिए और $3$ ${EPHP}_n^{n+1}$ ${EP}_i$ $H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$ $i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$ । $k \in \{1, \dotsc, n \}$

कागज के लेम्मा 6 एक काफी कम और सहज ज्ञान युक्त सबूत है कि बिगाड़ने नहीं जीत सकते हैं देता है पर -pebble खेल , इसलिए ज्यादा से ज्यादा चौड़ाई का कोई संकल्प खंडन किया है । $n$ ${EPHP}_n^{n+1}$ ${EPHP}_n^{n+1}$ $n-1$

घने रैखिक क्रम सिद्धांत पर आधारित लेम्मा 9 में पेपर का एक और उदाहरण है।

$\Omega(n^{(k-3)/12})$ $k+1$

— siuman
स्रोत

{E P H P}_{5}^{6}

$\mathrm{EPHP}^6_5$